考点10 正余弦定理在几何图形与实际问题中的应用（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点10 正余弦定理在几何图形与实际问题中的应用 考点一：实际问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 考点二：解三角形实际问题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 考点三：几何图形问题 几何图形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形 在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角(补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式进行结合求解 考点四：三角形的特殊线问题 特殊线 常见用法 中线问题 为的内角的中线，则有 ，两边平方后 角平分线问题 为的内角的平分线，则有 ①内角平分线定理： ②等面积法：因为， 所以 题型一：测量距离问题 【例1】如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 【例2】某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【分析】 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 【变式1-1】某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 【变式1-2】如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，(单位：千米)，则A，B两点的距离为 千米． 【答案】3 【详解】中，，，所以， 所以， 中，，，所以， ，即，得， 中，根据余弦定理, 即，得. 故答案为：3 【变式1-3】某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内) (1)求的面积； (2)求点之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，，，则. 因为，， 所以由正弦定理得， 所以的面积为； （2）在中，，， 则，， 因此，. 在中，由余弦定理 ， 因此. 类型 图形 方法 两点间不可通或不可视 先测角,再用余弦定理求 两点间可视,但有一点不可达 以点不可达为例,先测角,再用正弦定理求 两点都不可达 测得 在中用正弦定理求;在中用正弦定理求BC; 在中用余弦定理求 题型二：测量高度问题 【例3】“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 【例4】紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为 米（精确到整数位）（）. 【答案】389 【详解】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 故答案为： 【变式2-1】小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 【变式2-2】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 【变式2-3】三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 【答案】373 【详解】如图，过C作，过B作， 则， 由B点测得A点的仰角为，得为等腰直角三角形，， 则， 由，得， 在中，由正弦定理得，， 而， 因此，所以. 故答案为：373 类型 简图 计算方法 底部可达 测得 底部不可达 点与共线 测得及与的度数.先由正弦定理求出或,再解三角形得的值 点与不共线 测得及的度数.在中由正弦定理求得,再解三角形得的值 题型三：测量角度问题 【例5】如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B 【例6】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 【变式3-1】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【详解】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 【变式3-2】某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 【变式3-3】如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【分析】 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 题型四：四边形中的解三角形 【例7】（多选）如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（   ） A．四边形ABCD的面积为 B．该外接圆的半径为 C．过D作交BC于F点，则 D． 【答案】BCD 【详解】 对于A：连接，由题意可知，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以， 且，则，即， 所以四边形的面积 ， 故A错误； 对B：该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为， 在中，由正弦定理可得， 即，故B正确； 对于C：由题意可得：， 过作，垂足，则为的中点，可得， 在方向上的投影向量即为， 所以，故C正确； 对于D：过作，垂足，则为的中点，可得， 过作，垂足，可得， 故，即在方向上的投影向量为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 【例8】如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求四边形的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为在中，， 故，而， 故， 即，结合， 可得，而； （2）由于， 故， 则； 又，故，（为锐角） 所以 ， 故； （3）延长交于点E， 因为，故，又，故， 故，故为等腰三角形，则，则； 又，则， 结合，可得∽， 故， 在中，， 即，解得， 又，结合（1）知， 故为正三角形，故， 故四边形的周长为. 【变式4-1】如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 【变式4-2】（多选）在平面四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】ACD 【详解】取的中点为， 由题意，圆为四边形的外接圆，记该外接圆的半径为， 在中，，所以， 由， 所以，，， 四边形的周长为， 四边形的面积为. 故选：ACD 【变式4-3】如图，在平面四边形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求四边形面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，若， 则， 在中，由余弦定理可得. （2）由，得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， ，即， 解得. （3）由题，， ， 由（2）， 两式平方相加得， 所以， 当时，此时，取得最大值为， 所以四边形面积S的最大值为. （1）四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，（1）若有一个三角形可全解，则利用该三角形帮助解其他三角形；（2）没有一个三角形可全解，则观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边或有关系的边角的三角形，利用正余弦定理构造两个方程进行联立求解 题型五：中线问题 【例9】在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若，边中线长为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，可得， 由正弦定理得，， 即， 即． 又由于， 所以， 又因为，所以， 所以， 又，所以． （2）如图， 由题意可得， 将等式两边平方得， 因为，， 所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 联立，解得， 可得． 