专题03 立体几何初步（期中复习课件）高一数学下学期人教A版

专题03 立体几何初步 高一年级数学下学期 期中复习讲义 人教A版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 题型01 空间几何体的结构特征 题型02 斜二测画法及其计算 题型03 几何体展开图的最短路径问题 题型04 简单几何体的表面积与体积 题型05 共点、共线、共面问题证明 题型06 线面位置关系的命题判断 题型07 空间平行关系的证明 题型08 空间垂直关系的证明 题型09 异面直线所成角的求解 题型10 直线与平面所成角的求解 题型11 平面与平面所成角的求解 题型12 空间距离的求解 题型13 几何体的外接球与内切球 题型14 几何体中的动点探索问题 题型15 空间几何体中的截面问题 题型16 空间几何体翻折问题综合 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 1 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 2 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 3 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 4 CONTENTS 内 容 导 航 2 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 3 核心考点 复习目标 考情规律 基本立体图形 1、能准确识别各类空间几何体的结构特征，区分易混淆几何体； 2、能根据结构特征判断几何体的类型，描述几何体的构成要素； 3、能利用结构特征解决简单的几何体识别、分类问题 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式考查，难度较低； 易错点：混淆棱台与棱锥的结构特征（忽略“棱台两底面平行且对应边成比例”）、误将圆台的母线当作高 立体图形的直观图 1、掌握斜二测画法的核心规则，能运用斜二测画法画出简单立体图形的直观图； 2、能根据直观图，还原立体图形的原始形状及尺寸关系； 3、能区分直观图与原图形的形状、大小差异，准确判断直观图对应的原图形特征 基础必考点，贴合新课标及课本要求，多以小题形式考查，难度较低； 易错点：斜二测画法应用失误（忽略“平行于y轴的线段长度变为原来的一半”）、混淆直观图与原图形的面积比例关系、画直观图时忽略几何体的结构特征 简单几何体的表面积与体积 1、熟记各类空间几何体的表面积、体积公式，能准确区分侧面积与表面积； 2、能结合几何体的结构特征，代入公式计算表面积、体积（含组合体）； 3、能解决与表面积、体积相关的实际问题 高频考点，小题、大题均可能考查，小题侧重公式直接应用，大题多结合几何体组合、截面问题考查； 易错点：公式记忆混淆、计算组合体体积时漏算或多算部分几何体、忽略单位统一 空间点、线、面之间的位置关系 1、掌握课本中空间点、直线、平面之间的位置关系，能准确判断； 2、能结合课本图形，用规范的符号语言表示空间位置关系； 3、能区分异面直线与相交、平行直线，结合课本定义判断异面直线所成角的范围 基础必考点，贴合课本知识点考查，多以小题形式考查，侧重位置关系的判断与符号表示； 命题趋势：常结合课本中长方体、正方体模型，考查线线、线面位置关系； 易错点：误将异面直线当作相交直线，符号语言表示不规范，忽略课本中异面直线的定义 空间直线、平面的平行 1、熟记课本中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，明确定理的核心条件； 2、能结合课本例题的证明思路，运用定理规范书写线面平行、面面平行的证明步骤； 3、能利用平行关系，解决课本习题中简单的线线平行推导问题 核心难点考点，贴合课本重点内容，大题必考（多作为证明题的一部分），小题也会考查判定定理的应用； 命题趋势：多结合课本中棱柱、长方体模型，考查定理的综合应用，常与线面垂直结合命题； 易错点：忽略课本中线面平行判定中“直线在平面外”的条件，性质定理应用不规范 空间直线、平面的垂直 1、熟记线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，明确定理的核心条件； 2、运用定理规范书写线面垂直、面面垂直的证明步骤； 3、能利用垂直关系，解决线线垂直、线面垂直的推导问题，求简单的线面角 核心难点考点，贴合课本重点内容，大题必考（重点考查证明与计算），小题侧重判定与性质的简单应用； 命题趋势：是期中大题的核心考查内容，常结合表面积、体积计算综合考查，贴合课本习题难度，难度中等偏上； 易错点：遗漏课本中面面垂直判定“一个平面过另一个平面的垂线”的条件，线面角的定义理解错误 4 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 5 知识点01 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线交于一点， 但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 6 知识点01 空间几何体的结构特征 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】 （1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 7 知识点01 空间几何体的结构特征 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点   轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环   8 知识点01 空间几何体的结构特征 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 9 知识点02 空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 10 知识点02 空间几何体的表面积与体积 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′) h′ S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l S圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 11 知识点03 空间点、直线、平面的位置关系 1、4个基本事实 （1）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】基本事实2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 12 知识点03 空间点、直线、平面的位置关系 3、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 13 知识点03 空间点、直线、平面的位置关系 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α 外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 14 知识点03 空间点、直线、平面的位置关系 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α ∥ β α∩β＝l 图形表示 15 知识点04 空间直线、平面的平行 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理   文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 16 知识点04 空间直线、平面的平行 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理   文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥ β，b∥ β⇒α∥ β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥ β，a⊂α⇒a∥ β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥ b 17 知识点04 空间直线、平面的平行 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 18 知识点05 空间直线、平面的垂直 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥ b 19 知识点05 空间直线、平面的垂直 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. （2）范围：. 