专题1.2 充要条件（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题1.2 充要条件 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：充分、必要条件的判断 2 考点二：充分、必要条件与集合的关系 3 考点三：充要条件的综合应用 3 【考纲要求】 1. 了解子集与推出的关系，能正确地区分充分、必要、充要条件. 2. 理解符号“的含义，并能用这些符号表示出命题与命题的关系. 【考向预测】 1.充分、必要条件的判断 2.充分、必要条件与集合的关系 3.充要条件的综合应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 推出 “如果p，那么q”是真命题时，就说p可以推出q，记作. 2. 充要条件 （1） 若，但q⇏p，那么p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （2） 若，但p⇏q，那么p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件； （3） 若且，即，那么p是q的充要条件，q也是p的充要条件； （4） 若p⇏q且q⇏p，那么p是q的既不充分也不必要条件，q也是p的既不充分也不必要条件. 注意：记住推出符号的方向是解题的关键. 3.子集、充分、必要条件与推出的关系 集合 p是q的充分不必要条件 ,q⇏p AB p是q的必要不充分条件 且 BA p是q的充要条件 A=B p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p A,B之间不存在子集关系 【名师指导】 1. 前推后，前面叫充分条件，后推前，前面叫必要条件； 2. 子集与推出的关系：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件. 【考点分类剖析】 考点一：充分、必要条件的判断 例1．设，则“”是“”的（   ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [归纳提升]　解决此类问题的方法是：先根据题意求出方程或不等式的解集，然后再利用数轴判断两个解集的范围大小，利用小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件进行判断. 【变式探究】 1.若 ，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．无法判断 2.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2.若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【变式探究】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 考点二：充分、必要条件与集合的关系 例1. 若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三：充要条件的综合应用 例1. 给定空间中的直线l与平面，则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 充要条件 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：充分、必要条件的判断 2 考点二：充分、必要条件与集合的关系 4 考点三：充要条件的综合应用 5 【考纲要求】 1. 了解子集与推出的关系，能正确地区分充分、必要、充要条件. 2. 理解符号“的含义，并能用这些符号表示出命题与命题的关系. 【考向预测】 1.充分、必要条件的判断 2.充分、必要条件与集合的关系 3.充要条件的综合应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 推出 “如果p，那么q”是真命题时，就说p可以推出q，记作. 2. 充要条件 （1） 若，但q⇏p，那么p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （2） 若，但p⇏q，那么p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件； （3） 若且，即，那么p是q的充要条件，q也是p的充要条件； （4） 若p⇏q且q⇏p，那么p是q的既不充分也不必要条件，q也是p的既不充分也不必要条件. 注意：记住推出符号的方向是解题的关键. 3.子集、充分、必要条件与推出的关系 集合 p是q的充分不必要条件 ,q⇏p AB p是q的必要不充分条件 且 BA p是q的充要条件 A=B p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p A,B之间不存在子集关系 【名师指导】 1. 前推后，前面叫充分条件，后推前，前面叫必要条件； 2. 子集与推出的关系：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件. 【考点分类剖析】 考点一：充分、必要条件的判断 例1．设，则“”是“”的（   ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为当时，一定成立， 而当时，不一定成立，如， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：B. [归纳提升]　解决此类问题的方法是：先根据题意求出方程或不等式的解集，然后再利用数轴判断两个解集的范围大小，利用小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件进行判断. 【变式探究】 1.若 ，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义可判断. 【详解】因为方程的根为或2， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 2.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，显然， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义判断可得答案. 【详解】.∵，故，即， 若，由，则，所以反之不成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 例2.若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的一个必要不充分条件是指由能推出的条件，但反之不能推出. 【详解】设的一个必要不充分条件为，则且， 故只有B选项成立. 故选：B 【变式探究】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 考点二：充分、必要条件与集合的关系 例1. 若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合关系考查充分性及必要性即可求解. 【详解】 若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 【变式探究】已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 考点三：充要条件的综合应用 例1. 给定空间中的直线l与平面，则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由线面垂直的性质结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项. 【详解】若直线l与平面垂直，由垂直的定义知，直线l垂直于平面内无数条直线； 但是当直线l垂直于平面内无数条直线时，直线l与平面不一定垂直. 所以“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件， 故选：A 【变式探究】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据特殊余弦值的通式表示，结合充分不必要条件的判断即可求解. 【详解】由，则，故充分性成立， 由，则，无法推出，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$