2020年高考数学（理）总复习课件：专题五　圆锥曲线的综合及应用问题 (3份打包)

专题五　圆锥曲线的综合及应用问题 第1课时 题型 1 利用圆锥曲线的方程性质求最值、范围问题 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法： (1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关 的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些 元素存在最值时与之相关的一些问题. (2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显 体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法， 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立 起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、 配方法及导数法求解. (3)两点防范：①求范围问题要注意变量自身的范围. ②利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯 一”的不等价关系，注意特殊关系，特殊位置的应用. 例1：(1)(2015年新课标Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6 ).当△APF周长最小时，该三角形的面积为________. 解析：设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2， ∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|. △APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线上时最小， 过AF1的直线方程为＋＝1. 与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2 ). 此时S＝－＝12 . 答案：12 答案：15 (2)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________. 解析：∵|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－|PF2|.∴|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|.易知点M在椭圆外，连接MF2，并延长交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15. (3)(2016年浙江)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________. 解析：由已知有a＝1，b＝，c＝2，则e＝＝2.设P(x，y)是双曲线上任一点，由对称性不妨设P在右支上，则1<x<2，|PF1|＝2x＋1，|PF2|＝2x－1， 因为∠F1PF2为锐角，则|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，即(2x＋1)2＋(2x－1)2>42.解得x>.所以<x<2.|PF1|＋|PF2|＝4x∈(2，8). 答案：(2 ，8) 【规律方法】先由对称性可设点P在右支上，进而可得|PF1|和|PF2|，再由△F1PF2为锐角三角形可得|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，进而可得x的不等式，解不等式可得|PF1|＋|PF2|的取值范围. 答案：9 (4)双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为________. 解析：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋2a＋|BF1|＋2a＝|AB|＋4a≥＋4a＝2×＋8＝9. A.2 B.3 C.6 D.8 (5)已知点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) 答案：C 解析：由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)， 则＝(x，y)，＝(x＋1，y). ∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x. 又∵＋＝1，∴y2＝3－x2. ∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2. ∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6. 题型 2 直线与圆锥曲线的位置关系及范围问题 例 2：(2016 年新课标Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点， 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)求证|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点， 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 解：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC. 所以|EB|＝|ED|. 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16， 从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由题设，得 A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2. 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0). (2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(