3、平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． （2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 20 知识点05 空间直线、平面的垂直 （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 21 知识点05 空间直线、平面的垂直 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 22 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 23 题型一 排列数与组合数的计算 1、多面体（棱柱、棱锥、棱台）：①棱柱：看 “两底面平行、侧棱平行且相等”；②棱锥：看“一个底面为多边形、侧面是有公共顶点的三角形”；③棱台：看“两底面平行、侧棱延长线交于一点” ． 2、旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）：①圆柱：矩形绕一边旋转；②圆锥：直角三角形绕直角边旋转；③圆台：直角梯形绕垂直底边的腰旋转；④球：半圆绕直径旋转，核心看旋转轴和旋转图形． 3、易混淆辨析：对比棱柱与棱台、圆柱与圆台，重点看 “底面是否平行”“侧棱/母线是否平行” ． 解｜题｜技｜巧 24 图1 图2 25 26 27 28 题型二 斜二测画法及其计算 1、直观图绘制：针对三角形、矩形、平行四边形，按步骤建系、变长度、连线，确保角度和长度符合规则． 2、原图形还原：由直观图反向推导，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度加倍，还原直角坐标系，计算原图形尺寸． 3、面积换算：原图形面积=直观图面积（期中高频考点，直接记换算关系，避免推导失误）． 解｜题｜技｜巧 29 30 31 32 33 题型三 几何体展开图的最短路径问题 1、核心思路：将立体侧面展开为平面图形，转化为“两点之间线段最短”求解． 2、关键步骤：①辨侧面类型（棱柱/圆锥），沿侧棱/母线展开；②确定两点在展开图中的对应位置；③连接两点，用勾股定理求线段长度（即最短路径）． 解｜题｜技｜巧 34 35 36 37 38 题型四 简单几何体的表面积与体积计算 1、单一几何体：辨类型→找参数→套公式 先确定柱/锥/台/球，明确底面边长、半径、高、母线长（统一单位），区分侧面积与全面积，代入公式计算。 易错提醒：别把圆锥母线当高，台体别漏记上下底参数． 2、简单组合体：分割或补形 （1）分割法：拆成2-3个基本几何体，分别算表面积/体积，表面积扣掉重合面(避免重复)，体积直接相加。 （2）补形法：把不规则图形补成长方体/棱柱，用“整体减部分”快速计算． 解｜题｜技｜巧 39 40 41 42 题型五 共点、共线、共面问题证明 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 解｜题｜技｜巧 43 44 45 46 47 48 题型六 线面位置关系的命题判断 1、命题陷阱：警惕“一条直线平行于平面内一条直线”就判定线面平行（忽略“直线在平面外”条件）； 2、反例应用：判断假命题时，优先用常见反例（如正方体中侧棱与侧面的位置关系），快速推翻命题； 3、定理应用：严格遵循课本判定定理，不遗漏核心条件（如线面垂直需 “两条相交直线”）． 解｜题｜技｜巧 49 50 51 52 题型七 空间平行关系的证明 1、线面平行证明（必考）： 方法1（中位线法）：找平面内与已知直线平行的中位线，证明线线平行，再结合“平面外一条直线平行于平面内一条直线”，判定线面平行； 方法2（平行四边形法）：构造平行四边形，证明对边平行，进而推导线面平行． 2、面面平行证明（高频）：先证明一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面，再根据“一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，则两面平行”，完成证明． 解｜题｜技｜巧 53 54 55 56 57 58 题型八 空间垂直关系的证明 1、线面垂直证明（必考）： 方法 1（判定定理法）：证明一条直线垂直于平面内两条相交直线，即可判定线面垂直； 方法2（面面垂直性质法）：若两个平面垂直，在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一个平面． 2、面面垂直证明（高频）：先证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，再根据 “一个平面过另一个平面的一条垂线，则两面垂直”，完成证明． 3、线线垂直证明（基础）：要么由线面垂直推导（线面垂直则线垂直于平面内所有直线），要么用勾股定理逆用、等腰三角形三线合一直接证明． 解｜题｜技｜巧 59 60 61 62 63 题型九 异面直线所成角的求解 第一步平移：平移的方法一般有三种类型： (1)利用图中已有的平行线平移； (2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移； (3)补形平移 第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角． 第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． 第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 解｜题｜技｜巧 64 65 66 67 68 题型十 直线与平面所成角的求解 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）． 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解． 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长． 解｜题｜技｜巧 69 70 71 72 73 题型十一 平面与平面所成角的求解 求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 解｜题｜技｜巧 74 75 76 77 78 79 题型十二 空间距离的求解 1、点到直线的距离（基础）：找过该点作直线的垂线，垂足与该点的线段长度；可构造直角三角形，用勾股定理直接计算（优先结合正方体、长方体模型）． 2、点到平面的距离（必考）：方法1（直接法）：过点作平面的垂线，求垂线段长度；方法2（等体积法，期中高频）：利用三棱锥体积不变，×底面积×高，转化为求高（即点到平面的距离），简化运算． 3、线到平面的距离（高频）：前提是线面平行，转化为“直线上任意一点到平面的距离”，按点到平面的距离求解即可． 解｜题｜技｜巧 80 81 82 83 84 85 题型十三 几何体的外接球与内切球 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径． 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的． 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解． 