湖南省多校联考2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2026届高三第一次联考卷 数学参考答案 1.D【解析】由x2-3x+2=(x-1)(x-2)<0,得1<x<2,所以A二B台a≥2. 2.C【解析】由已知，x1=3-i,x2=1+2i,则x2-1=1十2i-(3-i)=-2+3i. 3.D【解析】若三条直线交于一点，则这三条直线可能不共面，A错误. 分别在两平行平面内的直线可能是异面直线，B错误. 设a∩3=l,A1B1⊥a,B1C⊥3，B2∈l,A2B2Ca,B2C2C3,则∠A2B2C2的大小有无数个不同取值，C错误. 4.C【解析】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有AA=12种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有A=12种站法.据分步乘法计数原理，不同的站法共有12×12 =144种. 5.B【解析】由已知，a十b=(1,入)，a十b=(1,),且(a十b)·(a十b)=0,则1十=0. 因为a-b=(1,一λ)，a+b=(4,1),4a-b=(,-1),则(a-b)∥(a+b). 人【解折1为OHL,#,FNL:有，△AOH-△AFN,所以货-合9-云千： 则1OH1=aFN c十a 同理，0G=a以因为10G=2l0H,则。子a电2c-a=+a.释e=,所以e台- c-a a 7.B【解析】由已知及余弦定理，得a(a十b)=a2+b2-2 abcos C,即b=a+2 acos C. 由正弦定理，得sinB=sinA+2 sin Acos C,则sin(A+C)=sinA+2 sin Acos C, 即cos Asin C-sin Acos C-=sinA,即sin(C-A)=sinA,所以C-A=A,即C=2A. 因为角A,B,C都为锐角，则0<2A<受，且0<B=元一3A<受，所以晋<A<平 &A【折g器-密-e5e7<(2到-（他空广<(-i月。a 2 因为e2>7,则u=log:6=hn6=h,6>h5=ln5=c In 7-In e2 2 2 9.ACD【解析】若T-2π-2，则u=元，A正确。 当w=2时，fx)=co(2+5)/(x-5)-cos(2x-晋)≠cos2x,B错误. 当0<m<号时，由0<x<,得晋<ax十子<否+晋=，则f)=os(au十骨)单调通减，C正确， 当x∈0，x)时，a+号∈（晋om十晋）.若fx)怡有-个零点，设该零点为，则a十营一受 从而登<om十晋<受，即名<w<行，D正确 10,BC【解析】由抛物线方程知，D=2,则准线1的方程为x=一号=一1，A错误。 如图，由抛物线定义知，AB|=|AF|.又点B在圆W上，则|BF=|AF, 所以△ABF为等边三角形，B正确. 设准线I与x轴的交点为E,则原点O为线段EF的中点.又OD∥EB, 则D为BF的中点.因为△ABF为等边三角形，则ADLBF,C正确. 取线段AB的中点M,连接FM,则FM⊥AB,所以|BM=|EF|=2,从而圆W的 半径|FA=AB=4.因为圆心F(1,0)到直线4x-3y十16=0的距离d=4+16=4, 5 所以直线4x一3y十16=0与圆W相切，D错误. 数学试题参考答案第1页 11.ABD【解析】将x用一x,y用一y代替，方程不变，则曲线C关于坐标原点对称，A正确. 因为-1≤sin(.x+2y)≤1，则-1≤2x-y≤1，即2x-1≤y≤2x+1, 所以曲线C夹在两平行直线y=2x一1和y=2.x十1之间，且与这两条直线都相切，B正确，C错误. 将y=x十1代入C的方程，得sn3十2)=x一1.令1=3x十2，则sm1=兮，由图可知，直线)=号与当 线y=sint恰有3个公共点，D正确. 12.2【解析】设切点为A(a,2e),因为y'=2e,令2ea=2,得a=0,则切点为A(0,2),所以m=2. 18(,] 【解析】当0<x<a时，f(x)单调递减，没有最小值；当x≥a时，f(x)单调递增，其最小值为4. 据题意，4<-21og,即4e+2log:a≤0.因为g(a)=4十21oga单调递增，g(分）=0，则0<a≤号 14 4 【解析】设抛掷一次骰子得到点数为i(i=1,2,3,4,5,6)的概率为a,则a1十a2十a3十a4十a5十a6= 1.