7.10 正弦定理及余弦定理、正弦定理的应用举例-【创新教程】2025年职教高考数学总复习教参

７．１０　正弦定理及余弦定理、正弦定理的应用举例 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１２６ [知识点一]　正弦定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 条件 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为a,b,c 结论 a sinA＝ b sinB＝ c sinC 文字描述 在一个三角形中,各边和它所对角的正 弦的比相等 [知识点二]　正弦定理的变形 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 a＝bsinAsinB ＝ csinA sinC ,b＝csinBsinC ＝ asinB sinA ,c＝asinCsinA ＝bsinCsinB ; sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c; R 为△ABC 外接圆的半径: asinA＝ b sinB＝ c sinC ＝ a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝２R [知识点三]　实际测量中的有关名称、术语 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内, 视线在水平线上方时 与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内, 视线在水平线下方时 与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标 方向线的水平角(指 定方向线是指正北或 正南或正东或正西, 方向角小于９０°) 方位角 从正北的方向线按顺 时针到目标方向线所 转过的水平角 [知识点四]　三角形的面积公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 三角形的面积公式为S＝１２absinC＝ １ ２acsinB＝ １ ２bcsinA [基础自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)正弦定理不适用于直角三角形． (　　) (２)在一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的 比是一定值． (　　) (３)在△ABC中必有asinA＝bsinB． (　　) (４)在△ABC中,若a＞b,则必有sinA＞sinB． (　　) (５)在△ABC中,若sinA＝sinB,则必有A＝B． (　　) (６)已知三角形的三个角,能够求其三条边． (　　) (７)两个不可能到达的点之间的距离无法求得． (　　) (８)若P 在Q 的北偏东４４°,则Q 在P 的东偏北４４° 方向． (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)×　(４)√　(５)√　 (６)×　(７)×　(８)× ２．从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角 为β,则α,β的关系为 (　　 ) A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝９０° D．α＋β＝１８０° 解析:B　[根据题意和仰角、俯角的概念画出草图, 如图所示,因 为 两 直 线 平 行 内 错 角 相 等,所 以α ＝β．] ３．在△ABC中,a＝１,b＝ ３,B＝６０°,则A＝ (　　) A．３０° B．３０°或１５０° C．６０° D．６０°或１２０° 解析:A　[因为在△ABC中,a＝１,b＝ ３,B＝６０°, 所以由正弦定理得, １ sinA＝ ３ sin６０° ,得sinA＝１２ , 因为a＜b,所以A 为锐角,所以A＝３０°,故选 A．] ４．在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 若a＝３ ３,b＝３,A＝π３ ,则C＝ (　　) A．π６ B． π ４ C． π ２ D． ２π ３ 解析:C　[在 △ABC中,因 为a＝３ ３,b＝３,A ＝π３ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第七章　三角函数 由正弦定理 a sinA＝ b sinB ,可得 ３ sinB＝ ３ ３ sinπ３ ,解 得sinB＝１２ ,又由A＝π３ ,可得０＜B＜２π３ ,所以B ＝π６ ,所以C＝π－(A＋B)＝π－ π３＋ π ６ æ è ç ö ø ÷＝π２． 故 选C．] ５．在△ABC中,内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 若A＝４５°,B＝３０°,a＝３ ２,则b＝ (　　) A．２ B．２ ２ C．３ D．３ 解析:D　[由正弦定理 asinA＝ b sinB 得b＝asinBsinA ＝ ３ ２×１２ ２ ２ ＝３．故选 D．] ６．在△ABC中,a＝２,b＝ ３,C＝３０°,则△ABC的面积 是 (　　) A．３２ B． ３ ２ C． １ ２ D．３ 解析:B　[根据三角形的面积公式得S＝１２absinC ＝１２×２× ３×sin３０°＝ ３ ２． 故选B．] ７．如图,一艘船以每小时２０km 的速度向东航行,船 在A 处观测灯塔C 在北偏东４５°方向,行驶２h后, 船到达B 处,观测灯塔C 在北偏东１５°方向,此时 船与灯塔C的距离为　　　km． 