解｜题｜技｜巧 86 87 88 89 题型十四 几何体中的动点探索问题 1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型 ①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么． ②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么． 2、对命题条件探索的三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性． ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． 3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设． 解｜题｜技｜巧 90 91 92 93 94 95 96 97 题型十五 空间几何体中的截面问题 作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点． （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线． 解｜题｜技｜巧 98 99 100 101 102 103 104 题型十六 空间几何体翻折问题综合 1、翻折后平行/垂直关系证明：优先利用翻折不变量（如相等线段、全等三角形），先证明线线平行/垂直，再推导线面、面面平行/垂直，重点关注翻折后交线的作用． 2、翻折后距离/角度计算：以不变量为突破口，构造直角三角形（如过点作垂线），或用等体积法求点到平面的距离；角度计算优先找翻折后不变的角，或通过余弦定理、勾股定理求解． 3、常见翻折模型（期中高频）：三角形翻折、四边形翻折（重点是矩形、等腰梯形翻折），聚焦翻折轴，明确翻折后各点、线、面的位置变化． 解｜题｜技｜巧 105 106 107 108 109 110 111 112 113 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变. 教师寄语 124 A．有两个面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似,其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【解析】对于A,如图1,利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件, 但该几何体不是棱柱,故A错误； 对于B,如图2,该多面体有两个平面平行且相似,其他各个面都是梯形, 但该几何体不是棱台,故B错误； 对于C,连接圆柱上下底面圆周上任意两点,只有连线平行于旋转轴时才是母线,故C错误； 对于D,圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面,其形状为等腰梯形, 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得,轴截面包含上下底面的直径和母线, 形成对称的等腰梯形,故圆台的轴截面始终是等腰梯形,不可能为直角梯形,故D正确． 题型一 空间几何体的结构特征 【典例1】(24-25高一下.江苏盐城.期中)下列关于空间几何体的论述,正确的是(    ) B．有两个面平行且相似,其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面 【解析】各侧棱都相等,但无法保证底面为正多边形,A错误； 有两个面互相平行且相似,其余面都是梯形的多面体不一定是棱台, 只有当梯形的腰延长后交于一点时,这个多面体才是棱台,B错误； 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体,C错误； 用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面,D正确.故选：D 【变式1-1】(24-25高一下.山西.期中)下列说法正确的是(    ) A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 【解析】对①：底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥,故①错误； 对②：将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行,其余各面都是梯形,但是这样的多面体不是棱台,故②错误； 对③：因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱,所以正四棱柱都是长方体,故③正确； 对④：根据圆锥的概念可知,④正确； 对⑤：平行六面体是四棱柱,故⑤错误.故选：B 【变式1-2】(24-25高一下.浙江宁波.期中)下面关于空间几何体的叙述：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台；③正四棱柱都是长方体；④直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤平行六面体是六棱柱.其中叙述正确的有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B．通过圆台侧面一点,有无数条母线 C．过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形 D．侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱 【解析】对于A,因棱锥都是由一个多边形的底面和另外多个有一个公共顶点的三角形构成, 依题意平行四边形所在的面必是底面,故它一定是四棱锥,故A正确； 对于B,因圆台可由圆锥用平行于底面的平面截得,而圆锥的母线是连接圆锥顶点与底面圆上一点的连线, 所以经过圆台侧面一点,有且只有一条母线,故B错误； 对于C,因过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形是由两条母线和底面圆的一条弦构成的三角形, 故它一定是等腰三角形,故C正确； 对于D,三棱柱的侧面是矩形,说明它是直三棱柱,这些矩形为全等矩形,可分为两种情况考虑： ①全等的矩形与底面的交线都相等,此时底面是正三角形,故是正三棱柱； ②全等的两个矩形中一个矩形的侧棱与另一个矩形的底面边相等, 此时可推得棱柱的所有棱长相等,故也能推出正三棱柱,故D正确. 故选：ACD. 【变式1-3】(24-25高一下.黑龙江哈尔滨.期中)(多选)下列说法正确的是(    ) A．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 A． B． C． D． 【解析】由轴,得为边上的高,由,可得, 所以边上的高为.故选：D. 题型二 斜二测画法及其计算 【典例2】(24-25高一下.内蒙古包头.期中)已知,如图,是水平放置的的直观图,且,,中边上的高为(    ) 【解析】由三视图知原图形是平行四边形,如图,,, ,, 所以平行四边形的周长是.故选：A 【变式2-1】(24-25高一下.河北秦皇岛.期中)如图,正方形的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图的周长是(    ) A．8cm B．6cm C．cm D．cm 【解析】由斜二测画法可知原四边形中且, 所以原四边形为平行四边形, 而,则原四边形中,故, 综上,四边形的周长为.故选：C 【变式2-2】(23-24高一下.浙江台州.期中)如图,水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形,已知,则四边形的周长为(    ) A． B． C．10 D．8 B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【解析】由题设,A错； 由斜二测画法知,,,, 易知原四边形为直角梯形,, 所以, 四边形的周长为,面积为,B、C错,D对．