专题6.3 平面向量的内积（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题6.3 平面向量的内积 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：向量的内积 3 考点二：向量的模长 3 考点三：两向量的夹角 4 考点四：由两向量垂直求参数 4 【考纲要求】 1. 掌握向量夹角的概念、向量的内积和性质； 2. 掌握向量垂直的坐标表示； 3. 能运用向量的知识解决有关问题. 【考向预测】 1.向量的内积 2.向量的模长 3.两向量的夹角 4.由两向量垂直求参数 【知识导图】 【知识清单】 1.向量的内积 (1)向量的内积 ①两个向量夹角的定义 已知两个非零向量和，在平面上任取一点O，作，则∠AOB叫作与的夹角，记作. ②两个向量夹角的范围 ，即； 当时，与同向； 当时，与反向； 当时，与垂直，记作. 特别提醒：判断两个向量的夹角时一定要有共同的始点． ③两个向量内积的定义 已知与为两个非零向量，则叫作与的内积，记作，即． 规定：零向量与任何向量的内积为0，即. (2)内积的性质 设是两个非零向量，则 ①＝； ②⇔； ③，即； ④； ⑤ (3)内积的运算律 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. (4)内积满足的乘法公式 ① ； ②； ③. 2.向量内积的直接坐标运算及应用 (1)内积的直角坐标运算 如果，则. (2)向量内积的应用 若， ①求向量的长度 .，. ②求向量的夹角 ＝. ③证明垂直 . 【考点分类剖析】 考点一：向量的内积 例1．若与满足，，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式探究】已知边长为的等边，则 . 例2.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 ＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　 　) A．8 B．6 C．－8 D．－6 【变式探究】已知向量，，，则 . 考点二：向量的模长 例3．若向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 例4．中，，，满足，则 A． B．2 C． D． 【变式探究】若两个单位向量,的夹角为120°,则 A． B． C． D． 考点三：两向量的夹角 例5.已知向量，，若，则向量与的夹角为 A． B． C． D． 【变式探究】若，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 例6.已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知向量，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 A． B． C．且 D．且 考点四：由两向量垂直求参数 例7.已知向量且，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知向量，，且，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 平面向量的内积 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：向量的内积 3 考点二：向量的模长 5 考点三：两向量的夹角 6 考点四：由两向量垂直求参数 7 【考纲要求】 1. 掌握向量夹角的概念、向量的内积和性质； 2. 掌握向量垂直的坐标表示； 3. 能运用向量的知识解决有关问题. 【考向预测】 1.向量的内积 2.向量的模长 3.两向量的夹角 4.由两向量垂直求参数 【知识导图】 【知识清单】 1.向量的内积 (1)向量的内积 ①两个向量夹角的定义 已知两个非零向量和，在平面上任取一点O，作，则∠AOB叫作与的夹角，记作. ②两个向量夹角的范围 ，即； 当时，与同向； 当时，与反向； 当时，与垂直，记作. 特别提醒：判断两个向量的夹角时一定要有共同的始点． ③两个向量内积的定义 已知与为两个非零向量，则叫作与的内积，记作，即． 规定：零向量与任何向量的内积为0，即. (2)内积的性质 设是两个非零向量，则 ①＝； ②⇔； ③，即； ④； ⑤ (3)内积的运算律 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. (4)内积满足的乘法公式 ① ； ②； ③. 2.向量内积的直接坐标运算及应用 (1)内积的直角坐标运算 如果，则. (2)向量内积的应用 若， ①求向量的长度 .，. ②求向量的夹角 ＝. ③证明垂直 . 【考点分类剖析】 考点一：向量的内积 例1．若与满足，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可. 【详解】由题意得， 故选：B 【变式探究】已知边长为的等边，则 . 【答案】6 【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算计算即可. 【详解】解：因为是边长为的等边三角形，且， 所以， 所以. 故答案为：. 例2.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 ＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　 　) A．8 B．6 C．－8 D．－6 【答案】A 【详解】由向量加法的平行四边形法则可知， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：A. 【变式探究】已知向量，，，则 . 【答案】 【分析】根据向量，分别表示出题目中向量的坐标，列出方程计算即可. 【详解】，， ，，， ， ，解得. 故答案为：. 考点二：向量的模长 例3．若向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标 ，利用向量的模长公式可求得结果. 【详解】向量，，则，因此，. 故选：C. 【变式探究】已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可. 【详解】根据题意可得：，解得或； 当时，与共线同向，故舍去； 当时，，， . 故选：C. 例4．中，，，满足，则 A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先将向量模的运算转化为向量的平方运算，即，再将已知条件代入运算即可. 【详解】解：因为，又， 所以， 即， 故选：C. 【变式探究】若两个单位向量,的夹角为120°,则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根据条件求解即可. 【详解】由两个单位向量,的夹角为120°,可得. 所以. 故选C. 考点三：两向量的夹角 例5.已知向量，，若，则向量与的夹角为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：，所以向量与的夹角为 【变式探究】若，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， , 故选A． 例6.已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量运算法则以及夹角公式直接计算即可. 【详解】因为点，，向量，， 所以，， 所以与的夹角的余弦值. 故选：A 【变式探究】已知向量，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】由与的夹角为钝角，可得且不共线，列不等式即可求得。 【详解】， 与的夹角为钝角时，，解得， 又与不共线，即， 的取值范围是，且.故选C. 考点四：由两向量垂直求参数 例7.已知向量且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，再由向量垂直得到，计算可得； 【详解】解：因为 所以，因为，故，故． 故选：C． 【变式探究】已知向量，，且，则 ． 【答案】 【分析】由两向量垂直，可得数量积为零，列方程可求得答案 【详解】解：因为，，且， 所以，即，解得， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$