解析:由图知∠C＝３０°,AB＝４０,∠CAB＝４５°, 由正弦定理得BC＝ABsin４５°sin３０° ＝ ４０× ２２ １ ２ ＝４０ ２． 答案:４０ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１２７ 已知两角及一边解三角形 [例１]　在△ABC 中,已知A＝１５°,B＝４５°,c＝３＋ ３,解这个三角形． [解析]　由三角形内角和定理,得 C＝１８０°－(A＋B)＝１８０°－(１５°＋４５°)＝１２０° 由正弦定理,得 a＝csinAsinC ＝ (３＋ ３)sin１５° sin１２０° ＝ (３＋ ３)sin(４５°－３０°) sin１２０° ＝ (３＋ ３)(sin４５°cos３０°－cos４５°sin３０°) sin１２０° ＝ (３＋ ３) ２ ２× ３ ２－ ２ ２× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ３ ２ ＝ ２ b＝csinBsinC ＝ (３＋２ ３)sin４５° sin１２０° ＝ (３＋ ３)× ２２ ３ ２ ＝ ６ ＋ ２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求 另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第 三个角． (２)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内 角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两 边． １．在△ABC中,A＝６０°,sinB＝１２ ,a＝３,求三角形中 其他边与角的大小． 解析:因为sinB＝１２ ,所以B＝３０°或１５０°． 当B＝３０°时,由A＝６０°得C＝９０°; 所以由正弦定理 b sinB＝ c sinC＝ a sinA , 得b＝sinBsinA 􀅰a＝sin３０°sin６０°×３＝ ３ ,c＝sinCsinA 􀅰a＝ sin９０° sin６０°×３＝２ ３． 当B＝１５０°时,不合题意,舍去． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４１􀅰 职教高考总复习　数学 　　　已知两边及其中一边的对角解三角形 [例２]　在△ABC中,已知B＝３０°,b＝ ２,c＝２,解这 个三角形． [解析]　由正弦定理,得 sinC＝csinBb ＝ ２sin３０° ２ ＝ ２２ 因为c＞b,B＝３０°,所以３０°＜C＜１８０°．于是C＝ ４５°,或C＝１３５°． (１)当C＝４５°时,A＝１０５° 此时 a＝bsinAsinB ＝ ２sin１０５° sin３０° ＝ ２sin(６０°＋４５°) sin３０° ＝ ２ (sin６０°cos４５°＋cos６０°sin４５°) sin３０° ＝ ２ ３ ２× ２ ２＋ １ ２× ２ ２ æ è ç ö ø ÷ １ ２ ＝ ３＋１ (２)当C＝１０５°时,A＝１５° 此时 a ＝ bsinAsinB ＝ ２sin１５° sin３０° ＝ ２sin(４５°－３０°) sin３０° ＝ ２(sin４５°cos３０°－cos４５°sin３０°) sin３０° ＝ ２ ２ ２× ３ ２－ ２ ２× １ ２ æ è ç ö ø ÷ １ ２ ＝ ３－１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (２)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大 边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对 的角为锐角,由正弦值可求锐角． (３)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另 一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个 角,要分类讨论,由“三角形中大边对大角”来 判定． 设A 为锐角,若a≥b,则A≥B,从而B 为锐角, 有一解;若a＜b,则A＜B,由正弦定理得sinB＝ bsinA a :①sinB＞１,无解;②sinB＝１,一解;③ sinB＜１,两解． ２．在△ABC 中,若AB＝３,BC＝３ ２,∠B＝４５°,则 △ABC的面积为 (　　 ) A．２ ２　　B．４　　C．７２　　D． ９ ２ 解析:D　[由题意,S△ABC＝ １ ２AB 􀅰BC􀅰sin∠B＝ １ ２×３×３ ２× ２ ２＝ ９ ２ ,故选 D．] 　　　　正弦定理的应用———判断三角形的形状 [例３]　已知a,b,c分别是△ABC 的内角A,B,C 所 对的边,满足 a cosA＝ b cosB＝ c cosC ,则△ABC 的形 状是 (　　 ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 [解析]　C　[由正弦定理得 asinA＝ b sinB＝ c sinC ,又 a cosA＝ b cosB＝ c cosC ,得sinA cosA＝ sinB cosB＝ sinC cosC ,即 tanA＝tanB＝tanC,所以 A＝B＝C,即△ABC 为 等边三角形．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也 可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦 定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出 角与角的关系,从而作出准确判断．