故选：D． 【变式2-3】(24-25高一下.天津.期中)如图,用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD,其直观图为等腰梯形,若,,则下列说法正确的是(    ) A． A． B． C． D． 【解析】如图,将侧面PAB,侧面PBC,侧面PCD,侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知,, 设,则, 所以,所以． 由余弦定理可得, 则,即细绳的最短长度为． 故选：C. 题型三 几何体展开图的最短路径问题 【典例3】(24-25高一下.广东湛江.期中)如图,在正四棱锥中,,．从A拉一条细绳绕过侧棱PB,PC,PD回到A点,则细绳的最短长度为(    ) 【变式3-1】(24-25高一下.河北邢台.期中)正三棱柱的底面边长为1,高为4,在棱上分别任取点E,F,则的最小值为_________． 【解析】将正三棱柱的侧面沿剪开展在同一平面内,连接,如图, 四边形是矩形,且, 所以． 【解析】把圆柱沿母线AC剪开后展开,点展开后的对应点为, 则蚂蚁爬行的最短路径为, 如图,由题意可知,, 在,, 所以它爬行的最短路程为,故选：C 【变式3-2】(24-25高一下.新疆和田.期中)如图圆柱的底面周长是,圆柱的高为,为圆柱上底面的直径,一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处,那么它爬行的最短路程为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意可知圆锥的底面半径,母线, 侧面展开所得扇形的圆心角,则, 因为是的中点,所以, 则这只蚂蚁爬行的最短距离,故选：C． 【变式3-3】(24-25高一下.河北邢台.期中)已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形,是的中点,一只蚂蚁从点出发,沿着圆锥的表面爬到点,则这只蚂蚁爬行的最短距离是(    ) A． B．4 C． D．6 【典例4】(24-25高一下.河南郑州.期中)若圆锥的底面半径为1、高为,则圆锥的体积为_________． 【解析】因圆锥的底面半径为1、高为,则其体积为. 【变式4-1】(24-25高一下.山东济宁.期中)如图,在直三棱柱中,E是的三等分点(靠近点A),D是的中点,则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______. 【解析】, E是的三等分点(靠近点A), 是的中点, ,,, 又∵, , . 三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 题型四 简单几何体的表面积与体积计算 【解析】如图所示,,分别是上,下底面的中心,连接,,, 在平面内作于, 因为正三棱台的上底边长为,下底边长为, 所以上底面面积为, 上底面三角形外接圆半径为, 下底面面积为, 下底面三角形外接圆半径为, 于是该正三棱台的高为, 因此该正三棱台的体积为,故选：C 【变式4-2】(24-25高一下.云南德宏.期中)已知正三棱台的上底边长为,下底边长为,侧棱长为5,则该正三棱台的体积为(    ) A． B．63 C． D．21 (2)求该石凳的表面积(不包含底面)． 【解析】(1)由题意可得正方体的体积立方厘米, 四面体的体积立方厘米, 则该石凳的体积立方厘米 (2)由题意可得,,,均为边长为厘米的等边三角形, 四边形IJKL是边长为厘米的正方形, 则的面积平方厘米, 正方形的面积平方厘米, 五边形的面积平方厘米, 故该石凳的表面积平方厘米． 【变式4-3】(24-25高一下.广东湛江.期中)石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅,是一种常见的户外休闲设施．如图,这是某广场的石凳直观图,它是由正方体截去四面体,,,得到的,其中均为各棱的中点,且厘米． (1)求该石凳的体积； A．,,三点共线 B．,,三点确定一个平面 C．,,,四点共面 D．,,,四点共面 【解析】如下图所示：根据题意,连接,则, 所以四点共面,所以平面, 又,所以平面, 又平面,所以点在平面与平面的交线上面, 同理可得点在平面与平面的交线上面, 所以,,三点共线, 故A选项错误,B选项正确； 由异面直线定义可知C选项中为异面直线,故C选项错误； 由异面直线定义可知D选项中为异面直线,故D选项错误. 故选：A 题型五 共点、共线、共面问题证明 【典例5】(24-25高一下.山东泰安.期中)长方体中,直线与平面的交点为,与交于点,则下列结论正确的是(    ) C．平面 D．与BD异面 【解析】对于A选项,且,所以共面,故A正确； 对于B选项,直线平面,所以平面, 因为直线,又平面,所以平面, 因为为中点,平面,所以平面, 底面为正方形,所以为中点,平面,所以底面, 又平面,平面, 所以平面与平面相交,且在交线上,即三点共线,故B正确； 对于选项C,平面平面,平面,但直线, 所以平面,故C错误； 对于选项D,直线平面,直线平面,, 所以直线与为异面直线,故D正确. 故选：C 【变式5-1】(24-25高一下.云南玉溪.期中)在图示正方体中,O为BD的中点,直线平面,下列说法错误的是(    ) A．A,C,,四点共面 B．,M,O三点共线 (2)求证：直线、、三线共点． 【解析】(1) (2)由于且,故直线相交,设交于, 则, 同理可得直线相交于点, 则, 故与重合,故直线三线相交于点O, 故直线三线交于一点． 【变式5-2】(24-25高一下.吉林长春.期中)已知正方体中,,点M,N分别是线段,的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：三条直线交于一点. 【解析】(1) 如图,取的中点分别为S,T,连接,则, 因为四边形和四边形均为正方形,,且,, 所以四边形均为平行四边形,即,, 所以四边形为平行四边形,所以,所以, 所以B,D,E,G四点共面. 【变式5-3】(24-25高一下.河北邯郸.期中)如图,在多面体中,四边形和四边形均为正方形,四边形和四边形均为梯形,其中,,且． (1)证明：B,D,E,G四点共面. (2)    延长,设它们交于一点S, 因为,且, 所以,则, 同理,延长,设它们交于一点Q, 因为四边形和四边形均为正方形,, 则,又, 所以,则, 因此S和Q是同一个点, 所以三条直线交于一点. A．若,,,则 B．若,,,,则 C．若,,,则 D．若,,,且,,则 【解析】对于A,由,,,得或与相交或与是异面直线,A错误； 对于B,由,,,,得或与相交,B错误； 对于C,由,,,得,C正确； 对于D,由,,,且,,得或与相交,D错误.故选：C 题型六 线面位置关系的命题判断 【典例6】(24-25高一下.安徽合肥.期中)已知l,,是三条不同的直线,,,是三个不同的平面,则下列命题一定正确的是(    ) A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【解析】A中,若,则或,所以A不正确； B中,,没有指明是否是相交直线,所以B不正确； C中,若,则或,所以C不正确； D中,若,由面面平行的性质定理可知,所以D正确．故选：D． 【变式6-2】(24-25高一下.重庆渝北.期中)已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是(    ) A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【解析】选项A：若,则或与相交,故A选项不正确； 选项B：若,根据面面垂直的判定,则,故B选项正确； 选项C：若,则或与相交且不垂直或两平面平行,故C选项不正确； 选项D：若,则或,故D选项不正确；故选：B. 【变式6-1】(24-25高一下.福建厦门.期中)设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是(    ) C．若,,则 D．若,,则 【解析】对于A ,若,,则、相交或异面,故错误； 对于B,若,,则或相交；故B错误； 对于C,若,,则或,故C错误； 对于D,如图,因,经过直线和平面内一点可作平面, 设,则, 因,故,又因,故,即D正确.