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重点难点
专题一 合情推理与演绎推理
1.归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳,然后提出猜想的推理,我们统称为合情推理.合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.归纳推理的思维过程大致如下:
实验,观察→概括,推广→猜测一般性结论
类比推理的思维过程大致如下:
观察,比较→联想,类推→猜测新的结论
2.演绎推理是由一般到特殊的推理,又叫逻辑推理.
其中三段论推理是演绎推理的主要形式.演绎推理具有如下特点:
(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中.
(2)演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数学中严格证明的工具.
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它创造性较少,但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.
【例1】 证明下列各等式,并从中归纳出一个一般性的结论.
2cos,
2cos,
2cos.
证明:2cos=2×,
2cos=2×=2×,
2cos=2×=2×.
……
从以上各式归纳可得一般性的结论如下:
2cos(n∈N+,n≥1).
【例2】 已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.
解:类似的性质为:若M,N是双曲线=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值