4.2 对数和对数函数-2024版山东省职教高考数学复习教材

4. 2　 对数和对数函数 ! "#$%& 1. 理解对数的概念; 2. 理解对数的性质和运算法则,能利用计算器求对数值; 3. 理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象和性质; 4. 能运用对数函数的知识解决有关问题. 1.对数 (1) 对数的概念 一般地,如果 ab = N(a > 0,且 a ≠ 1),那么 b 称为以 a 为底 N 的对数,记作 b =logaN,其中 a 称为对数 的底数,N 称为真数. 例如,由 23 = 8 知,3 是以 2 为底 8 的对数,记作 3 = log28. 根据对数的定义,对数式也可以转换成指数式,它们的关系如下. 例如,3x = 8 化为对数式为 x =log38,log2m = 10 化为指数式为 m = 210 . (2) 常用对数与自然对数 常用对数:以 10 为底的对数叫做常用对数,log10N 记为 lg N. 自然对数:以无理数 e(e = 2. 718 28…) 为底的对数叫做自然对数,logeN 记为 ln N. (3) 对数的基本性质 ① 负数和 0 没有对数,即当 N ≤ 0 时,logaN 没有意义; ②1 的对数等于 0,即loga1 = 0; ③ 底数的对数等于 1,即logaa = 1; ④alogaN = N(N > 0); ⑤logaab = b. 65 (4) 积、商、幂的对数 如果 a > 0,且 a ≠ 1,M > 0,N > 0,那么有如下的运算性质. loga(MN) =logaM + logaN; loga M N =logaM - logaN; logaMn = nlogaM(n ∈ R) . 2.对数函数 (1) 对数函数的概念 一般地,形如 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 的函数称为对数函数,其中 x 是自变量,定义域是(0, + ∞ ), 值域是 R. (2) 对数函数的图象与性质 函数 y = logax(a > 0 且 a ≠ 1) a > 1 0 < a < 1 图象 性质 定义域是(0, + ∞ ),值域是 R 过定点(1,0),即当 x = 1 时,y = 0 当 x > 1 时,y > 0;当 0 < x < 1 时,y < 0 当 x > 1 时,y < 0;当 0 < x < 1 时,y > 0 在(0, + ∞ ) 上是增函数 在(0, + ∞ ) 上是减函数 3.利用计算器求对数值 在实际计算对数时,经常借助科学型计算器完成,操作步骤为:将计算器设置成普通计算状态,利用 ln 键计算自然对数,利用 lg 键计算常用对数,利用 log■ 键计算一般底数的对数. !"#$ 题型一:对数的运算 ! 1 已知 a =log94,则 3a 的值是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 【解析】 由 a =log94,得 9a = 4,即 32a = 4,即(3a) 2 = 22,得 3a = 2. 【答案】 B 75 ! 2 (2020,22) 若 log2x - log 1 2 4 = 0,则实数 x 的值是 . 【解析】 因为 log2x - log 1 2 4 =log2x - log 1 2 1 2( ) -2 = 0, 所以log2x = - 2,解得 x = 2 -2 = 1 4 . 【答案】 1 4 题型二:对数函数的概念 ! 3 函数 f(x) = 1 log3(3x - 2) 的定义域为 (　 　 ) A. 2 3 , + ∞é ë êê ) B. (3, + ∞ ) C. 2 3 ,1é ë êê ) ∪ (1, + ∞ ) D. 23 ,1( ) ∪ (1, + ∞ ) 【解析】 由 f(x) = 1 log3(3x - 2) 有意义得 3x - 2 > 0, log3(3x - 2) ≠ 0,{ 解得 x > 2 3 且 x ≠ 1, 所以函数 f(x) = 1 log3(3x - 2) 的定义域为 2 3 ,1( ) ∪ (1, + ∞ ) . 【答案】 D ! 4 函数 f(x) =log2x,x ∈ [1,8] 的值域为 (　 　 ) A. [0,4] B. [0,3] C. [1,4] D. [1,3] 【解析】 易知函数 f(x) =log2x,x ∈ [1,8] 是增函数, 所以 f(x) 的最大值为 f(8) =log28 = 3,f(x) 的最小值为 f(1) =log21 = 0. 故函数 f(x) =log2x,x ∈ [1,8] 的值域为[0,3] . 【答案】 B 题型三:对数函数的图象与性质 ! 5 (2021,4) 已知函数 y = logax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象如图所示,则函数 y = (1 - a)x2 + 1 的图 象大致是 (　 　 ) A. B. C. D. 85 【解析】 由对数函数 y = logax 的图象可知,底数 a > 1,则 1 - a < 0, 所以二次函数 y = (1 - a)x2 + 1 的图象开口向下,对称轴为 y 轴,顶点坐标为(0,1) . 结合选项可知 B 符合题意. 【答案】 B ! 