故选：D. 【变式6-3】(24-25高一下.江苏镇江.期中)已知,,为三条不同直线,,,为三个不同平面,则下列判断正确的是(    ) A．若,,则 B．若,,则 (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【解析】(1)由底面是平行四边形,所以, 又平面平面, 所以平面； (2)由(1)有平面, 又平面,平面平面,所以, 又E是中点,所以F是中点. 题型七 空间平行关系的证明 【典例7】(24-25高一下.浙江杭州.期中)四棱锥中底面是平行四边形,E是中点,平面与交于F． (2)求证：. 【解析】(1)∵M、N分别为PC、CD的中点, ∴,又平面,平面, ∴平面,同理可证平面, 由都在平面内,则平面平面, 由平面,故：平面； (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴,又平面PAD,平面PAD, ∴平面PAD,又平面PBC,平面平面, ∴. 【变式7-1】(23-24高一下.北京顺义.期中)如图,四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l,M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)若,证明：． 【解析】(1)因为分别为线段的中点, 所以, 因为平面,平面,所以平面； (2)因为四边形是平行四边形, 所以且, 点分别为线段的中点, 故且, 所以四边形为平行四边形,故, 因为平面,平面,所以平面, 因为,平面,平面,所以平面, 又,平面, 所以平面平面, 因为,即平面平面, 平面平面, 所以. 【变式7-2】(24-25高一下.重庆南岸.期中)如图,四边形是平行四边形,点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求证：； (3)若,求的值. 【解析】(1)∵,平面,平面,∴平面. ∵平面,平面,,平面,平面, ∴平面平面. (2)由(1)知：平面平面. 又平面平面,平面平面, ∴. 【变式7-3】(24-25高一下.浙江杭州.期中)如图,三棱锥各棱长均为1,侧棱上的,,满足,,线段上的点G满足平面,点在上,. (1)求证：平面平面； (3)∵,∴点是的中点. ∵,∴,∴点是的中点,. ∵,且三棱锥各棱长均为1,∴, ∴,,,. ∵点在上,∴,解得. ∵,∴. ∴, . 由(2)知：,∴,∴,使得, 即. 由平面向量基本定理可得,解得. 综上所述,的值为. (1)求证：； (2)若平面交于点,求证：平面. 【解析】(1)因为矩形,平面, 所以. 因为,平面,所以平面. 因为平面,所以, 又,,平面, 所以平面,又平面,所以, 又,,平面, 所以平面. 又平面,所以. (2)因为矩形,平面, 所以. 因为,平面,所以平面； 因为,所以平面. 又平面,所以. 由(1)知平面,因为平面交于点,可得平面. 所以,又,平面； 所以平面. 题型八 空间垂直关系的证明 【典例8】(24-25高一下.黑龙江哈尔滨.期中)如图,已知矩形,过点作平面,再过点作交于点,过点作交于点. (2)若DP⊥BC,求证：PC⊥平面BCD． 【解析】(1)取的中点,在等腰中,,为的中点, ∴,在等边中,,又,平面, ∴平面,又平面,∴ (2)∵在中,,又,又,平面 ∴平面,又平面,∴ 又由(1)知(已证),,平面, ∴平面 【变式8-1】(24-25高一下.湖北武汉.期中)如图,在四边形ABCD中,△ABD是等边三角形,是以BD为斜边的等腰直角三角形,将△ABD沿对角线BD翻折到,在翻折的过程中 (1)求证：BD⊥PC； (2). 【解析】(1)因为四边形为矩形,所以, 因为平面,平面,所以, 因为,、平面,所以平面, 因为平面,所以, 因为,,、平面,故平面. (2)因为平面,平面,所以, 因为,,、平面,所以平面, 因为平面,因此. 【变式8-2】(24-25高一下.福建莆田.月考)如图已知矩形,过点作平面,再过点作交于点,过点作交于点.求证： (1)平面； (2)若点为的中点,求证：. 【解析】(1) 因为平面,平面,所以, 因为平面,所以平面； (2)∵面是正方形, , , 又因为,且平面,平面,所以平面,平面. 【变式8-3】(24-25高一下.湖北武汉.月考)如图,四棱锥中,面是正方形. (1)若平面,求证：平面； A． B． C． D． 【解析】 如图,因为和与底面所成的角分别为和, 所以,又, 则, , 在长方体中,, 所以就是异面直线与BD所成角或其补角, 又, 由余弦定理,.故选：B. 题型九 异面直线所成角的求解 【典例9】(24-25高一下.重庆渝北.期中)在长方体中,和与底面所成的角分别为和,则异面直线与BD所成角的余弦值为(    ) 【解析】连接、,由题可得,又, 则四边形为平行四边形,则, 即,所成角,即为与所成角或其补角, 又由题可得,, 则. 因此,异面直线,所成角的余弦值为.故选：B. 【变式9-1】(24-25高一下.浙江温州.期中)在长方体中,若,,则异面直线,所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【解析】过作,交底面圆周于,故异面直线与所成角,即为, 若底面半径为,轴截面是正三角形,, 则,, 故. 【变式9-2】(24-25高一下.江苏南通.期中)已知圆锥的轴截面是正三角形,为圆锥底面圆上的一点,若,则异面直线与所成角的余弦值为______． 【变式9-3】(24-25高一下.天津和平.期中)如图,在棱长都相等的正三棱柱中,若为棱的中点,则直线 与直线所成的角为_________． 【解析】设分别为棱的中点,连接,,如图所示, 因为分别为棱的中点,所以, 又因为为棱的中点,,为棱的中点, 所以,且, 所以四边形为平行四边形,所以, 所以为直线 与直线所成的角(或其补角). 设正三棱柱的棱长为,则 , , , , 所以,即, 所以, 故直线 与直线所成的角为. 【解析】取的中点,连接,取的中点,连接, 由是边长为2的正三角形,得,则, 由,圆锥底面,圆锥底面, 则是与该圆锥底面所成的角, 所以与该圆锥底面所成角的正切值为. 题型十 直线与平面所成角的求解 【典例10】(24-25高一下.天津南开.期中)已知顶点为的圆锥,为底面圆的一条直径,是母线的中点,为底面圆的中心,为线段的中点,若是边长为2的正三角形,则与该圆锥底面所成角的正切值为__________. 【解析】 取棱的中点,连接,,又是棱的中点,所以, 因为平面,所以平面,则是直线与平面所成的角. 设,则,,. 在中,由余弦定理可得, 则, 所以.故选：A 【变式10-1】(24-25高一下.河北邢台.期中)在直四棱柱中,四边形是菱形,,,是棱的中点,则直线与平面所成角的余弦值是(    ) A． B． C． D． 【解析】由正三棱台三侧棱的延长线交于点,得三棱锥为正三棱锥, 过作平面于,交平面于,连接, 由,得,则,又,则, 则, 解得,则,设的边长为,则,解得, 由三棱锥为正三棱锥, 得是的中心,, 由平面, 得为侧棱与底面所成的角, 所以. 故选：D 【变式10-2】(24-25高一下.河南.期中)正三棱台三侧棱的延长线交于点P,如果,三棱台的体积为,的面积为,那么侧棱与底面所成角的正切值为(    ) A． B． C． D． 【解析】如图所示,由题意得,连结相交于点E,取的中点F,连结. 根据作图可知,,,且, 取的中点G,连结, 则可得平行且相等,四边形为平行四边形,. 在等边中,因为G是AC中点,所以, 故由勾股定理,, 所以. 又因为在中,,所以, 因为平面,平面, 所以,所以, 因为是平面内的两条相交直线, 所以故平面,所以根据线面角的定义,与平面所成的角为, 又因为, 所以在中,,故选：B. 【变式10-3】(24-25高二上.山东泰安.期中)已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,为的中点,则与平面所成的角的正弦值为(    ) A． B． C． D． A．和 B．和 C．和 D．