专题3.3 几种常见函数及应用（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题3.3 几种常见函数及应用 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：几种常见函数 4 考点二：函数的应用 9 【考纲要求】 1. 理解一次函数、反比例函数以及二次函数的定义，掌握几种常见函数的图像与性质. 2. 会求二次函数的解析式，会求二次函数的最值. 3.能运用函数知识解决简单的实际问题. 【考向预测】 1.几种常见函数的性质 2.函数知识的实际应用 【知识导图】 【知识清单】 1.一次函数 (1)一次函数的定义： 一般地，形如的函数叫一次函数.其中时，函数叫作正比例函数，其图像是过原点的一条直线. (2)一次函数的图像与性质 图像 象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 与轴的交点 与轴的交点 单调性 单调递增 单调递减 奇偶性 当时，一次函数是奇函数，否则，函数非奇非偶函数 2.反比例函数 (1)反比例函数的定义： 一般地，形如的函数叫反比例函数，其图像是由两个分支组成的曲线. (2)反比例函数的图像与性质． 图像 象限 一、三 二、四 单调性 在每个象限内，单调递减 在每个象限内，单调递增 奇偶性 奇函数 3.二次函数 (1)二次函数的定义 形如的函数叫一元二次函数，其中为常数. (2)二次函数的解析式 ①一般式：； ②顶点式：，其中顶点为； ③两点式：，其中抛物线与轴的交点为. 特别提醒：二次函数解析式，常用待定系数法，求解时要根据已知条件选择合适的解析式后再求参数. (3)二次函数的图像与性质 图像 开口方向 向上 向下 开口大小 越大，开口越小；越小，开口越大 顶点坐标 对称轴 单调性 在上单调递减， 在上单调递增 在上单调递增， 在上单调递减 最大值与最小值 当时， 当时， 奇偶性 当时，二次函数是偶函数，图像关于轴对称，否则，函数非奇非偶函数 定点 二次函数图像一定过点，即 特别提醒： ①开口向上，开口向下，越大，开口越小；越小，开口越大； ②共同决定对称轴的位置，即“左同右异”； ③二次函数图像过定点，即，其中抛物线在轴上的截距； ④二次函数为偶函数的充要条件为； ⑤若二次函数对任意都有，则其对称轴是； ⑥抛物线与轴交点的个数由决定，即两个交点，一个交点，没有交点； ⑦抛物线与轴交点的横坐标即为其对应一元二次方程的根，也是其对应一元二次不等式解集的端点，即“三个二次”； ⑧二次函数（一元二次不等式大（小）于0恒成立），即 1)图像位于轴上方； 2)图像位于轴下方； 3)； 4)； 注意：公式应用的前提条件是一元二次不等式. 4.函数的应用 应用函数解决实际问题，即把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型，审题是关键，弄清题目中数量关系建立数学模型是难点，同时还要注意实际问题对变量的限制条件，解函数应用题的一般步骤：(1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)作答. 【考点分类剖析】 考点一：几种常见函数 例1．直线和在同一坐标系中的图形可能是（    ） A．B．   C．   D．   【答案】D 【解析】A、对于,当，图象经过第一、二、三象限，则，也要经过第一、二、三象限，所以A选项错误； B、对于，当，图象经过第一、二、三象限，则，也要经过第一、二、三象限，所以B选项不正确； C、对于，当，图象经过第一、三、四象限，则，要经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D、对于，当，图象经过第一、三、四象限，则，要经过第一、二、四象限，所以D选项正确． 故选：D． 【变式探究】已知函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】由于恒过点，故排除A、D选项； 又观察B，C选项中的直线斜率为正，即， 所以经过二、四象限，B选项符合要求. 故选：B 例2．将函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象向右平移2个单位长度可得函数的图象， 再将函数的图象向下平移1个单位长度后得到函数的图象. 故选：C. 【变式探究】将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的二次函数图象的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度可得：， 则平移后的二次函数图象的顶点为. 故选：A. 例3．已知二次函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】的对称轴为， 要想函数在区间上单调，则或， 解得或. 故选：A 【变式探究】函数在单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数为开口向上的抛物线，且对称轴为． ∵函数在单调递增， ∴，解得． ∴实数的取值范围是．选B． 例4.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．有下列4个结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由二次函数图象和性质可得，因为，所以， 所以，故①正确； 由图象可知当时，函数值小于，即， 所以，故②错误； 由图象可知时，函数值小于，即， 因为，所以，即，所以， 因为，所以，所以，故③正确； 根据函数图象可知，函数在对称轴的右侧随的增大而增大， 因为二次函数的对称轴为，所以当时，随的增大而增大，故④正确. 