专题7.1 等差数列通项公式及其前n项和（考点精讲）-【中职专用】2025年技能高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

专题7.1 等差数列通项公式及其前n项和 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：等差数列基本量的计算 3 考点二：等差中项 4 考点三：等差数列的性质 6 考点四：等差数列前n项和的计算 7 考点五：数列单调性问题 9 考点六：等差数列前n项和的性质 11 【考纲要求】 1.理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系 5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质 【考向预测】 1.等差数列的通项公式 2.等差数列的前n项和 【知识清单】 1. 等差数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示 2. 数学表达式 3. 通项公式 ，，， 4. 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 5. 等差中项 若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 6. 等差数列通项公式的性质 （1）若，或 （2）若，为等差数列，则，仍为等差数列 7. 等差数列前n项和 或 8. 等差数列前n项和与函数关系 令，， 等差数列前项和公式是无常数项的二次函数 9. 等差数列前n项和的性质 （1） ，，……仍成等差数列 （2） 为等差数列 推导过程：（一次函数）为等差数列 （3） （4） 10. 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 【考点分类剖析】 考点一：等差数列基本量的计算 例1．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】设公差为，因为，， 所以，所以. 故选：B. 【变式探究1】在等差数列中，，，则（   ） A．10 B．17 C．21 D．35 【答案】B 【分析】首先求出公差，再应用等差数列通项公式即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：B 【变式探究2】在公差为的等差数列中，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由等差数列通项公式即可求解 【详解】因为为公差为的等差数列， 所以 故选：D 【变式探究3】在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 【变式探究4】等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 【答案】B 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得公差， 故, 故选：B 考点二：等差中项 例1．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据等差中项的概念求值. 【详解】由题意：. 故选：D 【变式探究1】如果三个数，，成等差数列，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】由等差中项定义可解. 【详解】由，，成等差数列， 则，得. 故选：A 【变式探究2】在等差数列中，，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的中项求解. 【详解】解：由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 【变式探究3】已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质可得的等式关系，再计算即可. 【详解】因为，，，为等差数列，所以，， 所以，，所以. 故选：A． 考点三：等差数列的性质 例1．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】在等差数列 中，,所以. 故选：B. 【变式探究】在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】直接由等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 例2．已知是等差数列，且，，则的值是（   ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列， 所以． 故选：B 【变式探究】已知是等差数列，且，则（   ） A．55 B．58 C．61 D．64 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 已知 ， 作差得，即， 所以. 故选：C 考点四：等差数列前n项和的计算 例1．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．64 B．80 C．96 D．120 【答案】C 【分析】设出公差，得到方程组，求出首项和公差，利用求和公式得到答案. 【详解】设公差为， 则，解得， 故. 故选：C 【变式探究1】已知等差数列的前n项和为，，，则（   ） A．220 B．240 C．260 D．280 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义求得首项和公差，代入求和公式即可求得. 【详解】由数列为等差数列，且，，则 ，解得，. 故选：D 【变式探究2】已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．7 C．14 D． 【答案】B 【分析】先由可求出与公差的关系，再利用等差数列的前项和公式，以及通项公式化简，代入求值即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 则， 故选：B. 例2．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【分析】利用等差数列性质及前n项和公式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：B 【变式探究1】已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以. 故选：A. 【变式探究2】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．48 B．42 C．24 D．21 【答案】B 【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可求得. 【详解】因为等差数列，故， 则. 故选：B. 考点五：数列单调性问题 例1．已知数列，通项公式为，那么的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，推导出数列是首项为，公差为2的等差数列，由此求出，再由配方法能够求出当前项和取到最小值时，的值． 【详解】，， ， 数列是首项为，公差为2的等差数列， ， 前项和取到最小值时，， 故选：B 【变式探究1】在数列中，如果（），那么使这个数列的前项和取得最大值时，的值等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】考虑何时变号，则可得前项和取得最大值时的值. 【详解】因为，故，故数列为等差数列， 又当时，；当时，， 故当时，取得最大值， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列前和的最值问题，依据项的符号的变化来判断是通法，本题属于基础题. 【变式探究2】已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质得出即可求解. 【详解】等差数列，，， ，，则取最大值时，. 故选：A. 【变式探究3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第12项 D．第13项 【答案】B 【分析】由等差数列的前n项和可得a6＋a7>0，a7<0，从而可得a6>0，根据公差d<0即可得出答案. 【详解】由题意S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7， 得a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小. 故选：B 例2．