2020届高考数学（理）复习课件：第十一单元空间向量及其应用 (4份打包)

热点题型 题型一 直线与平面,平面与平面平行和垂直的判定与性质 通过线面平行,面面平行的证明,线面垂直,面面垂直的证明,培养学生空间观念及观察,操作,实验,探索,合情推理的能力.主要考查线面,面面平行的判定与性质,线面,面面垂直的判定与性质. 【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点.求证: (1)EF∥平面ABHG; (2)平面ABHG⊥平面CFED. 【解析】(1)因为E,F是A1D1,B1C1的中点,所以EF∥A1B1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥AB,所以EF∥AB.又EF⊄平面ABHG,AB⊂平面ABHG,所以EF∥平面ABHG. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BB1C1C,又BH⊂平面BB1C1C,所以BH⊥CD. 设BH∩CF=P,△BCH≌△CC1F,所以∠HBC=∠FCC1.因为∠HBC+∠PHC=90°,所以∠FCC1+∠PHC=90°. 所以∠HPC=90°,即BH⊥CF.又DC∩CF=C,DC,CF⊂平面CFED,所以BH⊥平面CFED. 又BH⊂平面ABHG,所以平面ABHG⊥平面CFED. 【针对训练1】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E,分别为PB,PC的中点.求证: (1)BC∥平面ADE; (2)BC⊥平面PAB. 解析 【解析】(1)在△PBC中,∵D,E分别为PB,PC的中点,∴DE∥BC. ∵BC⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,∴BC∥平面ADE. (2)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC, ∵AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.   题型二 空间角与空间距离的问题 　立体几何中的“角”与“距离”是定量分析空间几何元素(点,线,面)间位置关系的两个重要的几何量,在研究这些“角”和“距离”时,常将空间问题转化为平面问题来处理,这是化归思想在立体几何中的具体应用,借助于空间向量工具,可以对一些传统解法中较为烦琐的问题加以定量化,从而降低了思维难度,增强了可操作性,使学生对立体几何史容易产生兴趣以及空间向量在角和距离的处理上有独特的优势,它最大限度地避开了思维的高强度转换,避开了各种辅助线添加的难处,代之以空间向量的计算,有利于较好地解决问题. 【例2】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,BC=2AB,∠ABC=60°,PA=PB,点M为AB的中点. (1)在棱PD上作点N,使得AN∥平面PMC; (2)若PB⊥AC,且直线PC与平面PAB所成的角是45°,求二面角M-PC-A的余弦值. 【解析】(1)当点N为PD中点时,有AN∥平面PMC.证明如下: 取PD的中点N,PC的中点Q,连接AN,QN,MQ, 在△PCD中,N,Q分别是所在边PD,PC的中点,则NQ∥CD且NQ=CD. 因为点M为AB中点,AB=CD,所以NQ∥AM且NQ=AM.所以四边形AMQN是平行四边形,所以AN∥MQ.又因为AN⊄平面PMC,MQ⊂平面PMC,所以AN∥平面PMC. (2)在△ABC中,BC=2AB,∠ABC=60°,设AB=a,则BC=2a,由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3a2,则BC2=AB2+AC2,由勾股定理的逆定理可得AC⊥AB. 又因为PB⊥AC,PB∩AB=B,PB⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,所以AC⊥平面PAB.因为PM⊂平面PAB,所以AC⊥PM. 因为PA=PB,点M为线段AB的中点,所以PM⊥AB,因此PM,AB,AC两两垂直.以A为原点,分别以AB,AC所在直线为x,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为直线PC与平面PAB的所成角是45°,所以∠CPA=45°,所以Rt△CAP是等腰直角三角形, 所以PA=CA=a,则A(0,0,0),M,P, C(0,a,0),=,=. 设平面PMC的法向量为n1=(x,y,z), 则即可取n1=(2,1,0),同理可得,平面PAC的一个法向量为n2=(-,0,1), 则cos<n1,n2>==-.由图可得所求二面角的平面角为锐角,所以二面角M-PC-A的余弦值为. 【针对训练2】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,沿对角线BD将△ABD折起,使A,C之间的距离为,若P,Q分别为线段BD,CA上的动点. (1)求线段PQ长度的最小值; (2)当线段PQ长度最小时,求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值. 解析 【解析】取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,CE⊥BD,AE=CE=, ∵AC=,∴AE2+CE2=AC2,∴△ACE为直角三角形,∴AE⊥CE, ∴AE⊥平面BCD,分别以