6 已知 a = 1 2( ) 1 3 ,b =log2 1 5 ,c =log 1 2 1 7 ,则 (　 　 ) A. a > b > c B. a > c > b C. c > a > b D. c > b > a 【解析】 因为 y = 1 2( ) x 在 R 上单调递减,且 0 < 1 3 < 1, 所以 1 2( ) 1 < 1 2( ) 1 3 < 1 2( ) 0 ,即 1 2 < a < 1. 因为 y =log2x 在 0, + ∞( ) 上单调递增,且 1 5 < 1, 所以log2 1 5 < log21 = 0,即 b < 0. 因为 y =log 1 2 x 在 0, + ∞( ) 上单调递减,且 1 7 < 1 2 , 所以log 1 2 1 7 > log 1 2 1 2 = 1,即 c > 1. 所以 c > a > b. 【答案】 C 题型四:利用计算器求对数值 ! 7 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第三位) . (1)lg 2. (2)ln 1. 5. 【解析】 设置计算器为普通计算状态. (1) 操作步骤为:按 lg → 2 → = ,显示计算结果 0. 301 0…, 所以 lg 2 ≈ 0. 301. (2) 操作步骤为:按 ln → 1 → . → 5 → = ,显示计算结果 0. 405 4…, 所以 ln 1. 5 ≈ 0. 405. 95 1. 将 23 = 8 化为对数式正确的是 (　 　 ) A. log23 = 8 B. log28 = 3 C. log82 = 3 D. log32 = 8 2. 若 lg x = 2,则 x = (　 　 ) A. 100 B. 10 C. 210 D. 2 3. 函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是 (　 　 ) A. (0, + ∞ ) B. (0,1) ∪ (1, + ∞ ) C. [0, + ∞ ) D. R 4. 已知 a =1. 20. 1,b =log43,c =log 1 2 3,则 (　 　 ) A. b > a > c B. a > b > c C. a > c > b D. c > a > b 5. 函数 f(x) =log3(1 - 2x) 的定义域为 (　 　 ) A. - ∞ , 1 2( ù û úú B. - ∞ , 1 2( ) C. 0, 1 2( ) D. 1 2 , + ∞( ) 6. 已知 a > 0 且 a ≠ 1,则函数 y = x + a 与 y =logax 的图象只可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 7. 函数 f(x) =log 1 2 x,x ∈ 1 16 , 1 2 é ë êê ù û úú ,则 f(x) 的最大值为 (　 　 ) A. 4 B. 8 C. - 4 D. - 8 06 8. 计算:log153 - log64 + log155 - 2log63 = . 9. 若log2(x + 1) = 1,则实数 x 的值为 . 10. 已知函数 f(x) = 2x,x ≤ 4, log3(x + 1),x > 4, { 则 f(8) = . 11. 已知函数 f(x) =logax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象过点(4,2) . (1) 求 a 的值; (2) 求不等式 f(1 + x) < f(3) 的解集. 12. 已知函数 f(x) = ln(2 - x) + ln(2 + x) . (1) 判断函数 f(x) 的奇偶性; (2) 求方程 f(x) = 0 的解. 16 11. 19 6 　 【解析】 1 2( ) -1 - 4 ×( - 2) -3 + 1 4( ) 0 -9 - 12 = 2 - 4 × - 1 8( ) + 1 -(3 2 ) - 12 = 2 + 1 2 + 1 - 1 3 = 19 6 . 12. 【解析】(1)∵ 指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9), ∴ f( - 2) = a -2 = 1 a2 = 9,解得 a = 1 3 , ∴ 函数 f(x) 的解析式为 f(x) = 1 3( ) x . (2)∵ f(2m - 1) - f(m + 3) > 0, ∴ f(2m - 1) > f(m + 3), ∴ 1 3( ) 2m-1 > 1 3( ) m+3 . 又指数函数 f(x) = 1 3( ) x 在 R 上单调递减, ∴ 2m - 1 < m + 3,解得 m < 4, ∴ 实数 m 的取值范围是( - ∞ ,4) . 4. 2　 对数和对数函数 1. B　 【解析】23 = 8 化为对数式为log28 = 3. 2. A　 【解析】 由 lg x = 2 可得 x = 102 = 100. 3. B　 【解析】 由题意得 x > 0, ln x ≠ 0,{ 解得 x > 0 且 x ≠ 1,所以函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是(0,1) ∪ (1, + ∞ ) . 4. B　 【解析】 因为函数 y = 1. 2x 为增函数,所以1. 20. 1 > 1. 20 = 1,即 a > 1. 因为函数 y = log4x 是增函数,所以 0 = log41 < log43 < log44 = 1,即 0 < b < 1. 