专题07 三角形相似的判定-九年级数学下册同步知识基础与提升（含视频讲解）

312.三角形相似的判定 基础部分[来源:学,科,网Z,X,X,K] 知识梳理： 三角形相似的判定： 用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 数学表达式：如下图所示，∥，∽. 用三边对应成比例判定三角形相似： 相似三角形的判定定理：三边形成比例的两个三角形相似. 数学表达式：在与中，∽. 由两边对应成比例及夹角相等判定三角形相似 相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似. 数学表达式：在与中，，且∽. 易错提示：用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，角一琮是两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS方法. 由两角相等判定三角形相似： 相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似. 数学表达式：在与中，∽. 直角三角形相似的判定 直角三角形相似的判定定理：（1）有一锐角相等的两个直角三角形相似；（2）有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似. 数学表达式：在和中， （1），，∽； （2），∽. 典型题组： 1.如下图所示，在中，是边上的任意一点，连接并延长交的延长线于点，则是图中与相似的三角形共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：由于四边形是平行四边形，因此∥，∥.于是可从图中找出符合“A”型相似的与，符合“X”型相似的与.故选B. 答案：B. 2.如下图所示，是的边的延长线上一点，分别交和于点和. 求证：. 解析：要证等积式，一般化为比例比.结合中所含平行线可得：∥∽；∥∽. 再将比例式为等积式即可得证. 答案：∥，∽，. 又∥，∽，. . 3. <浙江衢州>如下图①所示，图②中小正方形的边长均为1，则图②中的三角形（阴影部分）与图①中的相似的是哪一个图形？ 解析：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似. 答案：由勾股定理知，. 图（1）中，三角形的三边长分别为； 图（2）中，三角形的三边长分别为； 图（3）中，三角形的三边长分别为； 图（4）中，三角形的三边长分别为. ，图（2）中的三角形与相似. 4.如下图所示，在正方形中，是上的点，且是的中点. 求证：∽. 解析：要证与相似，已知这两个三角形分别有一个角为直角，只需证明夹这个直角的两条直角边的比相等即可. 答案：设正方形的边长为4，则， . 又，∽. 5.如下图所示，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点. 求证：∽. 解析：只要证∽，是公共角，只要再找一对角相等即可，因为，根据已知条件可得到了，从而得到，可得∽. 答案：垂直平分，， 又， 又，∽. 6.如下图所示，在中，，的垂直平分线交于，交于，交的延长线于. 求证：. 解析：如果把等积式转化为比例比，可以看出这四条线段分别是与中的线段，若能证明∽，则能得到所要证明的结论. 答案：证明：在中，，为的中点，. 于，. . 又，∽. 7.在和中，，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 解析：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可. A.. . 又∽； B. 又∽； C.条件中有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不能判断两三角形相似； D. 由勾股定理可得. 又， 又，∽. 过关自测： 1.如下图所示，在梯形中，∥，对角线相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 答案：B. 2.如下图所示，在中，分别是边上的点，连接，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（ ） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 答案：C. 3.如下图所示，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点落在上，交于，则图中与相似的三角形有（不再添加其他线段）（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D. 4. 如下图所示，在矩形中，分别是上的点.若，则一定有（ ） A.∽ B. ∽ C.∽ D.∽ 答案：A. 5.如下图所示，在内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 答案：A. 6.<福建宁德>如下图所示，在中，，则等于 .[来源:Z&xx&k.Com] 答案：4 7.如下图所示，，添加一个条件使得∽，你添加的条件是 . 答案：（或或） 8.如下图所示，为线段上一点，与交于交于，交于，则图中相似三角形有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 答案：C. 提升部分 典型题