已知数列中，前项和，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由二次函数的性质和可确定取最小值时的取值，代入可求得结果. 【详解】由二次函数性质和可知：当或时，取得最小值， . 故选：. 【点睛】本题考查利用的二次函数性求解最值的问题，属于基础题. 【变式探究】数列的前项和，则取最大值时的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质计算可得. 【详解】对于函数对称轴为，开口向下， 所以当时函数取得最大值， 所以当时取得最大值. 故选：B 考点六：等差数列前n项和的性质 例1．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 【变式探究1】知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．12 C．14 D．20 【答案】D 【分析】依据等差数列的性质去求的值 【详解】等差数列的前n项和为，， 则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列 则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20 故选：D 【变式探究2】设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．45 B．32 C．47 D．54 【答案】A 【分析】根据等差数列的前n项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【详解】由题可知：成等差数列 所以，又，所以 故选：A 例2．等差数列的前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于为等差数列，可以利用等差数列的等差中项与求和公式之间的联系即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前项和分别为， 且， ∴， ∵. 故选：A. 【变式探究1】设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求解. 【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是， 所以. 故选：B 【变式探究2】两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 等差数列通项公式及其前n项和 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：等差数列基本量的计算 3 考点二：等差中项 3 考点三：等差数列的性质 4 考点四：等差数列前n项和的计算 5 考点五：数列单调性问题 5 考点六：等差数列前n项和的性质 6 【考纲要求】 1.理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系 5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质 【考向预测】 1.等差数列的通项公式 2.等差数列的前n项和 【知识清单】 1. 等差数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示 2. 数学表达式 3. 通项公式 ，，， 4. 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 5. 等差中项 若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 6. 等差数列通项公式的性质 （1）若，或 （2）若，为等差数列，则，仍为等差数列 7. 等差数列前n项和 或 8. 等差数列前n项和与函数关系 令，， 等差数列前项和公式是无常数项的二次函数 9. 等差数列前n项和的性质 （1） ，，……仍成等差数列 （2） 为等差数列 推导过程：（一次函数）为等差数列 （3） （4） 10. 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 【考点分类剖析】 考点一：等差数列基本量的计算 例1．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式探究1】在等差数列中，，，则（   ） A．10 B．17 C．21 D．35 【变式探究2】在公差为的等差数列中，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式探究3】在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 【变式探究4】等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 考点二：等差中项 例1．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【变式探究1】如果三个数，，成等差数列，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 【变式探究2】在等差数列中，，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式探究3】已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 考点三：等差数列的性质 例1．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【变式探究】在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 例2．已知是等差数列，且，，则的值是（   ） A．24 B．27 C．30 D．33 【变式探究】已知是等差数列，且，则（   ） A．55 B．58 C．61 D．64 考点四：等差数列前n项和的计算 例1．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．64 B．80 C．96 D．120 【变式探究1】已知等差数列的前n项和为，，，则（   ） A．220 B．240 C．260 D．280 【变式探究2】已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．7 C．14 D． 例2．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【变式探究1】已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 【变式探究2】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．48 B．42 C．24 D．21 考点五：数列单调性问题 例1．已知数列，通项公式为，那么的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【变式探究1】在数列中，如果（），那么使这个数列的前项和取得最大值时，的值等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【变式探究2】已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式探究3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第12项 D．第13项 例2．已知数列中，前项和，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】数列的前项和，则取最大值时的值为（    ） A． B．2 C． D．4 考点六：等差数列前n项和的性质 例1．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【变式探究1】知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．12 C．14 D．20 【变式探究2】设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．45 B．32 C．47 D．54 例2．等差数列的前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式探究1】设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究2】两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$