6.4.2 圆的一般方程 课件-2024-2025学年高一下学期高教版(2021)中职数学基础模块（下册）

6.4.2 圆的一般方程 高教版 基础模块 学习目标 知识与技能 能够准确辨析圆的一般方程与标准方程的区别与联系；掌握圆的一般方程的形式、特点及其推导过程； 学会根据给定的具体条件，确定圆的方程 过程与方法 通过对比分析圆的一般方程与标准方程，培养学生的观察、比较和归纳能力 情感、态度与价值观 通过探索圆的方程，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探索精神和创新意识；在合作学习和讨论过程中，培养学生的团队协作精神和交流能力，增强学习数学的自信心。 重难点 圆的两种方程的辨析及其特点；根据具体条件确定圆的方程. 重 解圆的一般方程与标准方程之间的转化关系. 难 知识回顾 圆的标准方程 方程称为以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程. 圆的标准方程⇄圆心和半径 知识回顾 直线的一般式方程 二元一次方程 Ax+By+C=0表示一条直线,方程称为直线的一般式方程. y=kx+b是由直线的斜率k及直线在y轴上的截距确定的,因此称为直线的斜截式方程. y-y0=k(x-x0)方程是由直线上一点P0(x0,y0)及斜率k确定的,因此称为直线的点斜式方程. 情景导入 思考1 圆的标准方程展开可得到一个什么式子? 展开，按的降幂排列，圆的方程有何特征？ 由，得 ， 移项得 。 令，，，得 。 情景导入 思考2 思考：反过来，方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 对方程配方，得 ， 移项得 。 知识探究 判断图形是否为圆 。 由圆的标准方程知， ①当时，方程表示圆； ②当时，方程表示点； ③当时，方程不表示任何图形。 知识探究 圆的一般方程 （其中） 圆心坐标；半径。 圆的一般方程的特征 （1）圆的方程为二元二次方程； （2）二次项系数相等，且不为0； （3）不含项。 知识探究 圆的一般方程 （其中） 圆心坐标；半径。 当时，我们把方程叫做圆的一般方程. 注意此前提条件 知识探究 辨析 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 结构特征 明确地表达了圆心坐标和半径长. 圆心和半径需要代数运算才能得出. 圆心 半径 条件 例题解析 例1 判断方程x2+y2+2x+4y+4=0是否为圆的方程?如果是,求出圆心坐标和圆的半径. 解法一 由方程x2+y2+2x+4y+4=0,知D=2,E=4,F=4,因为 D2+E2-4F=22+42-4×4=4>0, 所以方程x2+y2+2x+4y+4=0为圆的方程,圆心坐标为 公式法 例题解析 例1 判断方程x2+y2+2x+4y+4=0是否为圆的方程?如果是,求出圆心坐标和圆的半径. 解法二 将方程x2+y2+2x+4y+4=0,进行配方 x2+2x+y2+4y=-4 x2+2x+1+y2+4y+4=-4+1+4 x2+2x+1+y2+4y+4=1 得 方程x2+y2+2x+4y+4=0是圆的方程， 圆心坐标为（-1，-2），圆的半径为1. 配方法 例题解析 例2 求过三点A(0,0)、B(1,1)、C(4,2)的圆的方程，并求圆心坐标和圆的半径. 解 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为A(0,0)、B(1,1)、C(4,2)三点都在圆上,所以它们的坐标满足圆的方程，即 解三元一次方程组，得D=-8,E=6,F=0. 因此,所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y =0. 将方程x2+y2-8x+6y =0配方，得(x-4)2+(y+3)2=52， 即圆心坐标为(4,-3),圆的半径为5. 例题解析 例 求过三点A(1,-1)、B(0,0)、C(2,0)的圆的方程，并求圆心坐标和圆的半径. 解 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为A(1,-1)、B(0,0)、C(2,0)三点都在圆上,所以它们的坐标满足圆的方程，即 解三元一次方程组，得D=-2,E=0,F=0. 因此,所求圆的一般方程为x2+y2-2x=0. 将方程x2+y2-2x=0配方，得(x-1)2+y2=12， 即圆心坐标为(1,0),圆的半径为1. 例题解析 例3 求以C(1，1)圆心，且过圆x2+y2-6x+2y+1=0的圆心的圆的方程. 解 圆1的圆心为(3，-1) 设圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=r2 (3-1)2+(-1-1)2=r2 =8 (x-1)2+(y-1)2=8 随堂练习 解析 1.求下列圆的圆心坐标和半径： (1) x2+y2-4x=0; (2) x2+y2+4y-5=0; (3) x2+y2-6x+2y-6=0; (4) x2+2x+y2-6y=0 解：(1)配方得：(x−2) 2+y 2=4 所以，圆心坐标是 (2,0)，半径是 2. 随堂练习 解析 1.求下列圆的圆心坐标和半径： (1) x2+y2-4x=0; (2) x2+y2+4y-5=0; (3) x2+y2-6x+2y-6=0; (4) x2+2x+y2-6y=0 解：(2)配方得：x 2+(y+2) 2=9 所以，圆心坐标是 (0,-2)，半径是 3. 随堂练习 解析 1.求下列圆的圆心坐标和半径： (1) x2+y2-4x=0; (2) x2+y2+4y-5=0; (3) x2+y2-6x+2y-6=0; (4) x2+2x+y2-6y=0 解：(3)配方得：（x-3） 2+(y+1) 2=16 所以，圆心坐标是 (3,-1)，半径是 4. 随堂练习 解析 1.求下列圆的圆心坐标和半径： (1) x2+y2-4x=0; (2) x2+y2+4y-5=0; (3) x2+y2-6x+2y-6=0; (4) x2+2x+y2-6y=0 解：(4)配方得：（x+1） 2+(y-3) 2=10 所以，圆心坐标是 (-1，3)，半径是 . 随堂练习 解析 2.求以点(4,-2)为圆心, 2为半径的圆的一般方程. 圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=22 (x−4)2=x2−8x+16 (y+2)2=y2+4y+4 圆的方程为x2−8x+16+y2+4y+4=4 移项得：圆的一般方程为x2+y2−8x+4y+16=0 随堂练习 解析 3.方程x2+y2-4x+2y-1=0,是否为圆的方程?如果是,求圆心坐标和圆的半径. 解法一 由方程x2+y2-4x+2y-1=0,知D=-4,E=2,F=-1,因为 D2+E2-4F=16+4-4×(-1)=24>0, 所以方程x2+y2-4x+2y-1=0为圆的方程,圆心坐标为 随堂练习 解析 3.方程x2+y2-4x+2y-1=0,是否为圆的方程?如果是,求圆心坐标和圆的半径. 解法二 将方程x2+y2-4x+2y-1=0,进行配方 x2-4x+y2+2y=1 x2-4x+4+y2+2y+1=1+4+1 x2-4x+4+y2+2y+1=6 得 方程x2+y2-4x+2y-1=0是圆的方程， 圆心坐标为（2，-1），圆的半径为. 课后小结 圆的一般方程与标准方程的关系 配方，整理得 当时，方程表示以为圆心， 为半径的圆 课后作业 1.书面作业：完成《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. $$