2019年数学新同步湘教版选修2-2 （讲义+精练）：第5章 数系的扩充与复数 (共4份打包)

5．1_&_5.2解方程与数系的扩充_复数的概念 [读教材·填要点] 1．复数的概念 (1)虚数单位：规定一个符号i代表一个数，满足条件i2＝－1，称这个i为虚数单位． (2)复数的定义：形如a＋bi(其中a，b是实数)的数称为复数，记作z＝a＋bi，其中a 称为复数a＋bi的实部，记作Re_z，b称为a＋bi的虚部，记作Im_z. 2．复数的分类 (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示： 3．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. [小问题·大思维] 1．复数m＋ni的实部、虚部一定是m，n吗？ 提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m，n才是该复数的实部、虚部． 2．两个复数能比较大小吗？若a＋bi>0，则a，b满足什么条件？ 提示：对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)． 当b＝0时，能比较大小， 当b≠0时，不能比较大小． 即两个不全是实数的复数不能比较大小． 若a＋bi>0，则b＝0，a>0. 3．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？ 提示：因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件． 复数的分类 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　) A．0　　　 　B．1　　　 C．2　　　　 D．3 (2)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i. ①是虚数；②是纯虚数． [自主解答]　(1)选B　对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝ －1<0，所以①为假命题； 对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题； 对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B. (2)①当即m≠5且m≠－3时，z是虚数． ②当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要全面． 1．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2－m－6)i，当m为何值时， (1)z是实数？(2)z是纯虚数？ 解：(1)要使复数z为实数，需满足 解得m＝3或－2.即当m＝3或－2时，z是实数． (2)要使复数z为纯虚数，需满足 解得m＝－1.即当m＝－1时，z是纯虚数． 复数相等的充要条件 求使等式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i成立的实数x，y的值． [自主解答]　由复数相等的充要条件得 解得 若将等式换为“(2x－1)＋i＝(3－y)i”呢？ 解：由复数相等的充要条件得 解得 解决复数相等问题的步骤 (1)等号两侧都写成复数的代数形式； (2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)； (3)解方程(组)． 2．已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值． 解：∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴ 解得或 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值． [巧思]　M∪P＝P，则M⊆P. 故(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. [妙解]　∵M∪P＝P，∴M⊆P. 又∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{ －1,1,4i}． ∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1. 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 即或 解得m＝1或m＝2. 即实数m的值为1或2. 1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．－2　　　　　　　　 B． C．－ D．2 解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b， 由题意知2＝－(－b)，所以b＝2. 答案：D 2．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 018i＝2－bi，则a2＋bi＝(　　) A．2 018＋2i B．2 018＋4i C．2＋2 018i D．4－2 018i 解析：因为a＋2 018i＝2－bi， 所以a＝2，－b＝2 018，即a＝2，b＝－2 018， 所以a2＋bi＝4－2 018i. 答案：D 3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　) A．－1 B．2 C．1 D．－1或2 解析：∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数， ∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2. 答案：D 4．复数(1＋)i的实部为________． 解析：复数(1＋)i.)i＝0＋(1＋ ∴实部为0. 答案：0 5．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，