4.2 对数和对数函数-2025版河南省高职单招考试数学复习教材

17. ( - ∞ , - 1]　 【解析】 易知指数函数 y = 1 2( ) x 在定义域内单调递减. 要使 f(x) = 1 2( ) x - 2 有意义,须 1 2( ) x - 2 ≥ 0,即 1 2( ) x ≥ 1 2( ) -1 ,解得 x ≤- 1,故函数 f(x) 的定义域为( - ∞ , - 1] . 18. (2, + ∞ )　 【解析】 由函数 y = 4x 的值域为(0, + ∞ ),得函数 y = 4x + 2 的值域为(2, + ∞ ) . 4. 2　 对数和对数函数 1. A　 【解析】 由 lg x = 2 可得 x = 102 = 100. 2. D　 【解析】 lg 6 = lg(2 × 3) = lg 2 + lg 3 = a + b. 3. B　 【解析】 1 2( ) 3 = 1 8 化为对数式为log 1 2 1 8 = 3. 4. C　 【解析】 f(2) = log2(6 - 2) = log24 = log222 = 2. 5. C　 【解析】 要使函数 y = lg(1 - x) 有意义,须 1 - x > 0,解得 x < 1,所以函数 y = lg(1 - x) 的定义域为( - ∞ ,1) . 6. C　 【解析】 因为函数 y = log2x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,所以当 2 ≤ x ≤ 8 时,1 ≤ log2x ≤ 3,所以函数 f(x) = log2x 在[2, 8] 上的取值范围为[1,3] . 7. B　 【解析】 易知指数函数 y = 2x 在 R 上单调递增,y = log2x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,只有 B 选项满足. 8. B　 【解析】 由函数 f(x) = 1 ln x 有意义得 x > 0, ln x ≠ 0, { 解得 x > 0 且 x ≠ 1, 故函数 f(x) = 1ln x 的定义域是(0,1) ∪ (1, + ∞ ) . 9. B　 【解析】 因为函数 y = log3x在(0, + ∞ ) 上单调递增,y = log5x在(0, + ∞ ) 上单调递增,所以 1 2 = log3 3 < a = log32 < 1,b = log52 < log5 5 = 1 2 . 又 c = 3a = 3 log32 = 2,所以 b < a < c. 10. A　 【解析】 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时,f(x) = log3x,所以 f( - 3) = - f(3) = - log33 = - 1. 11. √　 【解析】∵ 0 < 1 2 < 1,∴ y = log 1 2 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,∴ 当 x > 1 时,y < log 1 2 1 = 0,故该说法正确. 12. ✕　 【解析】∵ 10 = lg x,∴ x = 1010 . 13. ✕　 【解析】 若 x = - 1,y = - 2,满足 x > y,但 ln x,ln y 无意义,所以该说法错误. 14. 2　 【解析】2log510 - log54 = log5100 - log54 = log5 100 4 = log525 = 2. 15. - 1　 【解析】 由 f(x) = ex(x ≤ 0), ln x(x > 0) { 知 f( - 1) = e -1 ,则 f[ f( - 1)] = f(e -1 ) = ln e -1 = - 1. ·11· 12. 已知当 x > 0 时,函数 f(x) = (3a - 2) x 的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. 2 3 ,1( ) B. ( - ∞ ,1) C. (1, + ∞ ) D. 0, 2 3( ) 13. 已知 a = 4 3( ) -0. 1 ,b = 3 4( ) -0. 1 ,c = 5 - 3 ,则 (　 　 ) A. b > c > a B. b > a > c C. a > b > c D. c > b > a 14. (判断题) 指数函数的图像一定过点(0,1) . (　 　 ) 15. (判断题) 函数 y =ax(a > 0 且 a ≠ 1) 是单调函数. (　 　 ) 16. (判断题) 若 ax > 1,则 x > 0. (　 　 ) 17. 函数 f(x) = 1 2( ) x - 2 的定义域为 . 18. 函数 y = 4x + 2 的值域是 . 4. 2　 对数和对数函数 考纲解读 命题预测 1. 理解对数的概念,掌握指数与对数的互化; 2. 理解对数的运算法则,能够进行简单的对数化简,求值; 3. 