【配套PPT课件】第02章 平面向量（二）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（北师大版必修4）

第二章　§4　平面向量的坐标 4.1　平面向量的坐标表示　4.2　平面向量线性运算的坐标表示 1 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一　平面向量的正交分解 思考　如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 答案　互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 梳理　把一个向量分解为 的向量，叫作把向量正交分解. 两个互相垂直 知识点二　平面向量的坐标表示 思考1　如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a? 思考2　在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？ 答案　对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定. 对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定. 梳理　(1)平面向量的坐标 ①在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个 i，j作为基底.对于平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y). ②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0). 单位向量 (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系 区 别 表示形 式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义 不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 知识点三　平面向量的坐标运算 思考　设i，j是分别与x轴，y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？ 答案　a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j. 梳理　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).   数学公式 文字语言表述 向量加、减法 a±b＝(x1±x2，y1±y2) 向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差 向量数乘 λa＝(λx1，λy1) 实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积 向量坐标 ＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的相应坐标 [思考辨析 判断正误] 1.相等向量的坐标相等.(　　) 2.在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量 ＝(x1－x2， y1－y2).(　　) 提示　 ＝(x2－x1，y2－y1). 3.与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1，0)，j＝(0，1). (　　) √ √ × 答案 提示 题型探究 类型一　平面向量的坐标表示 (1)求向量a，b的坐标； 解答 解　如图，作AM⊥x轴于点M， ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3， (3)求点B的坐标. 解答 反思与感悟　在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围. 解　如图，正三角形ABC的边长为2， 则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， 解答 类型二　平面向量的坐标运算 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值. 解　∵mb＋nc＝(－6m＋n，－