和 【解析】面,面,则,同理,, 是正方形,则, 平面,所以平面, 又平面,所以,即异面直线与所成角的大小为, 这时可确定只有选项A正确； 又,,平面, 所以平面, 又平面,所以, 所以是平面与平面所成的二面角的平面角, 而,所以, 即平面与平面所成的二面角大小为,故选：A． 题型十一 平面与平面所成角的求解 【典例11】(24-25高一下.天津西青.期末)如图,四棱锥的底面为正方形,面,,则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为(    ) 【解析】取的中点,连接, 因为,为的中点,则,由垂径定理可得, 所以二面角的平面角为, 因为平面,平面,则, 因为,,则为等腰直角三角形, ,则,,, 因平面,则为直线SA与圆锥底面所成角,即, 则在中,,故, 所以,, 因为,故, 即二面角的大小为.故选：C. 【变式11-1】(24-25高一下.河南新乡.月考)已知圆锥的顶点为为底面圆心,母线互相垂直且的面积为2,直线SA与圆锥底面所成角为,则二面角的大小为(    ) A． B． C． D． 【解析】如图, 设,取的中点为,连接, 由,可得, 所以为二面角的平面角, 由, 所以. 【变式11-2】(24-25高一下.浙江杭州.期中)已知一个六条棱均相等的四面体,则二面角的余弦值为_______. (2)若,求二面角的余弦值. 【解析】(1)证明：在直三棱柱中, ∵平面,,,平面, ∴,,. ∴点的曲率为, ∴. ∵,∴为等边三角形. ∵分别为的中点,∴. ∵,,,,平面, ∴平面. 【变式11-3】(24-25高一下.吉林长春.期中)空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间的弯曲性,规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差,其中多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为,故其各个顶点的曲率均为.如图,在直三棱柱中,点的曲率为,,分别为,的中点,且. (1)证明：平面； (2) 取的中点,连接,. ∵为等边三角形,∴. ∵三棱柱是直三棱柱, ∴平面平面. ∵平面平面,,平面, ∴平面. ∵,平面,∴,. 设.∵,∴,,, ∴,∴. ∵,,,,平面, ∴平面. ∵平面,, ∴为二面角的平面角. ∵,, ∴在中,. ∴二面角的余弦值为. A． B． C．2 D． 【解析】由直三棱柱的体积为6,可得, 设到平面的距离为,由, ,,解得, 即到平面的距离为.故选：B. 题型十二 空间距离的求解 【典例12】(2025高一下.江苏南京.专题练习)如图,直三棱柱的体积为6,的面积为,则点到平面的距离为(    ) 【解析】由条件可得是等腰直角三角形,且, 故, 所以, , 设P到直线的距离为h, 则由, 可知, 设所求距离为d, 因, 则,解得：.故选：D. 【变式12-1】(24-25高一下.青海西宁.期中)在直三棱柱中,,,P是棱的中点,则C到平面的距离为(    ) A． B． C． D． 【解析】如图,设为底面的中心,则底面, 因为平面,所以, 由题意,, 则在正方形中,, 所以, 则顶点P到底面的距离为. 【变式12-2】(24-25高一下.北京.期中)在所有棱长均为2的正四棱锥中,顶点P到底面的距离为______． (2)求点C到平面BDE的距离. 【解析】(1)取BE的中点G,连接AG,FG,所以且, 又,,, 所以,且, 所以四边形ADFG为平行四边形,所以, 又平面EAB,平面EAB, 所以平面EAB. 【变式12-3】(24-25高一下.广东东莞.期中)如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,,F为中点. (1)求证：平面EAB； (2)因为,,所以, 所以, 又平面ABCD,所以, 因为,,所以, 由平面ABCD,AB,平面ABCD,所以,, 又,, 所以, 所以, 设点到平面BDE的距离为h,则,解得, 所以点C到平面BDE的距离为. 【典例13】(24-25高一下.安徽马鞍山.期中)长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为(    ) A． B． C． D． 【解析】长方体的外接球的半径. 则接球表面积为.故选：B. 【变式13-1】(24-25高一下.四川资阳.期中)若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上,则该正三棱柱的体积为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意可知球的半径, 因为正三棱柱的高为,则球心到三棱柱底面的距离, 根据球的截面圆的性质,可得,即,解得, 棱柱底面与球的截面圆的半径, 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形,可得三角形的边长为, 所以三角形的面积为, 该棱柱的体积为. 题型十三 几何体的外接球与内切球 【变式13-2】(24-25高一下.广东汕头.期中)已知正四面体的表面积为,此四面体的内切球的表面积为,则＝______． 【解析】设四面体的棱长为,则底面三角形的高为,且底面中心将底面三角形的高分为两段, 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为, 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则, 所以内切球表面积,又正四面体的表面积, 所以 【解析】由题意可知,正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上,如图所示, 设球心为,点距离下底面的高度为. 因为,,, 又上、下底面均为正方形,所以,. 设棱台的外接球的半径为, 根据勾股定理可得, 解得, 则, 所以正四棱台的外接球表面积为.故选：D. 【变式13-3】(24-25高一下.广东深圳.期中)如图,已知正四棱台的高,且,则此正四棱台的外接球表面积为(    ) A． B． C． D． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点,使得平面？若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由． (2)在上取点,使,如(1)中的图所示, 因为菱形,则,且, 又因为为中点,所以,则有, ,而平面, 平面, 因此平面,即线段上存在点,使得平面,. 【解析】(1)连接,由菱形内角,得是正三角形, 由为的中点,得,由,得, 而平面,则平面, 又平面, 所以. 题型十四 几何体中的动点探索问题 【典例14】(24-25高一下.河南新乡.月考)如图,四边形为边长为的菱形,,,为的中点． (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H,使得平面平面PBC？若存在,求出点H的位置,并加以证明； 若不存在.请说明理由. 【解析】(1).证明如下： 依题意,,平面,平面,则平面, 又平面平面,平面,所以. (2)取中点连接,在中, 在中,,则,即四边形为平行四边形, 因此,平面,平面, 所以平面. (3)当为中点时,平面平面 证明如下： 取的中点为,连接, 在中,,平面,平面, 则平面,同理可证,平面, 又平面,, 所以平面平面. 【变式14-1】(24-25高一下.黑龙江哈尔滨.期中)如图所示,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N、K分别为AB,PC,PA的中点,平面平面. (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)底边上是否存在异于端点的一点,使得直线与平面所成的角为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由. 【解析】(1)因为平面平面,平面平面,,平面, 所以平面. 由平面,可得, 又因为是的中点,,则, 且,、平面,所以平面. 【变式14-2】(23-24高一下.广东茂名.