1.2.1 第2课时 三角函数线-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

第2课时　三角函数线 学习目标　1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 知识点一　有向线段[来源:Z|xx|k.Com] 思考1　比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？ 答案　不一样． 思考2　如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？ 答案　用有向线段AB和BA表示较好． 梳理　有向线段 (1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． (2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线． (3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. (4)单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度的圆． 知识点二　三角函数线 思考1　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？ 答案　 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 思考2　三角函数线的方向是如何规定的？ 答案　 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3　三角函数线的长度和方向各表示什么？ 答案　 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理　 图示 正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 余弦线 有向线段OM即为余弦线 正切线 过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线 知识点三　正弦、余弦、正切函数的定义域 思考　对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 答案　由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan α无意义． 梳理　三角函数的定义域 函数名 定义域 正弦函数 R 余弦函数 R 正切函数 1．正弦线MP也可写成PM.(　×　) 提示　三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒． 2．三角函数线都只能取非负值．(　×　) 提示　三角函数线表示的值也可取负值． 3．正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域都是R.(　×　) 4．当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(　√　) 类型一　三角函数线 例1　作出－的正弦线、余弦线和正切线． 解　如图所示， sin＝MP， cos＝OM， tan＝AT. 反思与感悟　(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT. 跟踪训练1　在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合． 解　已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为.[来源:学科网] 类型二　利用三角函数线比较大小 例2　利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小． 解　如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′， cos＝OM′，tan＝AT′. 显然MP>M′P′， ∴sin>sin； OM>OM′，∴cos>cos； AT<AT′，∴tan<tan. 反思与感悟　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负． 跟踪训练2　比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小． 解　sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°. 如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2.[来源:学科网ZXXK] ∵M1P1>M2P2， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°)． 类型三　利用三角函数线解不等式(组) 例3　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥； (2)cos α≤－. 解　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影