1.2.2 同角三角函数关系-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

1.2.2　同角三角函数关系 学习目标　1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 知识点　同角三角函数的基本关系式 思考1　计算下列式子的值： (1)sin230°＋cos230°； (2)sin245°＋cos245°； (3)sin290°＋cos290°. 由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案　3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x. ∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝OP2＝1. 思考2　由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案　∵tan α＝，∴tan α＝. 梳理　(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. ②商数关系：tan α＝ . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin2α＋cos2α＝1的变形公式 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. ②tan α＝的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝. 1．sin2α＋cos2β＝1.(　×　) 提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1. 2．sin2＋cos2＝1.(　√　) 提示　在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝成立．(　×　) 提示　当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立. 类型一　利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1　已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 例1　若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为 ． 答案　－ 解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝， ∴tan α＝＝－. 反思与感悟　同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． 跟踪训练1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 命题角度2　已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－. (2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－＝－，tan α＝. 反思与感悟　利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解． 跟踪训练2　已知cos α＝－，求13sin α＋5tan α的值． 解　方法一　∵cos α＝－<0， ∴α是第二或第三象限角．[来源:学#科#网] (1)若α是第二象限角， 则sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－， 故13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0. (2)若α是第三象限角， 则sin α＝－＝－＝－， tan α＝＝＝， 故13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0. 综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 方法二　∵tan α＝， ∴13sin α＋5tan α＝13sin α ＝13sin α＝0. 类型二　利用同角三角函数关系化简 例3　已知α是第三象限角，化简：－. 解　原式＝－ ＝－＝－. ∵α是第三象限角，∴cos α＜0. ∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号)． 反思与感悟　解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 跟踪训练3　化简：(1)； (2)－ (α为第二象限角)． 解　(1)原式＝ ＝ ＝ ＝＝1.[来源:学§科§