要特别注意“等 腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区 别． ３．在△ABC中,已知a２tanB＝b２tanA,则△ABC 的 形状是 (　　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析:D　[将a＝２RsinA,b＝２RsinB(R 为△ABC 外接 圆 的 半 径)代 入 已 知 条 件,得 sin２AtanB＝ sin２BtanA,则sin ２AsinB cosB ＝ sinAsin２B cosA ． 因为sinAsinB≠０,所以sinAcosB＝ sinB cosA , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第七章　三角函数 所以 sin２A＝sin２B,所 以 ２A＝２B 或 ２A＝π －２B, 所以A＝B 或A＋B＝π２ ,故△ABC 为等腰三角形 或直角三角形．] 不能到达两点间的距离问题 [例４]　如图,A,B 两点都在河的对岸(不可到达), 设计一种测量A,B 两点间的距离的方法．并求出 A,B 间的距离． [解析]　测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得 CD＝a,并 且 在 C,D 两 点 分 别 测 得 ∠BCA＝α, ∠ACD＝β,∠CDB＝γ,∠BDA＝δ, 在△ADC 和△BDC 中,应用正弦定理得 AC＝ asin (γ＋δ) sin[１８０°－(β＋γ＋δ)] ＝ asin (γ＋δ) sin(β＋γ＋δ) ;BC＝ asinγ sin(α＋β＋γ) ,于是,在△ABC 中,应用余弦定理可 得 A, B 两 点 间 的 距 离 AB ＝ AC２＋BC２－２AC×BCcosα＝ a２sin２(γ＋δ) sin２(β＋γ＋δ) ＋ a ２sin２γ sin２(α＋β＋γ) － ２a ２sin(γ＋δ)sinγcosα sin(β＋γ＋δ)sin(α＋β＋γ) ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　求解测量距离问题的方法是:选择合适的辅 助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角 形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解．构造 数学模型时,尽量把已知元素放在同一个三角形 中． ４．北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大 兴区和河北省廊坊市交界处,为４F级国际机场、世 界级航空枢纽．如图,天安门在北京大兴国际机场 的正北方向４６km处,北京首都国际机场在北京大 兴国际机场北偏东１６．２８°方向上,在天安门北偏东 ４７．４３°的方向上,则北京大兴国际机场与北京首都 国际机场的距离约为　　　　　km．(结果精确到 整数) (参考数据:sin１６．２８°≈０．２８,sin４７．４３°≈０．７４, sin３１．１５°≈０．５２) 解析:如图,由 题 意 可得 AC＝４６km, ∠ACB ＝１６．２８°, ∠BAC＝１３２．５７°, 由 正 弦 定 理 可 得 BC sin∠BAC ＝ AC sin∠ABC ,即 BC sin１３２．５７°＝ ４６ sin３１．１５° ,解得BC＝ ４６ sin３１．１５° 􀅰sin１３２．５７°≈ ４６０．５２×０．７４≈６５． 故答 案为６５． 答案:６５ 测量高度问题 [例５]　如图,AB 是底部B 不可到达的一座建筑物, A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法．并求出建筑物的高度． [解析]　选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点 在同一条直线上．由在 H,G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是α,β,CD＝a,测角仪器的高是h, 那 么,在 △ACD 中,根 据 正 弦 定 理 可 得 AC ＝ asinβsin(α－β) 所以,这 座 建 筑 物 的 高 度 为 AB ＝AE ＋h＝ asinαsinβ sin(α＋β) ＋h． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法 直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦 定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之 间的距离,然后转化为解直角三角形的问题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４１􀅰 职教高考总复习　数学 ５．如图,要在山坡上A,B 两处测量与地面垂直的铁 塔CD 的高,由A,B 两处测得塔顶C 的仰角分别 为６０°和４５°,AB 长为４０m,斜坡与水平面成３０° 角,则铁塔CD 的高为　　　　m． 解析:如图,延长CD 交过A,B 的水平线于点E, F,因为∠CAE＝６０°,∠CBF＝４５°,∠DBF＝３０°, 所以∠BCF＝４５°,∠ACE＝３０°,∠BDF＝６０°, 所以 ∠BCA＝１５°,∠ADC＝１２０°,∠CBA＝１５°, ∠CAD＝３０°． 所以AC＝AB＝４０, 在 △ACD 中, 由 正 弦 定 理 得, ACsin∠ADC ＝ CDsin∠CAD , 即４０ ３ ２ ＝CD１ ２ ,解得CD＝４０ ３３ ． 