【同课异构教学课件】第02章 平面向量（二）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（北师大版必修4）

3.1 数乘向量 向量 λa |λ||a| 相同 相反 0 (4)几何意义： 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段____或____． 当|λ|>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上____为原来的__倍； 当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上____为原来的__倍． (5)运算律 设λ，μ为实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝_________； ③λ(a＋b)＝__________. 伸长 压缩 伸长 |λ| 缩短 |λ| λa＋μa λa＋λb 2.向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得______，则向量b与非零向量a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得______． b＝λa b＝λa 典型例题 规律总结 证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线；证明两向量共线，只需找出它们之间的线性关系．如果已知两个向量共线，要确定参数的值，需用向量共线的性质定理建立等式，然后根据向量相等的条件得到关于参数的方程，解之即可． 1.已知λ，μ∈R，下列式子中正确的是(　　) A.λa与a同向 B.0·a＝0 C.(λ＋μ)a＝λa＋μa D.若b＝λa，则|b|＝λ|a| 解析 当λ<0时，λa与a反向，A错； 0·a＝0，B错； 若b＝λa，则|b|＝|λ||a|，D错． 答案 C 自我检测 B 课后总结 谢谢！！！ 1.数乘向量 (1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个____，记作____． (2)长度：|λa|＝________. (3)方向：λa(a≠0)的方向 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(当λ>0时，与a的方向　　　　.,当λ<0时，与a的方向　　　　.)) 特别地，当λ＝0或a＝0时，λa＝__，方向任意. 例1 已知a，b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由． (1)2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a模的eq \f(2,5)； (3)－2a与2a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． 解：(1)正确．∵2>0，∴2a与a方向相同且|2a|＝2|a|. (2)正确．∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|， 而－2<0，∴－2a与a的方向相反，且－2a的模是5a的模的eq \f(2,5)倍． (3)正确，按照相反向量的定义可以判断． (4)错误，因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，故a－b与－(b－a)为相等向量． 跟踪训练1 解答下列问题． (1)化简eq \f(2,5)(a－b)－eq \f(1,3)(2a＋4b)＋eq \f(2,15)(2a＋13b)； (2)已知2b－3(b－2a)＝0，求b. 解：(1)原式＝eq \f(2,5)a－eq \f(2,5)b－eq \f(2,3)a－eq \f(4,3)b＋eq \f(4,15)a＋eq \f(26,15)b ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b ＝0·a＋0·b＝0. (2)由已知得，2b－3b＋6a＝0， ∴－b＋6a＝0，∴b＝6a. 例2 设两个非零向量e1和e2不共线． (1)如果eq \o(AB,\s\up13(→))＝e1－e2，eq \o(BC,\s\up13(→))＝3e1＋2e2，eq \o(CD,\s\up13(→))＝－8e1－2e2， 求证：A，C，D三点共线； (2)如果eq \o(AB,\s\up13(→))＝e1＋e2，eq \o(BC,\s\up13(→))＝2e1－3e2，eq \o(CD,\s\up13(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值． (1)证明：eq \o(AB,\s\up13(→))＝e1－e2，eq \o(BC,\s\up13(→))＝3e1＋2e2，eq \o(CD,\s\up13(→))＝－8e1－2e2， eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝4e1＋e2＝－eq \f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq \f(1,2)