2.3.2 第1课时 平面向量的坐标表示及坐标运算-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

2.3.2　平面向量的坐标运算 第1课时　平面向量的坐标表示及坐标运算 学习目标　1.掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来． 知识点一　平面向量的坐标表示 思考1　如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a? 答案　a＝2i＋2j. 思考2　在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？ 答案　对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关． 梳理　(1)平面向量的坐标 ①在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)． ②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)． (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系 区 别 表示形 式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连结，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 知识点二　平面向量的坐标运算 思考　设i，j是分别与x轴，y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？ 答案　a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j. 梳理　(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa＝(λx1，λy1) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标． 1．相等向量的坐标相等．(　√　) 2．在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x1－x2，y1－y2)．(　×　) 提示　＝(x2－x1，y2－y1)． 3．与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1，0)，j＝(0，1)．(　√　) 类型一　平面向量的坐标表示 例1　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 解　(1)如图，作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OA·cos 45° ＝4×＝2， AM＝OA·sin 45° ＝4×＝2. ∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3， ∴C，∴＝＝， 即b＝. (2)＝－＝. (3)＝＋＝(2，2)＋ ＝.[来源:学科网] ∴B的坐标为. 反思与感悟　在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 跟踪训练1　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标． 解　如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴C(1，)，D， ∴＝(2，0)，＝(1，)， ＝＝(－1，)， ＝＝. 类型二　平面向量的坐标运算 例2　已知三点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，点P满足＝＋λ(λ∈R)． (1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？ (2)若点P在第三象限，求实数λ的