答案:４０ ３ ３ 测量角度问题 [例６]　位于某海域A 处的甲船获悉,在其正东方向 相距２０海里的B 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营 救．甲船立即前往营救,同时把消息告知位于甲船 南偏西３０°,且与甲船相距７海里的C 处的乙船, 那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观 测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确 到１°)? 需要航行的距离是多少海里(精确到１海 里)? [解析]　根据题意,画出示意图,如图． 由余弦定理,得 BC２＝AB２＋AC２－２AB􀅰AC􀅰cos１２０°＝２０２＋７２ －２×２０×７× －１２ æ è ç ö ø ÷＝５８９,BC≈２４(nmile) 由正弦定理,得sinC ２０ ＝ sin１２０° ２４ 于是sinC＝ ２０× ３２ ２４ ＝ ５ ３ １２ 由于０°＜C＜９０°,所以C≈４６°． 因此,乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 ４６°＋３０°＝７６°,大约需要航行２４nmile． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上, 画出表示实际问题的图形,在图形中标出相关的 角和距离． (２)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形, 然后将解得的结果转化为实际问题的解． ６．测绘人员在点A 测得某一目标参照物P 在他的北 偏东３０°的方向,且距离为４０ ３m,之后该测绘人 员沿正北方向行走了４０m,达到点B．试确定此时 目标参照物P 在他北偏东的度数以及他与目标参 照物P 的距离． 解析:如图,在△PAB 中,∠PAB＝３０°, PA＝４０ ３m,AB＝４０m． 由余弦定理,得 PB ＝ AB２＋PA２－２􀅰AB􀅰PA􀅰cos∠PAB ＝ ４０２＋(４０ ３)２－２×４０×４０ ３cos３０°＝４０(m)． 因为 AB＝４０m,所 以 AB＝PB,所 以 ∠APB＝ ∠PAB＝３０°,所以∠PBA＝１２０°．因此测绘人员到 达点B 时,目标参照物 P 在他的北偏东６０°方向 上,且目标参照物P 与他的距离为４０m． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第七章　三角函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P１２９ [基础题组练] １．在△ABC中,若 ３a＝２bsinA,则B＝ (　　 ) A．π３ B． π ６ C．π３ 或２π ３ D． π ６ 或５π ６ 答案:C ２．在 △ABC中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c, acosC＋ccosA＝c,则△ABC的形状为 (　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 答案:C ３．某观察站C与两灯塔A,B 的距离分别为３００米和 ５００米,测得灯塔A 在观察站C 的北偏东３０°方向 上,灯塔B在观察站C的正西方向上,则两灯塔A,B 间的距离为 (　　 ) A．５００米 B．６００米 C．７００米 D．８００米 答案:C ４．在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c, 已知a＝７,c＝５,则sinAsinC 的值是 (　　) A．７５ B． ５ ７ C．± ７ １２ D． ５ １２ 解析:A　[在△ABC中,因a＝７,c＝５,由正弦定理 a sinA＝ c sinC 得:sinA sinC＝ a c ＝ ７ ５ ,所以sinA sinC 的值是 ７ ５． 故选 A．] ５．(２０２０􀅰春招,２０)在△ABC 中,内角A,B,C 的对 边分 别 是a,b,c,若 a２ ＋b２ ＝c２ ＋absinC,且 asinBcosC＋csinBcosA＝ ２２b ,则tanA 等于 (　　) A．３ B．－１３ C．３或－１３ D．－３ 或１ ３ 解析:A　[∵a２＋b２＝c２＋absinC,∴a２＋b２－c２＝ absinC, ∵cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ,∴absinC２ab ＝cosC ,∴tanC ＝sinCcosC＝２ ,∵asinB􀅰cosC＋csinBcosA＝ ３２ 􀅰 ２ ２b , ∴sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝ ２２sinB , 即sinAcosC＋sinCcosA＝ ２２ ,即sin(A＋C) ＝ ２２ , 即sinB＝ ２２ ,∴B＝３π４ 或π ４ ,∴tanB＝－１或tanB ＝１, 当tanB＝－１时,有tanA＝－tan(B＋C)＝ －tanB＋tanC１－tanBtanC＝－ １ ３ ,∴A∈ π２ ,πæ è ç ö ø ÷ 与B＝３π４ 矛盾, 故B＝３π４ 舍, 当tanB＝１时,有tanA＝３,综上可得tanA＝３,故 选A．] ６．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c． 若a＝２b,则２sin ２B－sin２A sin２A 的值为 (　　 ) A．－１２ B． １ ４ C．１ D． １ ２ 解析:A 　 [依 题 意 ba ＝ １ ２ ,由 正 弦 定 理 得 ２sin２B－sin２A sin２A ＝２b ２－a２ a２ ＝２ ba æ è ç ö ø ÷ ２ －１＝２× １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ －１＝－１２． 