3.3 函数的性质课件-2024-2025学年高一上学期高教版（2021）中职数学基础模块上册

第三章 函数 3.3 函数的性质 高教版 基础模板(上) 学习目标 ►能通过图像法和定义法判断函数的单调性和奇偶性. ►能利用函数的单调性判断同一单调区间内两个函数值的大小，知道函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系. ►能从函数单调性、奇偶性等角度，重新认识一次函数、反比例函数和一元二次函数 第三章 函数 3.3.1 函数的单调性 高教版 基础模板(上) 导 探 练 结 导入 下图为一天中气温随时间变化的曲线，请描述温度的升降情况. 导 探 练 结 导入 下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况. 导 探 练 结 导入 该图是湖泊或水库在一年水位的变化曲线，请描述水位的升降情况. 导 探 练 结 在数学中，我们有一个专门的术语来描述这种变化的趋势，那就是“单调性”. 导 探 练 结 在x∈(-∞,+ ∞)上, f(x)随着x增大而 ； 在x∈ 上, f(x)随着x增大而 ；在x∈(0, +∞)上, f(x)随着x增大而 . 增大 减小 增大 图形语言 文字语言 (-∞,0) 观察 导 探 练 结 增、减函数 根据y随自变量x增大时的变化情况，将函数分为增函数、减函数. y随x的增大而 增函数 减函数 y随x的增大而 减小 图像呈 趋势 图像呈 趋势 下降 增大 上升 设函数的定义域为D，区间． 导 探 练 结 增、减函数 （1）如果对于区间上的任意两点，，当时，都有，那么称函数在区间上是增函数，区间I称为函数的增区间．如图（1）所示． （2）如果对于区间上的任意两点，，当时，都有，那么称函数在区间上是减函数，区间称为函数的减区间．如图（2）所示． 导 探 练 结 增、减区间 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间． 增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间． 导 探 练 结 y随x的增大而增大（或减小）怎么用符号刻画呢？ x增大 x1＜x2 y增大 f(x1)＜f(x2) y随x的增大而增大 x1＜x2时，f(x1)＜f(x2) y随x的增大而减小 x1＜x2时，f(x1) f(x2) ＞ 口诀：符号相同为增，符号相反为减 例1 根据函数在R上的图像，如图所示，写出其单调区间： 导 探 练 结 函数的定义域为R 增区间为 减区间为 例1 根据函数在R上的图像，如图所示，写出其单调区间： 导 探 练 结 函数的定义域为 增区间为(−∞， 0)和（0,+∞) 导 探 练 结 小组合作 单调区间有[-1, 2], [2, 6], [6, 8] 增区间： [-1, 2]，[6, 8] 减区间： [2, 6] 如图是函数y=f(x), x∈[-1, 8]的图像, 根据图像说明该函数的单调区间. 归纳 导 探 练 结 取值：在给定区间内取任意两个值 ， 且 作差：作差 定号: 与0作比较 判断：①若 ，则函数 在给定区间上是增函数 ②若 ，则函数 在给定区间上是减函数 1. 判断函数的单调性（定义法） 2. 判断函数的单调性（图像法） 符号相同为增，符号相反为减 函数在给定区间内上升为增函数；在给定区间内下降为减函数. 例2 导 探 练 结 解 任取x1, x2∈(-∞, +∞), 且x1＜x2, f(x1)= , f(x2)= , 则 f(x1)-f(x2) 0 所以, 函数f(x)=2x+1在(-∞, +∞)上是增函数. 2x1+1 2x2+1 =2x1-2x2 =2x1+1-(2x2+1) =2x1+1-2x2-1 ＜ =2(x1-x2) 讨论函数上的单调性． 例3 导 探 练 结 证明函数在区间上是减函数． 任取且． 所以函数在区间 上是减函数． 导 探 练 结 导 探 练 结 2．已知函数，，如图所示，试写出函数的单调区间，并说明在每一单调区间上函数的单调性． 导 探 练 结 3． 若函数在R上是减函数，求的取值范围． 4．证明： （1）函数在上是减函数． （2）函数在上是减函数． 