6.4.3 平面与平面垂直（分层作业）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（北师大版2021·拓展模块一上册）

6.4.3 平面与平面垂直 分层作业 基础巩固 1．如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面 ． 【答案】垂直 2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面（      ） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都有可能 【答案】D 【详解】两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面可以：平行，垂直，斜交 故选：D 3．判断正误． （1）若平面平面，任取直线，则必有．( ) （2）已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．( ) （3）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．( ) 【答案】 × √ √ 【详解】（1）根据面面垂直的性质定理可知错误； （2）根据面面垂直的性质定理可知正确； （3）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内 与交线垂直的直线，这样的直线有无数条，故正确. 4．直线平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】因为直线平面，平面， 根据面面垂直的判定定理可得，即与的位置关系是垂直. 故选：C 5．已知，则过与垂直的平面（　　） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理说明即可. 【详解】由面面垂直的判定定理知，任何过的平面都垂直于平面， 所以这样的平面有无数个． 故选：C 6．下列命题是假命题的是______. A．不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B．如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 【答案】B 【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质逐项判断即可. 【详解】对A，根据线面平行的判定可知其正确； 对B，平面内的两条直线有可能是平行直线，这条直线也可能和平面不垂直，故B项不正确； 对C，根据面面平行的性质可知其正确； 对D，根据面面垂直的判定定理可知其正确. 故选：B. 能力进阶 1．下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案. 【详解】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确; 一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直， 由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确. 故选：C. 2．已知直线，与平面，，（互不相同），则能使的充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【分析】由线面、面面位置关系即可逐一判断各个选项并求解. 【详解】对于A，若，，则平行或相交，故A错误； 对于B，若，则存在使得， 因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 对于C，若，则平行，故C错误； 对于D，若，，，则只能说明相交但不一定垂直，故D错误. 故选：B. 3．已知直线和平面满足，下列命题： ①∥； ②∥； ③∥； ④∥ 正确命题的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】对于命题①和③可以通过作图举反例判断它们错误，命题②可用面面平行的性质和线面垂直的性质证明，命题④可用线面垂直的性质和面面垂直的判定定理证明. 【详解】由图可知，命题①不正确； ，， ，且， 又， ，则，故命题②正确； 若由图可知，命题③不正确； ，， 又 ， ，故命题④正确. 故选：D. 4．如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（　　） A．平行 B．平面 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】直接由平面与平面垂直的性质得答案． 【详解】解：由正方体的结构特征可知，平面平面， 又平面平面，且平面，， 由平面与平面垂直的性质可得，平面． 故与平面的关系是相交且垂直． 故选：D． 5．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】易知平面，由面面垂直的性质可得结论. 【详解】   平面，，即平面，平面， 又平面平面，平面平面， 平面. 故选：A. 6．判断正误． （1）平面和分别过两条互相垂直的直线，则．( ) （2）若平面内的一条直线垂直于平面内两条平行线，则．( ) （3）应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．( ) 【答案】 × × √ 【详解】（1）可以平行，故错误； （2）可以平行，故错误； （3）根据面面垂直的判定定理可知正确. 素养提升 1．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由线面位置关系即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则或， 若，，则； 若，则存在使得，又，则， 而，则，故B正确； 对于C，若，则或异面或相交，C错误； 对于D，若，则或异面或相交，D错误. 故选：B. 2．m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： （1）若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； （2）若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； （3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题为（　　） A．（1）（2） B．（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】B 【分析】（1）（2）可举出反例，（3）可以用线面垂直，线线垂直证明出面面垂直. 【详解】如图1，满足α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，但不满足n⊥β，（1）错误； 如图2，满足α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，但不满足n⊥m，（2）错误； 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 因为m⊥α，m⊥n，所以或， 若，因为n⊥β，所以α⊥β. 若，则在内存在使得， 因为n⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β. 综上：若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，（3）正确. 故选：B 3．已知点P是正方形所在平面外一点，且平面，则平面（    ） A．与平面，平面都垂直； B．与平面，平面都相交，但不垂直； C．与平面垂直，与平面相交但不垂直； D．与平面垂直，与平面相交但不垂直． 【答案】A 【分析】先证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直； 【详解】在正方形中，，因为且平面，平面，所以， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 又平面，因此平面 平面； 平面 平面，两平面相交；故B,D错误； 在正方形中，，由上可知平面， 平面，所以平面 平面， 且平面 平面，两平面相交；故C错误，A正确； 故选：A.    4. 若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉ l，则下列命题中是假命题的为 A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 【答案】B 【分析】本题用面面垂直性质定理逐项验证，注意在其中一个平面内作交线的垂线在平面α内或过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β的结论运用． 【详解】过点P且垂直于α的直线一定平行于在β内与交线垂直的直线，故A正确； 过点P且垂直于l的直线有可能垂直于α，如图所示．B不正确； 由题意和面面垂直的判定定理知，选项C正确； 由题意和面面垂直的性质定理知，选项D正确； 故选B． 5.如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面． 求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解. 【详解】∵四边形是正方形， ∴． 又∵平面平面，平面平面， 且平面 ∴平面． 6.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】利用线面垂直推得面面垂直； 【详解】∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3 平面与平面垂直 分层作业 基础巩固 1．如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面 ． 2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面（      ） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都有可能 3．判断正误． （1）若平面平面，任取直线，则必有．( ) （2）已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．( ) （3）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．( ) 4．直线平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．以上均有可能 5．已知，则过与垂直的平面（　　） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 6．下列命题是假命题的是______. A．不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B．如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 能力进阶 1．下列命题中正确的是（　　） A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 2．已知直线，与平面，，（互不相同），则能使的充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 3．已知直线和平面满足，下列命题： ①∥； ②∥； ③∥； ④∥ 正确命题的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 4．如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（　　） A．平行 B．平面 C．相交但不垂直 D．垂直 5．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 6．判断正误． （1）平面和分别过两条互相垂直的直线，则．( ) （2）若平面内的一条直线垂直于平面内两条平行线，则．( ) （3）应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．( ) 素养提升 1．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： （1）若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； （2）若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； （3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题为（　　） A．（1）（2） B．（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 3．已知点P是正方形所在平面外一点，且平面，则平面（    ） A．与平面，平面都垂直； B．与平面，平面都相交，但不垂直； C．与平面垂直，与平面相交但不垂直； D．与平面垂直，与平面相交但不垂直．    4. 若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉ l，则下列命题中是假命题的为 A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 5.如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面． 求证：平面； 6.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$