专题06 平面向量- 【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破（山东适用）

专题6 平面向量 课堂笔记 向量的概念 1.向量的概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示 （1）有向线段 具有方向的线段叫做有向线段， 它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以A为起点、B为终点的有向线段记作， 线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||. （2）向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 3.模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 4.平行的向量、共线向量、自由向量、负向量 （1）方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量与向量b平行记作//b． 规定：零向量与任何一个向量平行． （2）由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量． （3）我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b ．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量． （4）与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作． 规定：零向量的负向量仍为零向量． 平面向量的加法 1.向量的加法： 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量加法的三角形法则． 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 3.向量加法的四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 4.向量加法的运算律 （1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（−a）= 0； （2）a＋b=b＋a； （3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）． 平面向量的减法 1. 定义：向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即a −b = a＋(−b)． 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 数乘向量 1.数乘向量定义 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a， 它的模为 若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同， 当＜0时，a的方向与a的方向相反． 对于非零向量a、b，当时，有 一般地，有0a= 0, 0 = 0 ．　　　　 2.数乘向量运算律 3.向量的线性运算 一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示． 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 平面向量的坐标表 1.对于平面内的任意一个向量a，都存在着一对有序实数（x，y），使得a＝xi＋yj，有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). 2.起点为终点为的向量坐标为 　 向量线性运算的坐标表示 设平面直角坐标系中，，， 则：． ． 共线向量的坐标表示 对非零向量a、 b，设 当时，有 平面向量的内积 1. 两个向量的夹角 设有两个非零向量a, b，作＝a, ＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>．如下图 注意：向量a与b的夹角的范围是0≤θ≤π，且<a,b>=<b,a> 2. 两个向量的内积 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即a·b＝｜a||b|cos<a,b> 3.向量内积的性质 （1）cos<a,b>＝. （2）当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|； 当<a,b>＝时，a·b＝−|a||b|. （3）当b＝a时，有<a,a>＝0， 所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝. （4）当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有a·b＝0ab. 4.向量内积的运算律： （1）a·b＝b·a． （2）()·b＝(a·b)＝a·(b)． （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 内积的坐标表示 1. 两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和， 即a·b＝ x1 x2＋ y1 y2