理解对数函数的概念、图像及性质. 本节难度中等,主要考查利用对数函数的图像与性 质解决不等式、最值等综合问题. 1. 对数 (1) 对数的概念 一般地,如果 ab = N(a > 0,且 a ≠ 1),那么数 b 称为以 a 为底 N 的对数,记作 b =logaN. 其中 a 称为对数的底数,N 称为真数. ·55· (2) 指数式与对数式的关系 (3) 常用对数与自然对数 常用对数:以 10 为底的对数称为常用对数,log10N 记为 lg N. 自然对数:以无理数 e(e = 2. 718 281…) 为底的对数称为自然对数,logeN记 为 ln N. (4) 对数的运算 设 a > 0,且 a ≠ 1,M > 0,N > 0. 积的对数 loga(MN) = logaM + logaN 商的对数 loga M N = logaM - logaN 幂的对数 logaMb = blogaM(n ∈ R) 2. 对数函数 (1) 对数函数的概念 一般地,形如 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 的函数称为对数函数,其中 x是自变量,a为常数. 对数函数的定 义域是(0, + ∞ ),值域是 R. (2) 对数函数的图像及性质 对数函数 y = logax(a > 0 且 a ≠ 1) a > 1 0 < a < 1 图像 性质 定义域是(0, + ∞ ),值域是 R 图像过定点(1,0),即当 x = 1 时,y = 0 当 x > 1 时,y > 0;当 0 < x < 1 时,y < 0 当 x > 1 时,y < 0;当 0 < x < 1 时,y > 0 在(0, + ∞ ) 上是增函数 在(0, + ∞ ) 上是减函数 3. 对数函数模型及其用法 (1) 对数函数模型 y = mlogax + n(m,n,a 为常数,a > 0,a ≠ 1,m ≠ 0) . ·65· (2) 应用对数函数模型解决简单实际问题的步骤 审题 → 归纳对数函数模型 → 根据对数运算及对数函数的图像与性质进行求解 考点一:对数的概念及运算 已知loga9 = - 2,则 a 的值为 (　 　 ) A. - 3 B. - 1 3 C. 3 D. 1 3 ∵ loga9 = - 2,a > 0, ∴ a -2 = 9,解得 a = 1 3 . D 若 4x = 3,2y = 8 3 ,则 2x + y = (　 　 ) A. 8 B. 1 C. 2 D. 3 ∵ 4x = 3, ∴ x = log43 = 1 2 log23. ∵ 2y = 8 3 , ∴ y = log2 8 3 . ∴ 2x + y = 2 × 1 2 log23 + log2 8 3 = log23 + log2 8 3 = log28 = log223 = 3. D 已知函数 f(x) = lg x,x > 0, 2x,x ≤ 0.{ 若 a = f 1 10( ) ,则 f(a) 的值为 (　 　 ) A. - 2 B. - 1 C. 1 10 D. 1 2 ·75· 由分段函数 f(x) 的解析式及 1 10 > 0 得 a = f 1 10( ) = lg 1 10 = - 1, 所以 f(a) = f( - 1) = 2 -1 = 1 2 . D 若 lg 2 = a,lg 3 = b,则 lg 12 = (　 　 ) A. 2a + b B. a2 + b C. a2b D. 2ab 因为 lg 2 = a,lg 3 = b, 所以 lg 12 = lg(3 × 4) = lg 3 + lg 4 = lg 3 + lg 22 = lg 3 + 2lg 2 = 2a + b. A 考点二:对数函数的概念 函数 y = 1 - x + lg x 的定义域是 (　 　 ) A. {x | x > 1 或 x < 0} B. {x | 0 < x < 1} C. {x | x ≥ 1或 x ≤ 0} D. {x | 0 < x ≤ 1} 由题意得 1 - x ≥ 0, x > 0,{ 解得 0 < x ≤ 1, 所以函数 y = 1 - x + lg x 的定义域是{x | 0 < x ≤ 1} . D 已知函数 f(x) = log 1 2 x,x ∈ 1 4 , 2 2 é ë ê ê ù û ú ú ,则 f(x) 的值域是 (　 　 ) A. 1 2 ,2é ë êê ù û úú B. - 1 2 ,2é ë êê ù û úú C. [0,2] D. 0, 1 2 é ë êê ù û úú 因为函数 f(x) = log 1 2 x 在 x ∈ 1 4 , 2 2 é ë ê ê ù û ú ú 上单调递减, 所以函数的最小值为 f 2 2( ) = log 12 2 2 = log 1 2 1 2( ) 1 2 = 1 2 ,函数的最大值为 f 1 4( ) = log 12 1 4 = log 1 2 1 2( ) 2 = 2, 所以函数 f(x) 的值域为 1 2 ,2é ë êê ù û úú . A ·85· 考点三:对数函数的图像与性质 当 a > 1 时,在同一坐标系内,函数 y = a -x 与 y = logax 的图像是 (　 　 ) A. B. C. D. 