月考)如图,在四棱锥中,平面底面,底面是直角梯形,,,,,是的中点. (1)证明：平面； (2)假设在上存在异于端点的点,使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面,垂足为,连结、、, 则,, 设,,则, 由(1)可知：平面,, 可知平面, 由平面,可得, 在中,, 在中,, 因为底面是直角梯形,,,, 则,, 可得,, 由得,, 即,解得, 故存在点,使得直线与平面所成的角大小为,此时. (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点,使得二面角的大小为,若存在,求出线段的长, 若不存在,请说明理由. 【解析】(1)在三棱台中,,, 在等腰梯形中,, 由余弦定理得：, 则,即, 而平面平面,平面平面平面, 所以平面. 【变式14-3】(24-25高一下.山东泰安.期中)如图,已知三棱台中,平面平面,是以为直角顶点的等腰直角三角形,且. (1)证明：平面； (2)过,垂足为, 因为平面,又平面,所以, 又,,平面, 所以平面,平面, 得  又,平面, 则平面,为与平面所在角,, 因此,所以与平面所成角为. (3)三棱台侧棱延长线交于一点,由(1)得为正三角形, 由平面,平面,得平面平面,取中点, 则,而平面平面,平面,则平面, 作交于,则平面,而平面,则, 作于,连接,即在平面上的射影,    又,平面,则平面, 又平面,于是,为二面角的平面角, 若存在使得二面角的大小为,即, 设,则,, 即,解得,,, 因此,, 所以存在满足题意的点. A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形 【解析】延长交直线于,连接交于,连接,即即为所求截面, 由题设有,即为的中点,则且, 又,,则为平行四边形, 所以且,故且, 又,所以为等腰梯形.故选：B 题型十五 空间几何体中的截面问题 【典例15】(24-25高一下.江苏南通.期中)在正方体中中,为的中点,则平面截正方体所得的平面图形为(   ) (2)平面截正方体,把正方体分为两部分,求较小的部分与较大的部分的体积的比值． 【解析】(1)如图,取的中点,连接. 因为是的中点,所以. 在正方体中,,, 所以四边形是平行四边形,所以,所以, 所以四点共面. 因为三点不共线,所以四点共面于平面, 所以面即为平面截正方体所得的截面. 截面为梯形,, ,, 同理可得, 如图所示：分别过点、在平面内作,,垂足分别为点、, 则,,, 所以,则, 因为,,, 则四边形为矩形, 所以,,则, 所以, 故梯形的面积为 (2)易知多面体为三棱台,, , 该棱台的高为2,所以,该棱台的体积为 , 故剩余部分的体积为． 故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为． 【变式15-1】．(24-25高一下.广东惠州.期中)如图正方体,的棱长为2,是线段,的中点,平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面(保留作图痕迹),并求该截面多边形的面积； (2)写出一种切割方式,要求过点,将(1)问中较大的几何体,切割出与较小木料体积相同的木料. 【解析】(1)如图,在平面内过点作直线,使,分别交棱,于点,, 取棱,中点,,连接,,,则,,,就是应画的线． 下面证明： 因为,平面,平面, 所以平面, 因为点为的重心,,所以, 又因为, 所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面, 所以平面, 因为平面,平面,,,平面, 所以平面平面,即所作截面平行于平面． 【变式15-2】(24-25高一下.广东.期中)已知一块正三棱台木料如图所示,点为的重心,且,． (1)要经过点将木料锯开,使截面平行于平面,在木料表面应该怎样画线,并说明理由； (2)设棱台的高为,面积为,则, 正三棱台体积为, 正三棱台体积为． 所以被截面截得的另一个几何体体积为． 过点和做截面,即连接,, 因为,所以几何体为棱柱, 所以,所以被截面截得的另一个几何体体积为, 因此沿着截开即可.(答案不唯一)． (i)求截得的“球缺”的体积； (ii)求截得的“球缺”的表面积. 【解析】(1)根据题意,利用圆柱、圆锥和球的体积公式, 可得,,, 所以,即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. 【变式15-3】(24-25高一下.浙江丽水.期中)祖暅是南北朝时期伟大的数学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理：“幂势既同,则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等,现有以下三个几何体：半径为R的半球,底面半径和高均为R的圆锥与圆柱,体积分别记为,,. (1)写出,,三者之间的关系； (2)过半径上一点A,且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分,位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理,其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时,求解下面两个问题： (2)解：(i)图(1)中,截面圆的半径为,所以截面圆的面积为, 图(2)中,截面为圆环,其中小圆的半径为,大圆的半径为, 所以截面圆环的面积为, 根据祖暅原理,由小球缺的体积等于图(2)中截面上方的圆柱挖去圆台后剩余的几何体的体积, 所以小球缺的体积为, 令,可得. (ii)类比球的表面积和体积的求法,将球缺底部的圆与球心连线,组成一几何体, 把球缺的曲面部分分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点, 整个几何体就被分割成n个“小锥体”,记球缺曲面部分的面积为S, 则,可得,, 所以该球缺的表面积为. 1   (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点,使得平面？若存在,求的值；若不存在,请说明理由． 【解析】(1)因为为中点,,所以． 因为平面平面,平面平面,平面, 所以平面． 题型十六 空间几何体翻折问题综合 【典例16】(24-25高一下.北京朝阳.期中)如图,在直角梯形中,,,,,,点在上,且,将沿折起,使得平面平面,为中点． (3)过点作交于点,则； 过点作交于点,连接,则；如下图所示：    因为平面,平面, 所以平面． 又因为,平面,平面, 所以平面． 因为,平面,平面, 所以平面平面． 因为平面,所以平面． 所以在上存在点,使得平面,且． (2)在直角三角形中, ∵,∴,∴． 又三角形的面积 由(1)知,平面, 所以三棱锥的高为． 所以. (3)若,试问在侧棱PC上是否存在一点,使得二面角的余弦值为？若存在,求出CE的长度；若不存在,请说明理由． 【解析】(1)如图1,在梯形ABCD中,取边AB的中点,连接CF． 因为,所以, 所以四边形AFCD是平行四边形,所以, 因为,所以,所以, 因为,且,所以, 所以, 因为平面平面PAC,且,所以平面 【变式16-1】(24-25高一下.云南大理.月考)如图1,在等腰梯形ABCD中,,将沿边AC翻折,使点翻折到点,连接PB,得到三棱锥,如图2,其中． (1)证明：平面PAC． (2)若,求三棱锥的体积． (2)如图2,取棱AC的中点,连接PG, 由(1)可知平面PAC,且平面ABC,则平面平面ABC, 因为,且为线段AC的中点,所以, 因为平面平面,平面,所以平面, 则为三棱锥的高, 因为,所以,则 故三棱锥的体积． (3)假设存在满足条件的点． 如图2,作,垂足为,作,垂足为． 由(2)可知平面平面ABC,又,且平面平面, 所以EH平面ABC, 因为平面ABC,所以, 因为,且平面,,所以平面EHK． 因为平面EHK,所以,则为二面角的平面角． 设,则． 因为,且,所以,则． 易证,则,故． 由题意可得,则． 因为平面ABC,且平面ABC,所以, 所以, 则,解得,故． 因为在棱PC上,所以, 所以假设不成立,即不存在点,使得二面角的余弦值为． 