第四章 指数与对数（测）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第四章 指数与对数函数单元检测 本卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）（在每小题列出的四个备选答案中，只有1个符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均无分） 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 3. 若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 4. 已知，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 5. 下列说法中成立的是（    ） A． B． C． D．方程的根是 6. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7. 已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8. 设函数且在上的最大值和最小值之和为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 9函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 10. 设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11. 已知函数，且，则（    ） A．2 B．4 C．0或4 D．2或4 12. 定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（    ） A． B． C． D． 13. 如果，那么，，的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 14. 已知函数   ，且 ， 则 （    ） A． B． C．1 D． 15. 若，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B． C． D．(0，1)∪(1，＋∞) 16. 已知函数f（x）=若f（2）=4，且函数f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A．（1，] B．（1，2] C． D．[，+∞） 17. 声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（    ） A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍 18. 已知（且，且），则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 19. 已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 20. 已知，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 已知，，则用，表示 22. ． 23. 函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为 . 24. 若指数函数的图像经过点，则的值为 . 25. 已知函数，则不等式的解集为 . 26. 已知，则的值为 . 27. 地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）.那么，级地震释放的能量是级地震释放的能量的 . 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明及解题步骤） 28. 计算下列各式 (1) (2) 29. 设函数. (1)求及的值. (2)解关于的不等式. 30. 记函数的定义域为,的定义域为. (1)求; (2)若,求实数的取值范围. 31. 已知对数函数，并且它的图象过点. (1)求的解析式； (2)若，，求的值域. 32. 已知函数． (1)若的图象关于直线对称，求实数的值； (2)若函数的值域为，求函数的值域． 33. 某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室? 34. 已知函数（且）. (1)若，且，求函数的零点； (2)当时，有最小值，求的值. 35. 已知函数且． (1)求函数的定义域； (2)是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数与对数函数单元检测 本卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）（在每小题列出的四个备选答案中，只有1个符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均无分） 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数正数构造不等式组求解即可. 【解析】由题意得：得定义域为. 故选：D. 2. 已知函数，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，以及对数的运算法则，即可求解. 【解析】由函数， 可得. 故选：B. 3. 若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【解析】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 4. 已知，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，借助中间值比较即可. 【解析】根据对数函数单调性，知， 根据指数函数单调性，知， 所以. 故选：D 5. 下列说法中成立的是（    ） A． B． C． D．方程的根是 【答案】D 【分析】直接根据指数和对数的运算性质逐一判断即可. 【解析】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 因为，所以，即，故D正确； 故选：D. 6. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域和单调性得到，进而求出交集. 【解析】由题意得，解得， 故， 故 故选： D. 7. 已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数单调性即可判断. 【解析】因为函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 则“”可以推出“”， “”也可推出“”， 故“”是“”的充要条件． 故选：C． 8. 设函数且在上的最大值和最小值之和为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】结合函数与的单调性可知在单调递增或单调递减，从而可得函数在上的最值分别为，代入可求的值. 【解析】由换底公式可得， 又与在区间上具有相同的单调性， 故在上单调递增或单调递减，在上的最值分别为， 故，由题意，解得. 故选：B 9函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的性质即可得解． 【解析】由于（且）， 则函数（且）恒过定点． 故选：D． 10. 设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数分段结合指数不等式及对数不等式解题即可. 【解析】当时，由，得，得，得， 当时，由，得，得，所以， 综上，. 故选：C 11. ．已知函数，且，则（    ） A．2 B．4 C．0或4 D．2或4 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，分两种情况考虑，建立方程，解出即可. 【解析】当时，因为， 所以，所以，经检验，满足题意； 当时，因为， 所以，即，所以，经检验，满足题意. 故选：C 12. 定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案. 【解析】定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 因为当时，为单调递增函数， 定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以当时，单调递减， 因为，所以，即. 故选：B. 13. 如果，那么，，的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助指数函数和对数函数的性质确定范围，即可解决. 【解析】设，由指数函数图像性质可知， 当时，函数值大于1，所以， 设，由指数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于1，所以， 设，由对数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于0，所以， 所以. 故选：C 14. 已知函数   ，且 ， 则 （    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用分段函数给定的取值范围代入值求出参数的值及函数的解析式，再将值代入函数解析式即可解得. 【解析】因为当时， 所以当时，, 所以，即, 当时，, 所以，即. 故选：A 15. 