由 a > 1 得函数 y = logax 在(0, + ∞ ) 上是增函数,故排除 C,D. 又 y = a -x = 1 a( ) x ,0 < 1 a < 1, 所以函数 y = a -x 在 R 上是减函数,故排除 B. A 比较大小: (1)log0. 990. 97 和 log0. 990. 98; (2)log 1 3 0. 3 和 log20. 8. (1)∵ 0 < 0. 99 < 1, ∴ y = log0. 99x 在(0, + ∞ ) 上是减函数. 又 0. 97 < 0. 98, ∴ log0. 990. 97 > log0. 990. 98. (2)∵ log 1 3 0. 3 > 0,log20. 8 < 0, ∴ log 1 3 0. 3 > log20. 8. 已知 a > 1,函数 y = logax 在区间[a,3a] 上的最大值与最小值的差为 2,则a = . 因为 a > 1, 所以 y = logax 在定义域(0, + ∞ ) 上单调递增,3a > a, 所以 loga3a - logaa = loga3 = 2,解得 a = 3 . 3 ·95· 考点五:对数函数的实际应用 我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬. 研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞 行速度可以表示为函数 v = 5log2 O 10 (单位:m / s),其中O表示燕子的耗氧量,则当燕子静止时的耗氧量和当一 只燕子的耗氧量是 80 时的飞行速度分别是 (　 　 ) A. 10,15 m / s B. 10,8 m / s C. 15,15 m / s D. 50,15 m / s 当燕子静止时,它的速度 v = 0,将其代入 v = 5log2 O 10 得 0 = 5log2 O 10 ,解得 O = 10. 当 O = 80 时,v = 5log2 80 10 = 5log28 = 15(m / s) . A 1. 若 lg x = 2,则 x = (　 　 ) A. 100 B. 10 C. 210 D. 2 2. 已知 lg 2 = a,lg 3 = b,则 lg 6 = (　 　 ) A. a b B. ab C. a - b D. a + b 3. 将 1 2( ) 3 = 1 8 化为对数式正确的是 (　 　 ) A. log 1 2 3 = 1 8 B. log 1 2 1 8 = 3 C. log 1 8 1 2 = 3 D. log3 1 2 = 1 8 4. 已知函数 f(x) = log2(6 - x),则 f(2) = (　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 函数 y = lg(1 - x) 的定义域是 (　 　 ) A. (0,1) B. [0,1] C. ( - ∞ ,1) D. ( - ∞ ,1] ·06· 6. 函数 f(x) = log2x 在区间[2,8] 上的取值范围为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,1] B. [2,4] C. [1,3] D. [1, + ∞ ) 7. 在同一坐标系中,函数 y = 2x 与 y = log2x 的大致图像是 (　 　 ) A. B. C. D. 8. 函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是 (　 　 ) A. (0, + ∞ ) B. (0,1) ∪ (1, + ∞ ) C. [0, + ∞ ) D. R 9. 已知 a =log32,b =log52,c =3a,则 a,b,c 的大小关系为 (　 　 ) A. a < b < c B. b < a < c C. c < a < b D. c < b < a 10. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时,f(x) = log3x,则 f( - 3) = (　 　 ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 11. (判断题) 函数 y =log 1 2 x,当 x > 1 时,y < 0. (　 　 ) 12. (判断题) 若 10 = lg x,则 x = 10. (　 　 ) 13. (判断题) 已知 x > y,则不等式 ln x > ln y 成立. (　 　 ) 14. 2log510 - log54 = . 15. 设函数 f(x) = ex(x ≤ 0), ln x(x > 0),{ 则 f[ f( - 1)] = . ·16·