故选：C. 【变式探究】如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①，②，③，④其中正确的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设， 依题意，， 由图可知，①正确； 由图可知，对称轴， ，②正确， 由图可知， ， ，， ，，③正确； 由图可知，④错误. 所以正确的个数是个. 故选：C 例5.已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2) ，． 【解析】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 【变式探究】已知二次函数的图象经过点且对称轴为. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）二次函数图象经过点和对称轴为， ，， . （2），， ，， 不等式的解集. 考点二：函数的应用 例6. 企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，两者满足关系：． (1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值； (2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）． 【答案】(1)1965万元 (2)22.5万台 【解析】（1）设利润为． 则， 当时，， 所以产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元. （2）设利润为． 设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产， 对于乙企业，每万台产品的销售收入为， 则 ． 当时，最大， 所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大． 【变式探究】有100米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？ 【答案】矩形的长为50米，宽为25米时，这块菜地的面积最大 【解析】设所围矩形的长为x(米)，宽为y(米)，则有2y＋x＝100， ∴ ， 所围矩形的面积 ，当且仅当米时，平方米，此时宽为25米． 答：矩形的长为50米，宽为25米时，这块菜地的面积最大． 例7. 某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，居民当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100度不超过150度的部分按0.8元/度收费；超过150度的部分按1.2元/度收费，该市居民当月用电量x(度)与应付电费y(元)的函数图像如图所示． (1)求该市居民用电的基础电价； (2)若某居民8月的用电量为210度，求应付电费； (3)当x∈(100，150]时，求用电量x与应付电费y之间的函数关系式(x为自变量). 【答案】(1)0.5元/度　(2)162元　(3)y＝0.8x－30，x∈(100，150]　 【解析】(1)由函数图像可知，在100度内，y1＝k1x，将点(100，50)代入得50＝100k1，∴k1＝0.5，即基础电价为0.5元/度． (2)在所用的210度电中，其中不超过100度的100度电的电费为y1＝0.5×100＝50(元)； 超过100度不超过150度的50度电的电费为y2＝50×0.8＝40(元)； 超过150度的60度电的电费为y3＝60×1.2＝72(元). 所以该居民8月应付电费为y总＝y1＋y2＋y3＝50＋40＋72＝162(元). (3)设函数解析式为y＝kx＋b，x∈(100，150]，由题意知k＝0.8， 又∵函数经过点(150，90)， ∴90＝0.8×150＋b， 解得b＝－30， ∴函数解析式为y＝0.8x－30，x∈(100，150]. 【变式探究】已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以50千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以60千米/时的速度返回A地． (1)试写出汽车离开A地的距离y(千米)与时间x(小时)的函数关系式，并画出函数图像； (2)经过5.5小时后，汽车离A地多少千米？ 【答案】(1) (2)经过5.5小时后，汽车离A地60千米 【解析】解：(1)汽车离开A地的距离y(千米)与时间x(小时)的函数关系式是 (2)当x＝5.5时，y＝150－60×(5.5－4)＝60(千米). ∴经过5.5小时后，汽车离A地60千米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 几种常见函数及应用 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：几种常见函数 4 考点二：函数的应用 6 【考纲要求】 1. 理解一次函数、反比例函数以及二次函数的定义，掌握几种常见函数的图像与性质. 2. 会求二次函数的解析式，会求二次函数的最值. 3.能运用函数知识解决简单的实际问题. 【考向预测】 1.几种常见函数的性质 2.函数知识的实际应用 【知识导图】 【知识清单】 1.一次函数 (1)一次函数的定义： 一般地，形如的函数叫一次函数.