2019秋浙教版九年级数学上册教案：4.4　两个三角形相似的判定 (3份打包)

4.4　两个三角形相似的判定(一) 1．了解“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的性质． 2．掌握“有两个角对应相等的两个三角形相似”的判定方法． 3．能运用“有两个角对应相等”的条件判定两个三角形相似． 重点：相似三角形的判定方法：有两个角对应相等的两个三角形相似． 难点：有两个角相等的三角形是相似三角形的探索过程比较复杂，是本节教学的难点． 一、新课导入 情境一　如图，在方格图中△ABC，DE∥BC，问：△ADE∽△ABC吗？说明理由． △ADE∽△ABC，理由如下：__ ∵DE∥BC，__ ∴∠ADE＝∠B，__ ∠AED＝∠C.__ 若设方格图中每一格为1，则AD＝，__，AB＝4 AE＝.__[来源:学科网]＝＝，BC＝6，故，DE＝，AC＝2 又∵∠A＝∠A，__ ∴△ADE∽△ABC.__ [来源:学科网ZXXK] 情境二　如图，A，B，C，D，E，F，G都在小方格的顶点上，问：①DE∥BC∥FG吗？②△ADE∽△ABC∽△AFG吗？ __①DE∥BC∥FG；②△ADE∽△ABC∽△AFG.理由同情境一．__ 说明：情境设计提出问题，解决问题，激发学生的未知欲望，为进一步的合作学习打下基础． 二、新知学习 (一)合作学习 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，则△ADE与△ABC相似吗？ 议一议：这两个三角形的三个内角是否相等？[来源:学科网ZXXK] __相等__． 量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？__成比例．__ 试一试：平行移动DE的位置，上述结论还是否成立？若成立，说明△ADE与△ABC相似与什么有关． __平行移动DE的位置，结论仍成立．说明△ADE∽△ABC与DE∥BC有关．__ 想一想：若点D，E分别在AB，AC的反向延长线上，如图，△ADE与△ABC是否还相似呢？ __相似__． 归纳：定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理用几何语言表述如下： ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. (二)结合预备定理探索求三角形相似的判定定理1 根据合作学习所得的性质定理，我们可以看到以下三角形相似的判定方法： 判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似． 简称：两角对应相等，两三角形相似． 下面给出证明． 已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 【分析】要证明两个三角形相似，目前只有两条途径，一条是三角形相似的定义(显然条件不具备)；另一条是刚学的利用平行线来判定三角形相似的定理．为了使用它，必须创造具备定理的基本图形的条件，怎样创造呢？(即怎样把小的三角形移动到大的三角形上)． 【证明】在△A′B′C′的边A′B′，A′C′上，分别截取A′D＝AB，A′E＝AC，连结DE. ∵A′D＝AB，∠A＝∠A′，∠A′E＝AC， ∴△A′DE≌△ABC， ∴∠A′DE＝∠B. 又∵∠B′＝∠B， ∴∠A′DE＝∠B′， ∴DE∥B′C′， ∴△A′B′C′∽△A′DE， ∴△ABC∽△A′B′C′. 判定定理用几何语言表述如下： 在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 说明：经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”的探索过程，提升学生的图形判断能力，同时也培养了学生的探索精神． 三、新知应用 【例1】如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°. 求证：△ABC∽△DEF. 【分析】在△ABC中，已知∠A，∠B，显然利用三角形的三内角和等于180°，可求得∠C的度数，根据相似三角形的判定定理1可证． 【证明】∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－80°＝60°. ∵在△DEF中，∠E＝80°，∠F＝60°， ∴∠B＝∠E，∠C＝∠F. ∴△ABC∽△DEF(两角对应相等，两三角形相似)． 说明：通过例1进一步提高认识相似三角形的判定定理． 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D. (1)求证：△ABC∽△BCD. (2)求证：BC＝CD·CA. 【分析】(1)由AB＝AC，∠A＝36°，可求得∠ABC＝∠ACB＝72°. 由BD平分∠ABC，得∠DBC＝36°. 故在两个三角形中可找到两组角对应相等． 根据定理可得△ABC∽△BCD. (2)由△ABC∽△BDC，得，＝ 故可得BC2＝CD·CA. 【证明】(1)∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. 又∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝36°， ∴∠DBC＝∠A＝36°，∠