专题12 解直角三角形-九年级数学下册同步知识基础与提升（含视频讲解）

319.解直角三角形 基础部分 知识梳理： 解直角三角形： 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 要点解析：（1）在解直角三角形的问题中，如无特别说明，一般不包括求面积. （2）解直角三角形时，除直角外，还需知道这两个条件，其中至少有一个是边. 直角三角形中的边角关系及有关定理 1.直角三角形中的边角关系：如下图所示，在中，，则有（1）三边之间的关系：（勾股定理）；（2）两锐角之间的关系：；（3）边角之间的关系：；；. 2.直角三角形中的有关定理： （1）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半； （3）直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于. 除了以上关系式外，如果为直角三角形斜边上的高，还经常用到同角的余角相等，由三个相似直角三角形推出的比例式以及由面积关系得出的等结论. 典型题组： 1.如下图所示，在中，，所对的边分别为，且，解这这个直角三角形. 解析：在中，已知直角外的两个元素，而且是两条边，因此可以解此三角形. 答案：由勾股定理，得. ，. 2.在中，，解这直角三角形. 解析：已知的对边和斜边，先求出的正弦值，就可得到的度数，然后利用直角三角形两个锐角互余求出另一个锐角，从而可得. 答案：. . [来源:学|科|网] 3.如下图所示，在中，，，的平分线，解这个直角三角形. 解析：先用余弦求出的度数，从而可以求出和的度数，再用的正弦和正切分别求出和的长. 答案：. 平分， . ， . 4.如下图所示，在中，，求的长.[来源:Z+xx+k.Com] 解析：要求的边不在直角三角形中，已知条件中有的正弦值，作边上的高，将置于直角三角形中，利用解直角三角形就可解决问题. 答案：如上图所示，过点作于点. ，，. . .[来源:学&科&网Z&X&X&K] 5.如下图所示，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点的坐标为. （1）求点的坐标； （2）若直线交轴于点，求的面积. 解析：（1）要求点的坐标，只需过点作轴的垂线，垂足为，只要求出的长即可；（2）欲求，只需求出的长，然后根据即可得解. 答案：（1）过点作轴，垂足为，如上图所示. 在中，. ，[来源:学|科|网Z|X|X|K] . 点的坐标是. （2）设直线对应的函数表达式为. 直线过点和， 代入得解得 直线对应的函数表达式是. 令，则，因此. . 过关自测： 1.在中，分别是的对边，下列关系中错误的是（ ） A. B. C. D. 答案：A. 2.在中，，，欲求的度数，最适宜的做法是（ ） A.计算的值求出 B.计算的值求出 C.计算的值求出 D.先根据求出，再利用求出 答案：C. 3.在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 答案：C. 4.<湖南衡阳>如下图所示，菱形的周长为20cm，，垂足为，有下列结论：① cm；②cm；③ cm2.其中正确的个数为（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 答案：A. 5.<云南大理>如下图所示，已知直角三角形中，斜边的长为，，则直角边的长是（ ） A. B. C. D. 答案：B. 6.如果等腰三角形的底角为，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D.36cm2 答案：B. 7.在中，，，则等于（ ） A. B.1 C.2 D.3 答案：B 提升部分 典型题组： 1.<北京>如下图所示，是的直径，分别与相切于点交的延长线于点交的延长线于点. （1）求证：； （2）若，求的长. 解析：（1）由切线长定理可知，只要证明即可；（2）在中，根据的正切值求出长，然后利用∽来求的长. 答案：（1）分别与相切于点， 且，即. ， . （2）连接，由（1）可得. ， 在中，，由勾股定理得. ,在中,,由勾股定理得.∽. ,即. 在中,. 2.<江苏泰州>如下图所示，在正方形的边长为3cm，为边上一点，，为的中点，过点作直线分别与相交于点.若，则等于 cm. 解析：过点作，交于点，交于点，由四边形为正方形，得到.在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长，进而利用勾股定理求出的长，根据为为中点求出的长.利用得到与全等，利用全等三角形对应边、对应角相等得到.再由与平行，得到，进而得到垂直于.在直角三角形中，根据的长，利用锐角三角函数定义求出的长，再利用对称性确定出的长即可.具体解答过程如下： 过点作，交于点，交于点.四边形为正方形，. 在中， cm， ，即