精品解析：浙江杭州第十四中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

杭十四中二〇二五学年第一学期期末阶段性测试 高一年级数学学科试卷 考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间：2026年1月29日. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 考试结束，只需上交答题卡. 3.本场考试不能使用计算器. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数（且）的图象过定点（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边过点，则（ ） A B. C. D. 4. 已知幂函数的定义域为，记，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 要得到函数图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 定义在上的函数满足，且当时，对，，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的一条对称轴 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数的周期为 D. 函数单调递增区间为， 10. 已知、是正数，且，下列叙述正确的有（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 C. 若函数为上增函数，则实数的取值范围是 D. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 13. 函数图象的对称中心的横坐标为________（是自然对数的底） 14. 已知函数，若关于的方程有六个相异的实数根，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2） 16. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为. （1）求的值域； （2）若，求的取值范围. 17. 某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ （1）请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； （2）若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼时间.（注：，结果保留整数）. 18. 已知函数是奇函数.（是自然对数的底） （1）求实数的值； （2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，对任意实数，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值.（提示：不妨设） 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在请求出一个的值；若不是请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭十四中二〇二五学年第一学期期末阶段性测试 高一年级数学学科试卷 考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间：2026年1月29日. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 考试结束，只需上交答题卡. 3.本场考试不能使用计算器. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的补集与并集即可得到答案. 【详解】全集，集合， 则， 则. 故选：B. 2. 函数（且）的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数定点计算求解. 【详解】因为，所以函数的图象过定点. 故选：A 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的终边的定义进行计算即可. 【详解】因为角的终边过点，则. 故选：B. 4. 已知幂函数的定义域为，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据幂函数的定义求出的值，确定函数的表达式，再分析函数的单调性，最后根据函数单调性比较、、的大小. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义，即. 解得或. 当时，，其定义域为，不满足定义域为，舍去. 当时，，定义域为，符合题意. 所以，. 对于函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为轴. 所以在上单调递减，在上单调递增. 已知，，. 因为是偶函数，所以. ，则. 因为，. 根据函数在上单调递增，可得，即. 故选：D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 【详解】令，，则， 令，则 所以 故选：B. 6. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，即可得出使不等式成立的一个必要不充分条件. 【详解】由不等式，得，解得， 又表示不小于的最小整数，所以或，即， 观察选项，D选项的包含，满足要求， 故选：D 7. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先将两个函数名称变成一样，再根据平移规则变换即可. 【详解】， 根据“左加右减”平移规则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到. 故选：A. 8. 定义在上的函数满足，且当时，对，，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得在上的值域是在上值域的子集，根据已知先求出在的值域，结合，即可求出在上的值域，利用单调性可求出在上的值域，即可求出结论. 【详解】当时，，此时单调递减，所以， 当时，， 此时单调递增，所以， 在上值域为， ， 当时，， 在上的值域为， 当 时，在上为增函数，所以在上的值域为， 依题意， ，解得， 当 时，在上为减函数，所以在上的值域为， 依题意， ，解得， 当 ：，值域为 ，不包含 ，舍去. 故a的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的一条对称轴 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数的周期为 D. 函数的单调递增区间为， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性逐一判断A，B，应用正切函数周期及单调区间判断C，D. 【详解】对于A，因为， 所以直线不是函数的对称轴，故A不正确； 对于B，因为， 所以函数图象关于点对称，故B正确； 对于C，函数的周期为，故C正确； 对于D，令，得， 所以函数的单调递增区间是，故D不正确. 故选：BC. 10. 已知、是正数，且，下列叙述正确的有（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故最大值为，A对； 对于B选项，由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，则为，B对； 对于C选项，因为， 解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，C错； 对于D选项，因为， 当且仅当且即时取等号， 此时最小值为，所以D对． 