9.5 多面体-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲+练）

9.5 多面体 [知识整合] 基础知识 多面体的概念、性质和有关公式 名称 棱柱 棱锥 定义 一个多面体，若有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都平行，这样的多面体叫棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱. 若一个多面体有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，则这个多面体叫棱锥．棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 主 要 性 质 1.直棱柱和正棱柱的侧棱长等于高； 2.直棱柱的侧面是矩形，正棱柱各个侧面是全等的矩形； 3.两底是全等的多边形，正棱柱两底面中心连线是棱柱的高； 4.直棱柱的对角面是矩形； 5.长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和，即：d2＝a2＋b2＋c2. 1.正棱锥各侧棱长相等； 2.正棱锥各侧面是全等的等腰三角形，各斜高相等； 3.正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； 4.正棱锥各侧棱与底面所成的角相等，各侧面与底面所成的二面角相等； 5.如果棱锥被平行于底面的平面所截，则所得截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 侧面积 S直棱柱侧＝nah＝底面周长×高 S正棱锥侧＝·na·h斜＝×底面周长×斜高 表面积 S棱柱表＝S侧＋2S底 S棱锥表＝S侧＋S底 体积 V棱柱＝S底h V棱锥＝S底h 基础训练 1．棱柱满足两个平行，一是____________，二是____________． 2．直棱柱和正棱柱的侧棱长____________高．(填“等于”或“不等于”) 3．长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的____________． 4．如果棱锥被平行于底面的平面所截，则所得截面与底面____________，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 5．正四棱柱的底面是__________，正三棱锥的底面是__________，正棱锥的顶点在底面的射影是__________． [重难点突破] 考点1　多面体的结构特征 例1　下列说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．棱柱的各条棱都相等 D．所有的几何体的表面都展成平面图形 【解析】　对于A，∵棱柱的每个侧面都是平行四边形，所以A错误； 对于B，正方体和长方体满足棱柱的特征，都是特殊的四棱柱，所以B正确； 对于C，∵棱柱的侧棱都相等，但是侧面与底面相交的棱不一定与侧棱相等，所以C错误； 对于D，∵球的表面不能展开为平面图形，所以D错误；故选B. 【变式训练】　在棱柱中(　　) A．只有两个面平行 B．所有的棱都相等 C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也平行 考点2　多面体的面积、体积的计算 例2　已知正四棱锥的高为3，底边边长为，则该棱锥的体积为(　　) A．6 B．3 C．2 D. 【解析】　由题知，该棱锥的体积为V＝×3××＝2. 反思提炼： 多面体学习过程中，要注意严格把握各种定义、概念、性质等，比如体对角线、面对角线的区别，又如多面体的侧棱与棱的区别，再如棱柱、直棱柱、正棱柱的区别，还有比如底面、侧面、截面的区别等等．另外，要熟记各种多面体的侧面积、底面积、全面积、体积公式，这是正确开展计算的关键． 【变式训练】　已知正四棱柱的侧面积为32，全面积为40，求正四棱柱底面边长、高和体积． 例3　已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积． 【解】　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.因为BC＝a，SD＝SB·sin60°＝a，所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.因此，四面体S－ABC的表面积为4×a2＝a2. 例4　如图所示，三棱锥P－ABC的底面是直角三角形ABC，直角顶点是A，直角边长AB＝4，AC＝3，PC⊥平面ABC，且平面PAB与平面CAB所成的二面角为60°，求三棱锥P－ABC的体积． 【解】　由题意得，AC⊥AB，PA⊥AB， ∴∠PAC是二面角P－AB－C的平面角， 在Rt△PAC中，AC＝3，∠PAC＝60°， ∴PC＝3， ∴VP－ABC＝S△ABC·PC＝××3×4×3＝6. 【变式训练】　如图所示，在正三棱锥V－ABC中，底面边长等于6，侧面与底面所成的二面角为60°.求： (1)正三棱锥V－ABC的体积； (2)侧棱VA的长．(提示：取BC的中点D，连接AD、VD，作三棱锥的高VO