因为函数 y = log 1 2 x 是减函数,所以log 1 2 3 < log 1 2 1 = 0,即 c < 0. 所以 a > b > c. 5. B　 【解析】 要使函数 f(x) = log3(1 - 2x) 有意义,须 1 - 2x > 0,解得 x < 1 2 ,所以函数 f(x) = log3(1 - 2x) 的定义域 为 - ∞ , 1 2( ) . 6. C　 【解析】 当 a > 1 时,函数 y = logax为增函数,且直线 y = x + a与 y轴的交点的纵坐标大于 1;当 0 < a < 1 时,函数 y = logax 为减函数,且直线 y = x + a 与 y 轴的交点的纵坐标大于 0 小于 1. 只有 C 选项中的图象符合题意. 7. A　 【解析】 易知 f(x) = log 1 2 x,x ∈ 1 16 , 1 2[ ] 为减函数,∴ f(x) max = f 1 16( ) = log 12 1 16 = 4. 8. - 1　 【解析】 原式 = log15(3 × 5) - log6(4 × 32 ) = 1 - 2 = - 1. 9. 1　 【解析】 由log2(x + 1) = 1,可得log2(x + 1) = log22,所以 x + 1 = 2,解得 x = 1. 10. 2　 【解析】 因为函数 f(x) = 2x,x ≤ 4, log3(x + 1),x > 4, { 所以 f(8) = log3(8 + 1) = 2. 11. 【解析】(1)∵ f(x) = logax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象过点(4,2), ∴ loga4 = 2loga2 = 2, ∴ a = 2. 712 (2) 易知函数 f(x) = log2x 的定义域为(0, + ∞ ),且 f(x) = log2x 为增函数. ∵ f(1 + x) < f(3), ∴ 1 + x < 3, 1 + x > 0,{ 解得 - 1 < x < 2, ∴ 不等式 f(1 + x) < f(3) 的解集为( - 1,2) . 12. 【解析】(1) 要使函数 f(x) = ln(2 - x) + ln(2 + x) 有意义, 须 2 - x > 0, 2 + x > 0,{ 解得 - 2 < x < 2, 所以函数 f(x) 的定义域为( - 2,2),关于原点对称. 又 f( - x) = ln(2 + x) + ln(2 - x) = f(x), 所以函数 f(x) 是偶函数. (2) 方程 f(x) = 0,即 ln(2 - x) + ln(2 + x) = 0,即 ln[(2 - x)(2 + x)] = ln 1,即(2 - x)(2 + x) = 1, 所以 4 - x2 = 1,即 x2 = 3,解得 x = 3 或 x = - 3 , 故方程 f(x) = 0 的解为 x = 3 或 x = - 3 . 第五章 　 数 　 　 列 5. 1　 等 差 数 列 1. B　 【解析】 因为 an = 2 n,所以 a9 = 2 9 = 6. 2. D　 【解析】 对于 A,a3 = 1 23 ≠ 1 6 ,不符合题意;对于 B,a1 = 1 21 - 1 ≠ 1 2 ,不符合题意;对于 C,a1 = 1 2 × 1 + 1 ≠ 1 2 ,不符 合题意;对于 D,a1 = 1 2 × 1 = 1 2 ,a2 = 1 2 × 2 = 1 4 ,a3 = 1 2 × 3 = 1 6 ,a4 = 1 2 × 4 = 1 8 ,符合题意. 3. A　 【解析】 因为等差数列{an} 中,公差 d = 4,a5 = a1 + 4d = a1 + 4 × 4 = 7,所以 a1 = - 9. 所以 an = a1 + (n - 1)d = - 9 + (n - 1) × 4 = 4n - 13. 令 an = 4n - 13 = 479,解得 n = 123,所以 479 是数列的第 123 项. 4. B　 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d.由题意得 a3 = a1 + 2d = 4, S6 = 6a1 + 15d = 30, { 解得 a1 = 0,d = 2,所以 a2 = a1 + d = 0 + 2 = 2. 5. C　 【解析】 依题意,该公司每年研发费用依次成等差数列,设为{an} . 易知{an} 的首项 a1 = 4,公差 d = 2,所以该公司第 n 年的研发费用为 an = a1 + (n - 1)d = 2n + 2. 令 2n + 2 ≥ 20,解得 n ≥ 9,所以从 2023 年开始第 9 年,即 2031 年的费用 首次达到 20 亿元. 6. B　 【解析】 根据题意得 a3 = a1 + 2d = 7, a5 + a8 = a1 + 4d + a1 + 7d = 42, { 解得 a1 = - 1,d = 4. 7. C　 【解析】∵ a1 = - 2,d = 2,等差数列{an} 的前 n 项和 Sn = na1 + n(n - 1) 2 d,∴ S10 = - 2 × 10 + 10 × 9 2 × 2 = 35 2 . 8. A　 【解析】 由等差数列{an} 的通项公式 an = 3 - 4n,得 a1 = - 1,a2 = - 5,所以公差 d = a2 - a1 = - 5 - ( - 1) = - 4. 812