4.3.2 直线与平面垂直（同步课件）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

第4章 立体几何 4.3.2 直线与平面垂直 高教社数学拓展模块一（修订版）（上册） 目录ONTENTS C 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 无人机广泛应用于生产生活各个领域，我国无人机技术已达世界先进水平．某型号无人机如图所示，其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴 AB 均垂直，垂足是B．设螺旋桨旋转时构成的平面为α，显然，无人机的每根螺旋桨都在平面α内．试问，平面α与旋轴 AB 之间有怎样的位置关系？ 容易看出，平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直．对于平面α内不过点B的任意一条直线，它一定与平面α内过点B的某条直线平行．由异面直线所成角的定义可知，这条直线也与旋转轴AB 垂直．因此，平面α内的每一条直线都与AB 垂直． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业   如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足．直线l与平面α垂直记作l ⊥α． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 如图所示，若l⊥α,m⊆α，根据直线与平面垂直的定义可知l⊥m．这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法． 画竖直的直线与水平平面垂直时,应将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 在日常生活和生产中，常常需要判断直线与平面的垂直关系．例如，国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等．但是，判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业   如图所示，若m、n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥m，l⊥n，则l⊥α．   直线与平面垂直的判定定理  如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例1.四个面都是正三角形的四面体称为正四面体． 已知正四面体ABCD，如图所示． 求证：BD⊥AC． 证明：设BD的中点为O，连接 AO 、CO． 又AO∩CO=O，且AO、CO ⊆平面AOC，故BD⊥平面AOC． 因为正四面体 ABCD 的四个面都是正三角形，所以AO⊥BD，CO ⊥BD ． 根据直线与平面垂直的定义，由AC ⊆平面AOC，可知BD⊥AC ． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例2.证明：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知： m∥n,m⊥α,如图所示．  求证：n⊥α． 证明在平面α内任取两条相交直线c和d ，因为 m⊥α，c⊆α， d ⊆ α，所以m⊥c，m⊥d．又m∥n，故n⊥c，n⊥d ． 根据直线与平面垂直的判定定理，由c与d相交，n⊥α ． 例2是直线与平面垂直的另一个判定定理． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 可以证明，例2中所述命题的逆命题也成立． 如图所示若m⊥α，n⊥α，则m∥n．   线与平面垂直的性质定理  如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．     在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例3.如图所示，已知一条直线l和平面α平行，过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线 AA' 、BB' ，垂足分别为A'、B' ．求证：AA'=BB' ．   证明：因为 AA' ⊥α，BB' ⊥α，所以AA'∥ BB' ． 设经过直线AA' 、BB'的平面为β，则β∩α=A'B' ．   由l∥α ，可知l∥A'B' ，因此四边形AA'B'B 为平行四边形，所以AA'=BB'． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 × × 1.判断下列命题的真假． （1）如果直线m垂直于平面α内的无数条直线，那么m⊥α； （2）如果l⊥m， l⊥n，且m ⊆ α，n ⊆ α，那么 l⊥α ； （3）如果l⊥α ，m⊥α ，那么 l⊥m． × 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的(　　) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 解：根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确． B 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 练习4.3.2-2,3,4,5题；习题4.3-A组5,6题 再见 2. 已知：如图、分别是平面的垂线、斜线， ，， 求证：. 证明：，，， 又，，平面， 平面， 又平面，． （2）平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 4. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面 【详解】（1）如图，连，，， 平面平面，平面 5. 如图，假设旗杆与地面的交点为点，在阳光下观察直立于地面的旗杆 及它在地面的影子，随着时间的变化，影子的位置在不断地变化， 它们的位置关系如何？ 【详解】设地面所在的平面为， 由题意知,， 则由线面垂直的性质可以得到， 因此随着时间的变化，虽然影子的位置在不断地变化， 但影子与旗杆始终保持垂直． $$