[]安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学（理）试题（图片版）

芜湖市２０１８—２０１９学年度第二学期高三模拟考试 数学（理科）试题 一、选择题（本题共１２小题，每小题５分，共６０分） 题　号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答　案 Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ 二、填空题（本题共４小题，每小题５分，共２０分） １３６０　　１４５　　１５１１　　１６１９π 三、解答题（本大题共６小题，共７０分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７（本小题满分１２分） （１）由题设及Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，得ｓｉｎＢ＝４ｓｉｎ２Ｂ２， 故ｓｉｎＢ＝２（１－ｃｏｓＢ）．上式两边平方，整理得５ｃｏｓ２Ｂ－８ｃｏｓＢ＋３＝０， 解得ｃｏｓＢ＝１（舍去），ｃｏｓＢ＝３５． ６分…………………………………………………… （２）由ｃｏｓＢ＝３５得ｓｉｎＢ＝ ４ ５，又Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ａｃｓｉｎＢ＝２．则ａｃ＝５． 由余弦定理，ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ＝（ａ＋ｃ）２－２ａｃ（１＋ｃｏｓＢ）＝（ａ＋ｃ）２－１６＝４． 所以ａ＋ｃ 槡＝２５． １２分…………………………………………………………………… １８（本小题满分１２分） （１）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下： 分值区间 ［４０，５０） ［５０，６０） ［６０，７０） ［７０，８０） ［８０，９０） ［９０，１００］ 频　数 ５ １５ ４０ ７５ ４５ ２０ ∴ｘ—＝（４５×５＋５５×１５＋６５×４０＋７５×７５＋８５×４５＋９５×２０）×１２００＝７５， ｓ２＝（４５－７５）２×５２００＋（５５－７５） ２×１５２００＋（６５－７５） ２×４０２００＋（８５－７５） ２×４５２００ ＋（９５－７５）２×２０２００＝１３５． ４分…………………………………………………………… （２）① 由（１）知Ｘ服从正态分布Ｎ（７５，１３５），且σ≈１１６， ∴Ｐ（６３４＜Ｘ＜９８２）＝１２×０９５５＋ １ ２×０６８３＝０８１９． ８分…………………… ② 依题意，ξ服从二项分布，即ξ～Ｂ（１０４，０８１９），则Ｅξ＝ｎｐ＝８１９０． １２分………… ）页４共（页１第案答考参）理（学数级年三高 １９（本小题满分１２分） （１）方法一：当θ＝π２时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有 Ａ（０，－１，０），Ｂ（０，１，０），Ｐ（－１，０，１），Ｃ１（－１，０，２）， Ｂ１（－１，０，０），Ｄ１（１，０，２） ＡＢ→ ＝（０，２，０），ＡＰ→ ＝（－１，１，１）． 设平面ＡＢＰ的法向量为 ｎ→＝（ｘ，ｙ，ｚ），则 ２ｙ＝０ －ｘ＋ｙ＋ｚ{ ＝０， 可取ｘ＝１，得 ｎ→＝（１，０，１），Ｄ１Ｂ１ → ＝（－２，０，－２），∴Ｄ１Ｂ１→ ∥ｎ→． 所以直线Ｄ１Ｂ１⊥平面ＡＰＢ． ６分………………………………………………………… 方法二：在正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＯＰ∥Ａ１Ｃ１，Ｄ１Ｂ１⊥Ａ１Ｃ１，∴ＯＰ⊥Ｂ１Ｄ１， ＡＢ⊥ＯＯ１ ＡＢ⊥Ａ１Ｂ１ ＯＯ１∩Ａ１Ｂ１＝ } Ｏ ＡＢ⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，又Ｂ１Ｄ１平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 所以ＡＢ⊥Ｂ１Ｄ１，又ＯＰ⊥Ｂ１Ｄ１，ＡＢ∩ＯＰ＝Ｏ，ＡＢ，ＯＰ平面ＡＰＢ 所以直线Ｄ１Ｂ１⊥平面ＡＰＢ ６分………………………………………………………… （２）当θ＝π６时，以ＡＢ所在直线为ｙ轴，过点Ｏ与ＡＢ垂直的直线为ｘ轴，ＯＯ１所在的直线 为ｚ轴建立空间直角坐标系，可得Ｐ（－１２， 槡３ ２， １ ３），所以ＡＰ → ＝（－１２， 槡３ ２＋１， １ ３）， 设平面ＡＢＰ的法向量为ｍ→ ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），则 ２ｙ１＝０ －１２ｘ１＋ｙ１（ 槡３ ２＋１）＋ １ ３ｚ１ { ＝０，可取ｘ１＝２，得ｍ→ ＝（２，０，３）， 又平面ＡＢＤ的一个法向量为 ｎ→＝（１，０，０），则｜ｃｏｓ＜ｍ→，ｎ→＞｜＝ 槡２ １３１３ 所以二面角Ｄ－ＡＢ－Ｐ的余弦值为 槡２ １３１３ １２分………………………………………… ２０（本小题满分１２分） （１）设Ｂ（ｘ１，ｙ１），Ｃ（ｘ２，ｙ２），因点Ｂ在椭圆上，所以 ｘ２１ ａ２ ＋ ｙ２１ ｂ２ ＝１， 故ｙ２１＝ ｂ２ ａ２ （ａ２－ｘ２１）．又Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０）， 所以ｋＢＡ１·ｋＢＡ２＝ ｙ１ ｘ１＋ａ · ｙ１ ｘ１－ａ ＝－ｂ ２ ａ２ ，即 ｂ２ ａ２ ＝３４，又ａ＝２，所以ｂ 槡＝３ ）页４共（页２第案答考参）理（学数级年三高 故椭圆Ｐ的方程为ｘ ２ ４＋ ｙ２ ３＝１． ５分……………………………………………………… （２）设直线ＢＣ的方程为：ｙ＝ｋ（ｘ－１），Ｂ（ｘ１，ｙ１），Ｃ（ｘ２，ｙ２）， 联立方程组 ｘ２ ４＋ ｙ２ ３＝１ ｙ＝ｋ（ｘ－１{ ），消去ｙ并整理得， （４