1.2.1 第1课时 任意角的三角函数-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

§1.2　任意角的三角函数 1.2.1　任意角的三角函数 第1课时　任意角的三角函数 学习目标　1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号． 知识点一　任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，OP＝r. [来源:学科网ZXXK] 思考1　角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案　sin α＝，cos α＝，tan α＝. 思考2　对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ 答案　不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 思考3　在思考1中，当取OP＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案　 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. 梳理　任意角的三角函数的定义 前提 如图，设 α是一个任意角，P(x，y)是它的终边上任意一点 定义 正弦 比值叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ 余弦 比值叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ 正切 比值(x≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以角的终边上点的坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考　根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案　由三角函数定义，可以判断三角函数值的符号． 梳理　三角函数值的符号，如图所示． 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 1.sin α，cos α，tan α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关．(　×　) 提示　三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关． 2．终边相同的角的同名三角函数值相等．(　√　) 提示　由三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数值相等． 类型一　三角函数定义的应用 例1　已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 解　由题意知r＝OP＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. 反思与感悟　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值． ②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 解　r＝＝5|a|. ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， ∴2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝＝－，cos α＝＝， ∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 解　由题意知，cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则 x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|. (1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－，＝＝＝， ∴10sin α＋＝10×＋3 ＝－3＋3＝0. (2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， ＝＝＝－， ∴10sin α＋＝10×＋3×(－) ＝3－3＝0. 综上所述，10sin α＋＝0. 反思与感悟　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝. 跟踪训练2　已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值． 解　因为角α的终边在直线y＝x上， 所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点， 则r＝＝2|a|(a≠0)． 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a