【例10】在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 而，所以. （2）由为边上的中线，得，两边平方得， 即，而，则 因此，所以. 【变式5-1】已知三边的中线、、的长分别为、、，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设、、交于点，则为的重心，    根据重心的性质可得，，， 则由，， 得， 则，解得， 则， 所以. 故选：C. 【变式5-2】已知的内角的对边分别为， . (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由以及正弦定理可得， ，即， 则由余弦定理可得，， 因为，所以. （2）因为为线段的中点，所以，则， 又，所以，即， 因为，，所以，得， 则的面积为.    【变式5-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 (1)求 (2)若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】 【详解】（1）由，可得， 由正弦定理得 因为， 所以 由于，则，所以. 又，则，故. （2）①由题意，的面积，可得①， 由余弦定理得，，且，所以, 则，因为，所以②， 因为，联立①和②解得，， ② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点， 所以，， 因为 ， ， 所以, 由题意，为锐角，则. 若是的中线，则方法一：向量法； 方法二：双余弦定理法 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 题型六：角平分线问题 【例11】记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为结合正弦定理可得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以，则，得，则； （2）因为是的角平分线，且，，， 所以，得， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 因为，，所以， 则在中利用余弦定理得，得， 因为，所以， 所以，解得，解得或， 又，解得，于是. 【例12】在中，、、所对的边长分别为、、，，是角的角平分线，且． (1)求的范围． (2)当时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，，是角的角平分线，且， 由得， 所以， 整理得， 因为，则，故，即的取值范围是. （2）由（1）可知，当时，，可得，所以，故， 因为，由余弦定理可得，故， 由余弦定理可得. 【变式6-1】记的内角的对边分别为，已知 (1)求 (2)的角平分线交于点，若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以，则，由题意得， 联立两式，得到，解得 . （2）如图，作出符合题意的图形，    因为的角平分线交于点，所以， 则，得到，故， 而， 而，则在中，由正弦定理知， 解得，故的周长为. 【变式6-2】在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若的角平分线交边于，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由于，结合正弦定理得， 又因为， 代入上式，可得， ，，，即，. 又，则， ，即. （2）由余弦定理可得，即， 又是角的角平分线， ， 即，化简得， 所以， 所以，解得， 所以. 【变式6-3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，因为，所以； （2）因为，所以， 因为BD平分，所以，即， 由（1）知，，解得，， 因为，所以， 整理得. 若是的角平分线，则有：①；② 一、单选题 1．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 3．如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（   ） A．D在C的北偏西方向 B． C．D，C相距 D．D，B相距 【答案】C 【详解】如图所示， 又， 所以在中，解得， 在中，， 所以，则， 所以在的北偏西方向，且,相距． 故选：C. 4．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 5．海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 6．在平面四边形ABCD中，已知，则的外接圆的直径长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 得， 在中，， 在中， ， 所以，所以，所以． ，所以， 在中，利用正弦定理得，的外接圆的直径长度为． 故选：D 二、多选题 7．如图，在四边形OACB中，为正三角形，设，，，则下列说法正确的有（   ）. A．当时，的面积最大 B． C．若，则 D．四边形面积的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可得，， 因，则当时，的面积最大，故A正确； 对于B，在中利用余弦定理可得，， 则由题意可得， ， 解得，故B错误； 对于C，，得， 因，则，故C正确； 对于D，因为正三角形，则， 则四边形面积为， 因，则， 则当，即时，四边形面积有最大值，最大值为， 故D正确. 故选：ACD 8．初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 【答案】BCD 【详解】如图所示，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合， 则， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去），所以， 又由正弦定理得，可得. 故选：BCD. 三、填空题 9．在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 【答案】 2 【详解】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 10．某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米． 【答案】72 【详解】设直线与交于点，则， 由题意，，， 又，且，代入解得， 从而， 进而， 所以塔高米． 故答案为：. 11．在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为 ． 【答案】/ 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以， 因为，点为线段的中点， 所以， ， ， 故答案为：． 四、解答题 12．已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． (1)甲船航行3小时到达C处，求AC； (2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 【答案】(1)海里； (2)甲船能沿DE方向航行前往救援，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意得，海里，海里，， 在中，由余弦定理得 ， 所以，(海里). （2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下： 如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F， 在中，(海里)， 在中， (海里)， ， 由余弦定理得 ， 所以(海里)， 所以， 因此甲船能沿方向航行前往救援. 13．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，，且，可得， 在中，， 可得，， 在中，，， 可得，由， 可得，解得， 又由余弦定理得：， 所以，所以. （2）因为， 在中，，，可得，， 所以， 由正弦定理，可得，解得， 所以， 所以. 14．