故选 A．] ７．在△ABC中,AB＝ ６,∠A＝７５°,∠B＝４５°,则AC ＝　　　　　． 解析:由三角形内角和定理,得∠C＝６０°,根据正弦 定理,得 AB sinC＝ AC sinB ,所以AC＝ ２２× ６ ３ ２ ＝２． 答案:２ ８．如图,要测出山上一座天文台BC 的高,从山脚A 处测得AC＝６０m,天文台最高处B 的仰角为４５°, 天文台底部C的仰角为１５°,则天文台BC的高为　　 　　m． 解析:由题图可得∠B＝４５°,∠BAC＝３０°,故BC＝ AC􀅰sin∠BAC sin∠B ＝ ６０sin３０° sin４５° ＝３０ ２ (m)． 答案:３０ ２ ９．已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C 的对边,且 asinB－ ３bcosA＝０． (１)求角A; (２)若a＝ １３,b＝３,求△ABC的面积． 解析:(１)∵asinB－ ３bcosA＝０ ∴由正弦定理可得:sinAsinB＝ ３sinBcosA, ∵sinB≠０,∴sinA＝ ３cosA,即tanA＝ ３, ∵０＜A＜π,∴A＝π３． (２)∵a＝ １３,b＝３,A＝π３ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４１􀅰 职教高考总复习　数学 ∴由余弦定理a２＝b２＋c２－２bccosA, 可得:１３＝９＋c２－２×３×c×１２ ,可得:c２－３c－４ ＝０, ∴解得:c＝４或c＝－１(负值舍去),∴S△ABC ＝ １ ２ bcsinA＝１２×３×４× ３ ２＝３ ３． [综合题组练] １．在△ABC中,∠A＝６０°,b＝１,△ABC的面积为 ３,则 a sinA 为 (　　) A．８ ３８１ B． ２ ３９ ３ C． ２６ ３ ３ D．２ ７ 解析:B　[在△ABC中,因为∠A＝６０°,b＝１,△ABC 的面积为 ３, 所以S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２×１×c× ３ ２＝ ３ , 所以c＝４, 因为a２＝b２＋c２－２bccosA＝１２＋４２－２×１×４× １ ２＝１３ ,所以a＝ １３, 所以 a sinA＝ １３ ３ ２ ＝２ ３９３ ． 故选B．] ２．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a－ b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC,则A＝ (　　) A．π６ B． π ３ C． ２π ３ D． ５π ６ 解析:B　[∵(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC, 由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c,整理可 得b２＋c２－a２＝bc, 由余弦定理得cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ １ ２ , ∵A∈(０,π),∴A＝π３． 故选B．] ３．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 acosB(tanA＋tanB)＝ ３c,则角 A 的 大 小 为 　　　． 解析:由题设,sinAcosB(tanA＋tanB)＝ ３sinC, ∴sinAcosB sinAcosA＋ sinB cosB æ è ç ö ø ÷＝sinAcosB􀅰 sinAcosB＋sinBcosA cosAcosB ＝ sin Acos B 􀅰 sin(A＋B) cosAcosB＝ sinAcosB􀅰 sinCcosAcosB＝ ３sinC ,又sinC≠０, ∴tanA＝ ３,又０＜A＜π, ∴A＝π３． 答案:π ３ ４．在△ABC中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a ＝４,cosA＝３４ ,sinB＝５ ７１６ ,c＞４． (１)求b; (２)求△ABC的周长． 解:(１)因为a＝４,cosA＝３４ ,sinB＝５ ７１６ , 因为A∈(０,π),所以sinA＞０, 所以sinA＝ １－cos２A＝ ７４ ,所以由正弦定理可 得:b＝asinBsinA ＝ ４×５ ７１６ ７ ４ ＝５． (２)因为由余弦定理可得:a２＝b２＋c２－２bccosA, 可得:１６＝２５＋c２－２×５×c×３４ ,整理可得:２c２－ １５c＋１８＝０,解得:c＝６或３２ (由c＞４,舍去), 所以△ABC的周长＝a＋b＋c＝４＋５＋６＝１５． ５．(２０２３􀅰春招,２９)在△ABC 中,角A,B,C,的对边 分别为a,b,c,已知a＝２ ３,b＝２,A＝π３． (１)求角B 的大小． (２)若函数y＝３sin(１２x－B ),利用“五点法”作出 该函数在一个周期上的简图． 解:(１)△ABC 中,由 asinA＝ b sinB ,得 sinB＝ bsinA a ＝ ２×sinπ３ ２ ３ ＝１２． 因为０＜B＜π,所以B＝π６ 或B＝５π６ ,因为b＜a,所 以B＝π６． (２)由(１)可知y＝３sin １２x－ π ６ æ è ç ö ø ÷,列表如下, x π３ ４π ３ ７π ３ １０π ３ １３π ３ １ ２x－ π ６ ０ π ２ π ３π ２ ２π ３sin １２x－ π ６ æ è ç ö ø ÷ ０ ３ ０ －３ ０ 描点 作 图,得 该 函 数 在 π ３ ,１３π ３[ ] 上 的 图 像 如 图 所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第七章　三角函数