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 C. 若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 D. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，解不等式即可判断A； 结合一次、二次函数的值域列不等式求实数的取值范围可判断B；根据分段函数的单调性求出的取值范围即可判断C；分别求出两段函数的零点，对分类讨论即可判断D. 【详解】A：当时，， 当时，令，解得； 当时，令，解得， 所以不等式的解集为，故A正确； B：易知二次函数的最小值为， 由，解得或， 要使的值域为，当时，需，解得； 当时，需，解得， 所以实数的取值范围是，故B错误； C：易知在上单调递增， 图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线， 因为在上单调递增，所以，解得，故C正确； D：令，解得； 令，解得或. 当时，在定义区间内，与轴无交点，与轴有2个交点； 当时，在定义区间内，与轴有1个交点，与轴有2个交点； 当时，在定义区间内，与轴有1个交点，与轴有1个交点； 当时，定义区间内，与轴有1个交点，与轴无交点. 综上，若有两个零点，则或，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 函数图象的对称中心的横坐标为________（是自然对数的底） 【答案】 【解析】 【分析】根据函数对称性的定义列式结合对数运算得解； 【详解】设图象的对称中心坐标为，则， 所以， 整理可得， 此式对定义域内的任意值都成立，则必有，所以， 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程有六个相异的实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的性质作函数的图象，得出满足条件的的取值范围，通过换元法简化方程，讨论方程存在两个不同实数根的条件，从而得出的取值范围． 【详解】函数图象如下图所示： 已知关于的方程有六个相异的实数根， 令，则该二次方程必须有两个实根，且每个根满足，此时每个对应3个不同的， 设，方程在内有两个不同实数根的条件为： ，解得，故实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用指数的性质，通过分母有理化、零次幂计算、分数指数幂计算及偶次方绝对值计算分别求出各项，进而合并求解； （2）运用对数的性质和运算法则，利用换底公式及对数性质分别计算各项，进而合并计算． 【小问1详解】 ，，，， ． 【小问2详解】 ，，，， ． 16. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为. （1）求的值域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并求出该函数的定义域，进而求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的值域； （2）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【小问1详解】 根据题意可知，，， 所以， 整理得 即， ，则， 所以，则. 所以的值域为 【小问2详解】 由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 17. 某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ （1）请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； （2）若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 【答案】（1）②， （2）该学生每天至少篅要锻炼47分钟 【解析】 【分析】（1）选择模型①②③，利用函数图象过的点求出，再验证即可得解. （2）由（1）所得解析式，建立不等式并求解即得. 【小问1详解】 选择模型①，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型③，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型②，由函数过点，得，解得， 此时函数的解析式为，当时，，符合题意， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，由每位学生每天得分不少于5分， 得，即，则， 解得， 所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟. 18. 已知函数是奇函数.（是自然对数的底） （1）求实数的值； （2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，对任意实数，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值.（提示：不妨设） 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质 ，计算即可求出； （2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得； （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 因为是奇函数，则， 即， 即，解得. 经检验，此时，满足 ，故 . 【小问2详解】 由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当，即时，等号成立，又，所以， 所以. 【小问3详解】 由题意得：， 不妨设， 以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立， 因为，仅当时前一个等号成立， 所以，即，于是n的最大值为. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在请求出一个的值；若不是请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 【答案】（1）存在一个的值为. （2）（i）（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）（i）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解；（ii）作出在上的图象如图所示，根据周期性结合图象，对进行讨论即可求解. 【小问1详解】 存在正常数，使得是“伴随函数”. 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为. 【小问2详解】 （i）由，得， 所以是周期为的函数. 由，得，所以为一条对称轴， 当时，. 当时，， 所以由对称性可知. 所以当时，. 易知在上的图象如图所示， 长度为，恰好包含 2 个完整周期， 根据周期性结合图象， 当，或，或时，方程在区间内有 4 个根，两两关于 、对称，； 当时，方程在区间内有 7个根，； 当时，方程在区间内有 6个根，； 当或时，方程在区间内有 8个根，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $