第31讲 抛物线（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第31讲 抛物线 【考纲要求】 1. 理解抛物线线的定义、几何图形、标准方程 。 2. 初步掌握抛物线的几何性质。 3. 掌握抛物线的简单应用。 1． 抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 注意：（1）抛物线的定义 抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到 准线的距离，可以使运算化繁为简． （2）抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离． （3）求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程． 考点一 抛物线定义 例1：若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_______． 变式：已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.求动点P的轨迹C的方程； 例2：动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 变式：已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________. 考点二　抛物线的标准方程 例1：分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 变式：分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． （1）准线方程为； （2）若抛物线上的点到焦点的距离是4； （3）以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程； （4）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点； 考点三 抛物线性质 例1：抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 变式：物线y＝－x2的焦点坐标是(　　) A.(0，－1) B.(0，1) C.(1，0) D.(－1，0) 例2：抛物线x2＝y的准线方程为(　　) A．y＝－ B．x＝－ C．y＝ D．x＝ 变式：抛物线C：y2＝－x的准线方程为(　　) A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－ 例3：已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，则到直线的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式：已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ） A．3 B． C．5 D． 例4：对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 变式：关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 例5：若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________． 变式：抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求的准线方程. 例6：已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 变式：抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 例7：过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 变式：斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 考点四 抛物线应用 例1：如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米． 例2：已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (　　)　　　　　　　　　　　　 A. B．1 C. D. 变式： 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于 (　　) A．4 B．8 C．8 D．16 例3：设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 变式：已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为 (　　) A．18 B．24 C．36 D．48 例4：已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________. 变式：从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为 (　　) A．5 B．10 C．20 D. 例5：若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________. 变式：已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________. 例6：设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________. 变式：若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　) A.2 B. C. D.3 例7：已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点， （1）求抛物线的方程及其焦点坐标； （2）求. 变式：已知动圆经过点，并且与直线相切 （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线与轨迹相交于两点，求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第31讲 抛物线 【考纲要求】 1. 理解抛物线线的定义、几何图形、标准方程 。 2. 初步掌握抛物线的几何性质。 3. 掌握抛物线的简单应用。 1． 抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 注意：（1）抛物线的定义 抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到 准线的距离，可以使运算化繁为简． （2）抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离． （3）求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程． 考点一 抛物线定义 例1：若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_______． 【答案】　x2＝12y 【解析】由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y. 变式：已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.求动点P的轨迹C的方程； 【解析】设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1. 化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0. 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x (x≥0)和y＝0 (x<0)． 例2：动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 【答案】y2＝4x 【解析】设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 变式：已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________. 【答案】3 【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3. 考点二　抛物线的标准方程 例1：分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 【解析】(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)． 又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， 则2p＝，2p1＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 变式：分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． （1）准线方程为； （2）若抛物线上的点到焦点的距离是4； （3）以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程； （4）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点； 【解析】（1）因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为， （2）由题得抛物线的准线方程为到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，故抛物线方程为． （3）由椭圆可得，所以左焦点坐标为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为. （4）由已知可知双曲线的焦点为，故设抛物线方程为 ，则，故 ，所以抛物线方程为. 考点三 抛物线性质 例1：抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，且抛物线的开口向下，故焦点坐标为，故焦点坐标为. 变式：物线y＝－x2的焦点坐标是(　　) A.(0，－1) B.(0，1) C.(1，0) D.(－1，0) 【答案】　A 【解析】抛物线y＝－x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，＝1，故焦点(0，－1). 例2：抛物线x2＝y的准线方程为(　　) A．y＝－ B．x＝－ C．y＝ D．x＝ 【答案】A 【解析】由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为），准线方程为y＝－. 变式：抛物线C：y2＝－x的准线方程为(　　) A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－ 【答案】　A 【解析】y2＝－x的准线方程为x＝. 例3：已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，则到直线的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由得，所以F到直线l的距离为。 变式：已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】由抛物线方程，得其准线方程为.设，，由抛物线的定义，得，即，所以线段中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为． 例4：对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为. 变式：关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】A 【解析】对选项A，，开口向左，故A正确；对选项B，，焦点为，故B错误；对选项C，，准线方程为，故C错误；对选项D，，对称轴为轴，故D错误. 例5：若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________． 【答案】4 【解析】因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4. 变式：抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求的准线方程. 【答案】 【解析】解：由椭圆可得，所以椭圆的焦点坐标为和，     又因为的焦点在轴正半轴上，所以的焦点坐标为，从而的准线方程为； 例6：已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】由题可知，抛物线准线为y＝－，可得1＋＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2. 变式：抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 【答案】B 【解析】由题意可得|MF|＝xM＋，则3＋＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x. 例7：过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得， |PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 变式：斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 【答案】　 【解析】由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，设直线AB的方程为y＝(x－1).由得3x2－10x＋3＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝. 考点四 抛物线应用 例1：如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米． 【答案】　2 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米． 例2：已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　 )　　　　　　　　　　　　 A. B．1 C. D. 【答案】C 【解析】∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝. ∴线段AB的中点到y轴的距离为＝. 变式： 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于 (　　) A．4 B．8 C．8 D．16 【答案】B 【解析】设P，则A(－2，y)，由kAF＝－，即＝－， 得y＝4，|PF|＝|PA|＝＋2＝8. 例3：设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 【答案】B 【解析】方法一　由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1. 设A，则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1. 因为|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2， 解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)． 不妨取A(1,2)，则|AB|＝＝＝2. 方法二　由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2. 因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半， 所以AF⊥x轴，所以|AB|＝＝＝2. 变式：已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为 (　　) A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【解析】不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36. 例4：已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________. 【答案】5　4 【解析】因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)， 因为|FM|＝6，所以xM＋＝6，解得xM＝5，故yM＝±2，所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4. 变式：从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为 (　　) A．5 B．10 C．20 D. 【答案】　B 【解析】由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10. 例5：若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________. 【答案】 ） 【解析】　如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为 ）。 变式：已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________. 【答案】2 【解析】由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2. 例6：设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________. 【答案】 【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝. 变式：若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　) A.2 B. C. D.3 【答案】A 【解析】由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离. ∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2. 例7：已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点， （1）求抛物线的方程及其焦点坐标； （2）求. 【解析】（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为. （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设， 联立方程组消去可得，则，所以. 变式：已知动圆经过点，并且与直线相切 （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线与轨迹相交于两点，求 【解析】（1）设，则依题意可得，化简得， 所以动圆圆心P的轨迹M的方程为 （2）直线的方程为，即， 联立，消去并整理得， 设，，则，， 由弦长公式可得.所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$