导 探 练 结 取值：在给定区间内取任意两个值 ， 且 作差：作差 定号: 与0作比较 判断：①若 ，则函数 在给定区间上是增函数 ②若 ，则函数 在给定区间上是减函数 1. 判断函数的单调性（定义法） 2. 判断函数的单调性（图像法） 符号相同为增，符号相反为减 函数在给定区间内上升为增函数；在给定区间内下降为减函数. 第三章 函数 3.3.2 函数的奇偶性 高教版 基础模板(上) 导 探 练 结 观察 建筑物 导 探 练 结 观察 蝴蝶翅膀 导 探 练 结 观察 雪花 导 探 练 结 导入 导 探 练 结 观察 下列图形的是否具有对称性： 中心对称 导 探 练 结 观察 一些函数图像也具有对称性 函数的图像 函数的图像 轴对称 中心对称 探究 导 探 练 结 对于函数，有： ， ， ， …… 即对于定义域R上的任意一个，都有 ． 导 探 练 结 偶函数 设函数的定义域为数集，若对于任意的，都有，且 ， 则称是偶函数．偶函数的图像关于轴对称． 探究 导 探 练 结 即对于定义域上的任意一个，都有． 导 探 练 结 奇函数 设函数的定义域为数集，若对于任意的，都有，且 ， 则称是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称． 导 探 练 结 x∈D, -x∈D 定义域关于原点对称 (-∞，+∞) (-∞，0)∪(0，+∞) (-a，a) [-a，a) (-3，3] {x|x≥0} (-5，10] 关于原点对称 不关于原点对称 导 探 练 结 ①写出定义域，判断定义域是否关于原点对称 一、判断函数为偶函数的步骤(定义法)： ②计算f(-x) ③判断f(-x)与f(x)是否相同 ④结论 二、判断函数为偶函数的步骤(图像法)： 判断定义域是否关于原点对称 观察函数图像是否关于y轴对称 导 探 练 结 ①写出定义域，判断定义域是否关于原点对称 一、判断函数为奇函数的步骤(定义法)： ②计算f(-x) ③判断f(-x)与-f(x)是否相同 ④结论 二、判断函数为奇函数的步骤(图像法)： 判断定义域是否关于原点对称 观察函数图像是否关于原点中心对称 例4 导 探 练 结 讨论下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． （1）的定义域为R，对于任意的，都有，且，所以是奇函数． （2）的定义域为R，对于任意的，都有，且，所以是偶函数． 例4 导 探 练 结 讨论下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． （3）的定义域为R，对于任意的，，都有，且，，所以既不是奇函数也不是偶函数． （4）的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数． 例5 导 探 练 结 （1）图（1）给出了偶函数在上的函数图像，试将的图像补充完整，并指出函数的单调区间． （1）函数的减区间为，增区间为． 例5 导 探 练 结 （2）图（2）给出了奇函数在上的函数图像，试将的图像补充完整，并指出函数的单调区间． （2）函数的增区间为 导 探 练 结 1．填空题： （1）点关于轴对称的点为 ，关于轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ； （2）点关于轴对称的点为 ，关于轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ． 导 探 练 结 导 探 练 结 3．已知偶函数和奇函数的定义域均为[－4，4]，下图为它们在[0，4]上的图像． （1）求与； （2）将函数和在定义域内的图像补充完整． 导 探 练 结 ①写出定义域，判断定义域是否关于原点对称 一、判断函数为偶函数的步骤(定义法)： ②计算f(-x) ③判断f(-x)与f(x)是否相同 ④结论 二、判断函数为偶函数的步骤(图像法)： 判断定义域是否关于原点对称 观察函数图像是否关于y轴对称 导 探 练 结 ①写出定义域，判断定义域是否关于原点对称 一、判断函数为奇函数的步骤(定义法)： ②计算f(-x) ③判断f(-x)与-f(x)是否相同 ④结论 二、判断函数为奇函数的步骤(图像法)： 判断定义域是否关于原点对称 观察函数图像是否关于原点中心对称 $$