2020届高考数学（理）复习课件：第十四单元直线与圆锥曲线的关系 (5份打包)

热点题型 题型一 最值、范围问题 　圆锥曲线的最值、范围问题,常用的解决方法有两种:(1)代数法,联立方程组,建立函数或不等式模型,利用函数的方法和基本不等式或导数的方法求最值;(2)几何法,根据圆锥曲线的几何意义求最值或范围. 　【例1】(2016年全国Ⅰ卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. 【解析】(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC, 所以∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2, 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0). 解析 (2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 则x1+x2=,x1x2=. 所以|MN|=|x1-x2|=. 过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),点A到直线m的距离为, 所以|PQ|=2=4. 故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12. 可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8). 当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,故四边形MPNQ的面积为12. 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8). 【针对训练1】已知曲线C1:y=-x2+1(y≤0)与x轴交于A,B两点,且点A在点B左侧,点P为x轴上方的一个动点,D是线段PB的中点,直线DO(O为坐标原点)的斜率与直线PB的斜率之积为-4. (1)求动点P的轨迹C2的方程; (2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点M,Q(均异于点A,B)两点,在△AMQ中,∠MAQ为锐角,求直线l的斜率的范围. 解析 【解析】(1)由题意有A(-1,0),B(1,0). 设P(x,y)(y>0),∵DO∥PA,∴kDO·kPB=kPA·kPB. 则kAP·kBP=·=-4,整理得+x2=1(y>0), ∴动点P的轨迹C2的方程为+x2=1(y>0). (2)由(1)知,上半椭圆C2的方程为+x2=1(y>0). 易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0), 代入C2的方程整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.　(*) 设点M的坐标为(xM,yM), ∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根. 由求根公式得xM=,从而yM=, ∴点M的坐标为. 同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k). ∴=,=(-k,-k2-2k). ∵在△AMQ中,∠MAQ为锐角,∴·>0, 即·[k-4(k+2)]>0,∴k-4(k+2)<0,解得k>-. 又y'=(-2x)|x=1=-2,即直线l与抛物线在B处相切时,切线的斜率为-2. 而直线l与两曲线有交点,必须k<-2,∴直线l的斜率的范围为. 题型二 定点、定值问题 　定点(值)问题通常是指所求点(值)与题目中的参数无关,是一个确定的不变的点(值).常见的解题策略有两种:(1)从特殊入手,求出定点(值),证明这个定点(值)与参数无关;(2)直接推理计算,并在推理过程中消去变量,从而得到定值. 角度1　定点问题 【例2】(2017年全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程. (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点. 【分析】(1)用待定系数法求椭圆的方程;(2)利用直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,先从斜率不存在时探究,再从斜率存在时,设直线方程与椭圆方程联立,利用根与系数的关系整体代入求解即可. 【解析】(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点. 又由+>+知,椭圆C不经过点P1, 所以点P2在椭圆C上, 因此解得 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2. 若l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为（t,）， （t,-）.则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设. 从而可设l:y=kx+m(m≠1