18.2 特殊的平行四边形-【名师学案】2019年八年级数学下册（人教版）

18．2　特殊的平行四边形 18．2.1　矩形 第1课时　矩形的性质 1．有一个角是直角的__平行四边形__叫做矩形．[来源:Z*xx*k.Com] 2．矩形的对边__平行且相等__；矩形的四个角__都是直角__；矩形的对角线__相等且互相平分__． 3．直角三角形斜边上的中线等于__斜边的一半__．用数学语言表示为：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．∵__∠ACB＝90°，点D是AB的中点__，∴__CD＝AB__． 　　　　　　　　　　　　　　　　 ►　矩形的定义和性质 1．(中考·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD ,第1题图)　　　,第2题图) 2．如图，矩形ABCD中，AB<BC，AC与BD交于点O，则图中等腰三角形的个数是(D) A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 3．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要使它变为矩形，需要添加的条件是(D) A．AB＝CD B．AD＝BC C．∠AOB＝45° D．∠ABC＝90° 4．(教材P53例1变式)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BOC＝120°，AB＝4 cm. (1)求对角线的长； (2)求矩形的面积． 解：(1)∵ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ABC＝90°， OA＝BD， AC，OB＝ ∴OA＝OB，又∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝4 cm，∴AC＝2OA＝8 cm， ∴矩形的对角线长是8 cm. (2)在Rt△ABC中， BC＝(cm)， ＝4＝ ∴S矩形＝AB·BC＝4×4(cm2)． ＝16 (1)矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质． (2)矩形是轴对称图形，有两条对称轴． (3)矩形问题通常转化成等腰三角形和直角三角形问题来求解． 　　　　　　　　　　　　　　　　 ►　直角三角形斜边上中线的性质 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12 cm，点D是AB的中点，则CD＝__6__cm__． 6．(中考·宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若CD＝5，则EF的长为__5__． 在直角三角形中，有斜边中点常作斜边中线，从而将原三角形化为两个等腰三角形来解决问题，切记：运用此性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不可使用． 　　　　　　　　　　　　　　　　 7．(中考·淮安)如图，在矩形纸片ABCD中， AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是(B) A．3 B．6 C．4 D．5 第7题图 　　　第8题图 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，过A作AE⊥BD于点E，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段OD的点F处，则DF的长为(C) A. D. C. B. 9．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠BAE∶∠EAO＝1∶3，则∠BOC的度数是__144°__． ,第9题图)　　　,第10题图) 10．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为____ 11．(易错题)矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE∶ED＝1∶3，AE＝__.，则BD的长是__4或 12．(2018·张家界)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F. (1)求证：DF＝AB； (2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD. (1)证明：∵矩形ABCD，DF⊥AE， ∴∠B＝∠DFA＝90°，AD∥BC，∠DAF＝∠AEB. 在△BAE和△FDA中，∠B＝∠DFA，∠DAF＝∠AEB，AE＝AD， ∴△BAE≌△FDA(AAS)，∴DF＝AB. (2)解：∵∠FDC＝30°，∴∠ADF＝60°，∴∠DAF＝30°.由(1)知DF＝AB＝4，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝4，∴AD＝8. 13．如图，在锐角△ABC中，BE，CF分别是高，点M，N分别是BC，EF的中点． 求证：MN⊥EF. 证明：连接ME，MF. ∵BE，CF分别是高， ∴∠BEC＝∠BFC＝90°，在Rt△BEC和Rt△BFC中，点M是斜边BC的中点，∴FM＝BC＝ME， 又∵N是EF的中点，∴MN⊥EF. 14．(中考·乐山)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的点F处，DF交BC于