专题09 平面直角坐标系中的位似-九年级数学下册同步知识基础与提升（含视频讲解）

316.平面直角坐标系中的位似 基础部分 知识梳理： 1.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或. 注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比. 2.位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别 位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换. 在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换，其对应点的坐标都有各自的变换规律：[来源:Z.xx.k.Com] （1）平移变换是横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位； （2）轴对称变换，以轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以轴为对称轴，则纵坐标相等，横坐标互为相反数； （3）在旋转变换中，一个图形绕原点旋转，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数； （4）位似变换中，当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的同名坐标之比的绝对值等于相似比. 要点精析：（1）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标比为；当位心图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为. （2）当时，图形扩大；当时，图形缩小. 典型题组： 1.如下图所示，已知是坐标原点，两点的坐标分别为、. （1）画出以点为位似中心，在轴的左侧将放大为原来的两倍（即新图与原图的相似比为2）的位似图形； （2）分别写出两点的对应点的坐标； （3）如果内部一点的坐标为，试写出的对应点的坐标. 解析：本题是一道在直角坐标系中画位似乎图形及求对应点的坐标的题，根据相似比为2，可延长到，使，延长到，使，连接，则即为所求作的位似图形，进一步可以求得三点的坐标.[来源:学科网] 答案：（1）延长到，使，延长到，使，连接，则即为的位似图形（如下图所示）. （2）点的坐标为点的坐标为. （3）点的坐标为. 2.三角形的顶点坐标分别是，试画出将以点为位似中心缩小，且缩小后的与对应边的比为1：2的位似图形. 错解：将三点的横坐标、纵会标都缩小为原来的得，顺次连接点，即可得到缩小后的，如下图所示. 错解分析：错解没有考虑到以为位似中心的位似图形有两个，要在位似中心的同侧和异侧分别作图. 答案：所求的如下图所示. 过关自测： 1.<湖北武汉>如下图所示，线段两个端点的坐标分别为，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为（ ） A. B.(4,3) C.(3,1) D.(4,1) [来源:学科网ZXXK] 答案：A.[来源:学科网] 2.如下图所示，将的三边分别扩大为原来的2倍得到（顶点均在格点上），它们是以点为位似中心有位似图形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 答案：A. 3.的三个顶点坐标分别为，以原点为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应的边的比为2：1，则各个顶点的坐标分别为（ ） A. B. C.或 D. 或 答案：C. 提升部分 典型题组： 1.<四川巴中>如下图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为 （1）请画出关于轴对称的； （2）将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点，请画出； （3）求与的面积比，即：:= ，（不写解答过程，直接写出结果）. 解析：（1）根据关于轴对称的点的特征得出对应点的位置，进而画出图形； （2）根据将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点，与的相似比为. 答案：（1）如下图所示，即为所求.[来源:学|科|网] （2）如下图所示，即为所求. （3）1:4. 2.如下图所示，是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形，使正方形的边落在上，顶点分别落在上. I.证明：≌； II.探究：怎么样在铁片上准确地画出正方形？ 小聪和小明各给出了一种想法，请你在II和II两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. II.小聪想：只要能计算出正方形的边长就能求出和的长，从而确定点和点，再画正方形就容易了. 设的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长（结果用含根号的式表示，不洒求分母有理化）. II.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法下图所示： ①在边上任务取一点，作为正方形； ②连接并延长交于； ③作∥交于，∥交于∥交于，则四边形即为所求. 你认为小明的作法正确吗？说明理由. 解析：I.利用“角角边”可证全等； II.利用勾股定理可以求解； II.利用位似知识作图，可以构造出所求正方形. 答案：I.证明：四边形为正方形。，..是等边三角形， . ≌. II.设正方形的边长为. 四边形为正方形，为等边三角形，. 由勾股定理