若，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B． C． D．(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】C 【分析】根据a>0且a≠1，则有，然后根据，利用对数函数的单调性得到0<a<1，且2a>1求解. 【解析】由题意得a>0且a≠1，故必有， 又， 所以0<a<1，同时2a>1， ∴a> 综上，a∈. 故选：C 16. 已知函数f（x）=若f（2）=4，且函数f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A．（1，] B．（1，2] C． D．[，+∞） 【答案】A 【分析】由f(2) =4运算可得，再由分段函数的最值结合对数函数的单调性即可得解. 【解析】因为f(2)=2m+8=4，所以， 所以当x≤3时，，此时， 因为函数存在最小值，所以当x>3时，单调递增，且loga3≥2， 所以,解得a∈. 故选：A. 17. 声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（    ） A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍 【答案】B 【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出，，计算求的值. 【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为， ，， ，，所以， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍. 故选：B 18. 已知（且，且），则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由（且，且），得，从而得到与互为反函数，根据互为反函数的性质即可得到结果． 【解析】∵（且，且）， ∴，∴， ∴，函数与函数互为反函数， ∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性. 故选：B． 19. 已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指数函数、对数函数的性质求出不等式的解集，即可求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【解析】：由，即，所以， 所以， 由，即，所以，即， 所以. 故选：C 20. 已知，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用即可比较，根据幂函数的单调性可比较，再根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量即可比较，进而可得出答案. 【解析】，， 因为 所以， ，， 因为，所以，即， 又，， 所以， 综上，. 故选：A. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 已知，，则用，表示 【答案】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【解析】由，，可得， 又由. 故答案为：. 22. ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算性质计算即得. 【解析】 . 故答案为： 23. 函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为 . 【答案】或 【分析】讨论或，根据指数函数的单调性求出最值即可求解. 【解析】当时，单调递减， 所以，， 又，解得， 当时，单调递增， 所以，， 又，解得， 故答案为：或 24. 若指数函数的图像经过点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据已知求出指数函数的解析式，从而代入即可得解. 【解析】依题意，设， 因为的图像经过点，所以，即， 所以， 所以. 故答案为：. 25. 已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由对数运算可得出，可得出，解之即可. 【解析】因为，则， 所以，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 26. 已知，则的值为 . 【答案】1 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】由，得到，再利用对数运算求解. 【详解】解：因为， 所以， ， 所以， 故答案为：1 27. 地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）.那么，级地震释放的能量是级地震释放的能量的 . 【答案】103倍 【分析】设7.5级地震释放的能量为，5.5级地震释放的能量为，由公式即可求出的值. 【解析】设7.5级地震释放的能量为，5.5级地震释放的能量为, , , 即7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的103倍． 故答案为：103倍 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明及解题步骤） 28. 计算下列各式 (1) (2) 【答案】(1)89 (2) 【分析】（1）利用指数运算性质，即可解出； （2）利用对数运算性质和分数指数幂及分母有理化的运算，即可解出． 【解析】（1）. （2）. 29. 设函数. (1)求及的值. (2)解关于的不等式. 【答案】(1)6，4 (2) 【分析】（1）根据分段函数求函数值的方法代入求解即可； （2）根据分段函数的分类来分类讨论，列出各部分不等式分别求解再取并集即可. 【解析】（1） （2）当时，， 即， 即，解得 当时，， 即， 即，解得 综上，不等式的解集为 30. 记函数的定义域为,的定义域为. (1)求; (2)若,求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意列不等式组求解即可; （2）先根据真数大于零,求出函数的定义域,再由列出不等式,结合求出的范围即可. 【解析】（1）由题意得,解得或, 即或. （2）根据题意, 因为，所以, 则, 即, 因为, 所以或, 解得或, 又, 所以或, 即实数的取值范围是. 31. 已知对数函数，并且它的图象过点. (1)求的解析式； (2)若，，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质和对数的单调性进行求解即可. 【解析】（1）设（，且） 的图像过点，，即， ，即，； （2） 令，， 函数转化为函数， 该函数图象开口朝上，对称轴为， 当时，有最小值，， 当时，有最大值，， 的值域为 32. 已知函数． (1)若的图象关于直线对称，求实数的值； (2)若函数的值域为，求函数的值域． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由题意可知二次函数对称轴为，从而可得. （2）由题意的值域包含，从而由可求出的范围，进一步由复合函数的单调性、值域即可得解. 【解析】（1）因为的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称，所以． （2）因为函数的值域为， 所以的值域包含， 所以有，所以或， 所以， 故，所以函数的值域为． 33. 某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室? 【答案】(1) (2)至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室 【分析】（1）时，设，根据图象列式求解，从而得函数解析式； （2）解不等式，，可得结论． 【解析】（1）由图象可知：当时，图象为正比例函数图象，设为， 可得，解得 所以y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为. （2）当，令，则， 整理得，则，解得， 所以至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室. 34. 已知函数（且）. (1)若，且，求函数的零点； (2)当时，有最小值，求的值. 【答案】(1)6 (2) 【分析】 (1)利用函数零点的定义以及对数的运算求解；(2)根据复合函数的单调性讨论最值求解. 【解析】（1）时，定义域为， 令， 即，所以， 即解得（舍）或. 所以的零点为6. （2）,， 令，， 则在单调递增， 若，在单调递减， 解得， 若，在单调递增， 无最小值，不满足题意， 所以. 35. 已知函数且． (1)求函数的定义域； (2)是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数时，使得函数在区间上的最大值为2． 【分析】（1）由题意解出即可； （2）利用换元法以及对数函数性质分析即可. 【解析】（1）依题意， 即， 所以 即， 所以函数的定义域为． （2）， 令， 则， ． 易知二次函数的图像开口向下， 对称轴为直线， 所以函数在上单调递增， 所以． 假设存在满足题意的实数， 当时，函数单调递增， ，解得或（舍去）， 当时，函数单调递减， ，解得（舍去）， 综上，存在实数时， 使得函数在区间上的最大值为2． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$