【解析】(1)由,可知, 因为平面,平面,所以平面, 又平面,平面平面, 所以． 【变式16-2】(24-25高一下.湖南.期中)如图1,已知在中,,,,E,F分别是AB,AC上的点,,将沿EF翻折至,连接PB,PC,得到如图2所示的四棱锥,若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时,求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． (2)由题知, 因为,所以, 过点P作于点M,连接EM, 由,则, 因为,,,平面,, 所以平面PFC,因为平面,所以, 因为,平面BCFE, 所以平面BCFE,则为直线PE与平面BCFE所成的角, 在中,, 所以直线PE与平面BCFE所成角的正弦值为． (1)若, (i)证明：平面； (ii)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值的最大值. 【解析】(1)(i)由题意可得, 则,即, 又平面,则平面； (ii)由(i)可知,为三棱锥的高, 则. 则三棱锥的体积为. 【变式16-3】(24-25高一下.浙江宁波.期中)在平面四边形中,,将沿翻折至,其中为动点. (2)取的中点为,连接,则,则, 因为的中点, 所以, 又平面,则平面, 又平面,则平面平面, 过作于点, 又平面平面,平面平面,平面, 则平面, 则是直线与平面的所成角, 设,则,若, 则, 则；若,则, 则,则, 令,则, 则, 则, 因,当且仅当,即时取得等号, 则, 故直线与平面所成角的正切值的最大值为1. A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 【解析】对于选项A：不在同一条直线上三点确定一个平面,故A错误； 对于选项B：三条平行直线不一定能确定一个平面,例如三棱柱的三条侧棱所在的直线,这三条直线就不共面,故B错误； 对于选项C：因为梯形有两边是平行的,且两条平行直线是共面直线, 所以梯形的四个顶点确定一个平面,故C正确； 对于选项D：两两相交的三条直线不一定能确定一个平面, 例如三棱锥的三条侧棱所在直线,这三条直线就不共面,故D错误. 期中基础通关练(测试时间：10分钟) 1．(24-25高一下.广东汕头.期中)下列说法正确的是(    ) A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【解析】若,则或,所以A选项错误； 若,则,所以B选项正确； 若,则,所以C选项正确； 若,由线面平行的性质可得, 所以D选项正确.故选：A 3．(24-25高一下.天津.期中)如图所示,是水平放置的的直观图,且,,则的面积是(   ) A． B． C． D． 【解析】因为,,所以, 则的面积是.故选：D. 2．(24-25高一下.福建厦门.期中)已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列说法不正确的是(    ) 【解析】设这个圆柱和圆锥的底面半径为,由圆柱的轴截面是一个正方形,故其高, 则圆柱的侧面积, 圆锥的侧面积, 则, 故B正确.故选：B. 4．(24-25高一下.河北石家庄.期中)已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等,圆柱的轴截面是一个正方形,则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为正四棱台中,,高为8cm, 则侧面的斜高为. 所以. 所以该四棱台的表面积为, 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元, 所以该部件的防腐处理费用是元.故选：B. 5．(24-25高一下.重庆.期中)如图,某实心零部件的形状是正四棱台,已知,,棱台的高为,现需要对该零部件的表面进行防腐处理,若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元,则该零部件的防腐处理费用是(    ) A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 A． B．平面平面PBM C．存在某个位置,使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D．若,则直线CM与平面PAM所成角为 【解析】对于A,平面平面, 平面平面平面平面, 又平面,故A正确； 对于B,由A知平面,又平面平面平面,故B正确； 对于C,设平面平面,假设底面, 平面平面,平面平面, ,则与重合,则,显然不成立,则假设不成立,故C错误； 对于D,由A知平面,在矩形中,, 直线与平面所成的角为, 在中,, 故D正确.故选：ABD 期中重难突破练(测试时间：10分钟) 1．(24-25高一下.重庆渝北.期中)(多选)如图,已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定,点在棱CD上,且,平面平面ABCD,则下列结论正确的是(    ) 【解析】由题意知,圆台的上、下底面圆的半径分别为和,高, 则圆台的母线长为,所以A错误； 圆台的体积为,所以B正确； 圆台的侧面积为,所以C正确； 设圆台的外接球的球心到上底面的距离为, 由球的截面圆的性质,可得,解得, 所以球的半径为,所以D正确.故选：BCD. 2．(24-25高一下.广东佛山.期中)(多选)如图,已知圆台上,下底面的圆心分别为,,半径分别为2和4,高为,四边形为圆台的轴截面,则(    ) A．圆台的母线长为6 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面积为24π D．圆台外接球的半径为4 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S,它所经过的最短路程为 【解析】对于A,正四棱锥底面半径,高,故A正确； 对于B,几何体的表面积为,故B错误； 对于C,该几何体的体积为,故C正确； 对于D,观察图形知,小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或, 由对称性,不妨取长方形及正,将它们置于同一平面内,连接,如图, 取中点,连接,则,而, 所以最短路程为,故D正确. 故选：ACD 3．(24-25高一下.江苏无锡.期中)(多选)如图,该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体,若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm,则下列选项中正确的是(    ) A．正四棱锥的高为 1．(2025.天津.高考真题)若m为直线,为两个平面,则下列结论中正确的是(    ) A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【解析】对于A,若,则可平行或异面,故A错误； 对于B,若,则,故B错误； 对于C,若,则存在直线,, 所以由可得,故,故C正确； 对于D,,则与可平行或相交或,故D错误；故选：C. 2．(2025.全国二卷.高考真题)一个底面半径为,高为的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为____________． 【解析】圆柱的底面半径为,设铁球的半径为r,且, 由圆柱与球的性质知, 即,, 期中综合拓展练(测试时间：15分钟) (2)若,且二面角的正弦值为,求． 【解析】(1)因为平面,而平面,所以, 又,,平面,所以平面, 而平面,所以. 因为,所以, 根据平面知识可知, 又平面,平面,所以平面． (2)如图所示,过点D作于,再过点作于,连接, 因为平面,所以平面平面,而平面平面, 所以平面,又,所以平面, 根据二面角的定义可知,即为二面角的平面角, 即,即． 因为,设,则,由等面积法可得,, 又, 而为等腰直角三角形,所以, 故,解得,即． 3．(2024.新课标Ⅰ卷.高考真题)如图,四棱锥中,底面ABCD,,． (1)若,证明：平面； $