其中时，函数叫作正比例函数，其图像是过原点的一条直线. (2)一次函数的图像与性质 图像 象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 与轴的交点 与轴的交点 单调性 单调递增 单调递减 奇偶性 当时，一次函数是奇函数，否则，函数非奇非偶函数 2.反比例函数 (1)反比例函数的定义： 一般地，形如的函数叫反比例函数，其图像是由两个分支组成的曲线. (2)反比例函数的图像与性质． 图像 象限 一、三 二、四 单调性 在每个象限内，单调递减 在每个象限内，单调递增 奇偶性 奇函数 3.二次函数 (1)二次函数的定义 形如的函数叫一元二次函数，其中为常数. (2)二次函数的解析式 ①一般式：； ②顶点式：，其中顶点为； ③两点式：，其中抛物线与轴的交点为. 特别提醒：二次函数解析式，常用待定系数法，求解时要根据已知条件选择合适的解析式后再求参数. (3)二次函数的图像与性质 图像 开口方向 向上 向下 开口大小 越大，开口越小；越小，开口越大 顶点坐标 对称轴 单调性 在上单调递减， 在上单调递增 在上单调递增， 在上单调递减 最大值与最小值 当时， 当时， 奇偶性 当时，二次函数是偶函数，图像关于轴对称，否则，函数非奇非偶函数 定点 二次函数图像一定过点，即 特别提醒： ①开口向上，开口向下，越大，开口越小；越小，开口越大； ②共同决定对称轴的位置，即“左同右异”； ③二次函数图像过定点，即，其中抛物线在轴上的截距； ④二次函数为偶函数的充要条件为； ⑤若二次函数对任意都有，则其对称轴是； ⑥抛物线与轴交点的个数由决定，即两个交点，一个交点，没有交点； ⑦抛物线与轴交点的横坐标即为其对应一元二次方程的根，也是其对应一元二次不等式解集的端点，即“三个二次”； ⑧二次函数（一元二次不等式大（小）于0恒成立），即 1)图像位于轴上方； 2)图像位于轴下方； 3)； 4)； 注意：公式应用的前提条件是一元二次不等式. 4.函数的应用 应用函数解决实际问题，即把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型，审题是关键，弄清题目中数量关系建立数学模型是难点，同时还要注意实际问题对变量的限制条件，解函数应用题的一般步骤：(1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)作答. 【考点分类剖析】 考点一：几种常见函数 例1．直线和在同一坐标系中的图形可能是（    ） A．B．   C．   D．   【变式探究】已知函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   例2．将函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的二次函数图象的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 例3．已知二次函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式探究】函数在单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 例4.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．有下列4个结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式探究】如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①，②，③，④其中正确的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 例5.已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【变式探究】已知二次函数的图象经过点且对称轴为. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 考点二：函数的应用 例6. 企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，两者满足关系：． (1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值； (2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）． 【变式探究】有100米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？ 例7.某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，居民当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100度不超过150度的部分按0.8元/度收费；超过150度的部分按1.2元/度收费，该市居民当月用电量x(度)与应付电费y(元)的函数图像如图所示． (1)求该市居民用电的基础电价； (2)若某居民8月的用电量为210度，求应付电费； (3)当x∈(100，150]时，求用电量x与应付电费y之间的函数关系式(x为自变量). 【变式探究】已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以50千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以60千米/时的速度返回A地． (1)试写出汽车离开A地的距离y(千米)与时间x(小时)的函数关系式，并画出函数图像； (2)经过5.5小时后，汽车离A地多少千米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$