与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【分析】 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点10 正余弦定理在几何图形与实际问题中的应用 考点一：实际问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 考点二：解三角形实际问题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 考点三：几何图形问题 几何图形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形 在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角(补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式进行结合求解 考点四：三角形的特殊线问题 特殊线 常见用法 中线问题 为的内角的中线，则有 ，两边平方后 角平分线问题 为的内角的平分线，则有 ①内角平分线定理： ②等面积法：因为， 所以 题型一：测量距离问题 【例1】如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【例2】某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【变式1-1】某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【变式1-2】如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，(单位：千米)，则A，B两点的距离为 千米． 【变式1-3】某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内) (1)求的面积； (2)求点之间的距离. 类型 图形 方法 两点间不可通或不可视 先测角,再用余弦定理求 两点间可视,但有一点不可达 以点不可达为例,先测角,再用正弦定理求 两点都不可达 测得 在中用正弦定理求;在中用正弦定理求BC; 在中用余弦定理求 题型二：测量高度问题 【例3】“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【例4】紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为 米（精确到整数位）（）. 【变式2-1】小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2-2】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 类型 简图 计算方法 底部可达 测得 底部不可达 点与共线 测得及与的度数.先由正弦定理求出或,再解三角形得的值 点与不共线 测得及的度数.在中由正弦定理求得,再解三角形得的值 题型三：测量角度问题 【例5】如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【例6】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【变式3-1】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【变式3-2】某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 题型四：四边形中的解三角形 【例7】（多选）如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（   ） A．四边形ABCD的面积为 B．该外接圆的半径为 C．过D作交BC于F点，则 D． 【例8】如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求四边形的周长. 【变式4-1】如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）在平面四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【变式4-3】如图，在平面四边形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求四边形面积S的最大值． （1）四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，（1）若有一个三角形可全解，则利用该三角形帮助解其他三角形；（2）没有一个三角形可全解，则观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边或有关系的边角的三角形，利用正余弦定理构造两个方程进行联立求解 题型五：中线问题 【例9】在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若，边中线长为2，求的面积． 【例10】在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【变式5-1】已知三边的中线、、的长分别为、、，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知的内角的对边分别为， . (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为，求的面积． 【变式5-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 (1)求 (2)若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 若是的中线，则方法一：向量法； 方法二：双余弦定理法 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 题型六：角平分线问题 【例11】记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 【例12】在中，、、所对的边长分别为、、，，是角的角平分线，且． (1)求的范围． (2)当时，求． 【变式6-1】记的内角的对边分别为，已知 (1)求 (2)的角平分线交于点，若，求的周长． 【变式6-2】在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若的角平分线交边于，且，，求的面积. 【变式6-3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 若是的角平分线，则有：①；② 一、单选题 1．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 3．如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（   ） A．D在C的北偏西方向 B． C．D，C相距 D．D，B相距 4．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 5．海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 6．在平面四边形ABCD中，已知，则的外接圆的直径长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 二、多选题 7．如图，在四边形OACB中，为正三角形，设，，，则下列说法正确的有（   ）. A．当时，的面积最大 B． C．若，则 D．四边形面积的最大值为 8．初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 三、填空题 9．在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 10．某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米． 11．在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为 ． 四、解答题 12．已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． (1)甲船航行3小时到达C处，求AC； (2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 13．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 14．与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $