5.6.1 正弦函数的图像与性质-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲+练）

5.6.1 正弦函数的图像与性质 [知识整合] 基础知识 1．正弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx的图像叫作正弦曲线． (2)五点法作图：要作函数y＝sinx，x∈R的图像，要掌握的五个点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 2．正弦函数y＝sinx的性质 (1)定义域是R. (2)值域与最值：值域是[－1，1]. 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，正弦函数y＝sinx取最大值1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，正弦函数y＝sinx取最小值－1； 当x＝kπ(k∈Z)时，正弦函数值为0. (3)周期性：最小正周期T＝2π. (4)奇偶性：正弦函数y＝sinx，x∈R是奇函数，函数图像关于原点对称． (5)单调性：在区间[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z上是增函数；在区间[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上是减函数． 基础训练 1．函数y＝－sinx，x∈[0，2π]的值域是(　　) A．[－1，1] B．[－1，0] C．[0，1] D．[－2，1] 2．函数y＝2sinx的最小正周期是____________，值域是____________． 3．函数y＝sin2x的单调递增区间为________________________． 4．若α∈[0.π]，sinα＝，则α＝____________． 5．函数y＝sin3x为____________函数(填“奇”或“偶”)． [重难点突破] 考点　正弦函数的图像与性质 例1　用五点法画出函数y＝sinx－2在区间[0，2π]上的简图，并求它的最大值和最小值． 【解】　①列表 x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝sinx－2 －2 －1 －2 －3 －2 ②描点，连线，得y＝sinx－2在区间[0，2π]上的简图 当sinx取最大值1时，y有最大值－1. 当sinx取最小值－1时，y有最小值－3. 反思提炼： 求作正弦函数的简图，一般用“五点作图法”，即作出区间的五个四等分点：0、、π、、2π对应的函数值所对应的点．由图像我们就可以看出函数的最值了． 【变式训练】　先填写下表，再画出下列函数在区间上的简图，并写出函数的最值． (1)y＝2sinx x 0 π 2π sinx y＝2sinx (2)y＝1－sinx 例2　函数y＝sinxcosx的最小正周期是(　　) A．2π B．π C. D. 【解析】　y＝sinxcosx＝sin2x，T＝＝＝π，故选B. 【变式训练】　1.下列函数中，最小正周期为π的是(　　) A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝2cos2x D．y＝sin 2．函数y＝3sinx，x∈R的最小正周期是(　　) A．2 B．π C．2π D. 例3　函数f(x)＝sin2x的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【解析】　∵f(x)的定义域是R.且f(－x)＝sin2(－x)＝－sin2x＝－f(x)，∴函数为奇函数．故选A. 反思提炼： 对函数奇偶性的判断需要先考虑定义域是否关于原点对称，再求f(－x)的解析式．正弦函数y＝sinx是奇函数． 【变式训练】　若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于(　　) A．0 B. C. D．π 例4　已知函数y＝sinx，当y＝时，写出满足条件的x的集合． 【解】　如图根据y＝sinx的周期性，先在一个周期内找出满足条件的x，然后再加上周期的整数倍．可得. 【变式训练】　1.若sinx＝－，0≤x≤2π，则x＝____________． 2．已知函数y＝sinx，求当y＝－时x的取值集合． 例5　函数y＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 【解析】　要使函数有意义，则2sinx－1≠0.即sinx≠， ∴x≠＋2kπ(k∈Z)且x≠＋2kπ(k∈Z)，故选D. 反思提炼： 在求sinx≠，x的取值范围时，要做到数形结合，先观察一个周期内x的取值范围，然后再各加上周期整数