因为a1,a2,a,a4,a5,a6成等差数列，则a1十a6=a2十a5=a3十a4=3 因为P(a+b=7)=号，则a1a,+aa,十aa,十a,a十a:a十aa=号，即2(aa,十aa,+a,a)= 所以P(a=b)=a1+a3+a3+a+a号+af=(a1+a6)2+(a2+a5)2+(a3十a4)2-2(a1a6十a2a5+a3a4)= 合7品 15.【解析】(1)由已知，S,+1一S=an十3，即a+1=a,十3，即a+1一a,=3,所以数列{an}是公差为3的等差数 (2分) 因为S。=@5X5=54,=40,则4，=8.…(4分) 2 因为a,-a3=(n-3)d,所以{an}的通项公式是an=8十3(n-3)=3n-1.…(6分) (2)因为a1-a,=3,则坠(-1)a4=(u-a4)+(a4-a)+…+(a2-a2-1）=3m. (9分)》 k=1 国为d则含ad-号(-山）+品-++门=日） -(合十)-1n）8+ …(12分) _(18n+7)n 所以T2m=3n+2(3n+D2(3m+1): ……（13分) 16.【解析】(1)因为0.357,0.325,0.308∈(0.302,0.388)，则抽取的6个零件中有3个优等品，3个为非优等品， 所以X的可能取值为0,1,2.…(2分) 图为PX=)答=号P0X-10-器-号P0X=2)=餐=号 …(5分) 所以EX)=0×日+1×号+2X号=1. DX0=(0-1D×号+1-1P×毫+(2-1DX号-景. …(7分)》 (2)由y=cx,得lny=lnc十blnx,令u=lnx,=lny,a=lnc,则=bu十a.…(8分) 图为a=号2hx=41,0=方2n0=30524w-空hn)=75.30分) 2G=hxP=1o1.4, 则方=56.8产6是5-8贸=2à=85-2×41= 。…(13分) 101.4-6×4.12 所以=之u十1，即n少-之nx+1=h(e@,所以y与x的经验回归方程是少=e匠.…(14分) 当x=81时，y=9e≈24.5，所以当零件尺寸为81mm时，估计零件的质量约为24.5g.…(15分) 数学试题参考答案第2页 17.【解析】(1)因为PC⊥底面ABCD,则PC⊥AD.… (1分) 由已知，△ABC为等腰Rt△，则AC=√JAB十BC=2,且∠ACB=45°.…(2分) 在△ACD中，∠ACD=90°-∠ABC=45°，由余弦定理，得AD2=AC+CD2-2 ACXCDXcos45°=2. 则AD2十AC2=4=CD,所以AC⊥AD.…(4分) 因为PC∩AC=C,则AD⊥平面PAC.因为因为ADC平面PAD,所以平面PAC⊥平面PAD.·(6分) (2)以C为原点，以CD为x轴，CB为y轴，CP为x轴建立空间直角坐标系.… …(7分) 则点A(1,1,0),B(0,1,0),D(2,0,0),P(0,0,2) 所以AB=(-1,0,0),BP=(0,-1,W2),DP=(-2,0,V2). …(9分) X D 设BM=入BP(0≤入≤1)，则AM=AB+BM=(-1,-入，2). 设直线AM与DP所成的角为0，则 cos 0-Ic0s(AM,DP-AM.Dp 2+2入 =6,入+1 |AM·|DP1√1+3·√6 3√32+1 …(们1分） 设A+1=41≤≤2)，则A+1 √3入+Π√/3(t-1)2+1√32-61+4 46+3 2-8)2+3 t 所以当号-昌，师1一号时，60s0取最大值，从面0取景小值，即直线AM与DP所成的角取最小值，此时X二 3 1-1=号，则BMi=号B成 ………(13分) 因为BCLCD..BCLPC..则BCL平面PCD.从而点M到平面PCD的距离为a=号BC-号 所以Vw=Wwm-号×号×2X2X号-2 (15分) 1【解折]1由已知，号-号，用-号a,即。-少=音c,得4=95，所以2a=动 …(2分) 又2a-2b=2,即a=b十1，则2(b+1)=3b,得b=2,从而a=3.… (3分) 所以E的方程是号+片-1. …（4分) (2)设点Ay）.B(.因为0心-是0i+号o成，则点C(时，3”吉业) 5 …(5分) 因为点C在E上，则③十》+③+)-1，即 25×4 25×9 是(+)+(+)+赏(+)=1. (7分) 因为点AB在E上，则+普=1，+号-1，从面是+号+平+)-1， 得+=0，即=-9平，所以·k的= 9 (9分) 9 X1T2 4 (3)由题设，直线AD的方程为y=3x,设直线1的方程为y=2x十m,联立两方程解得， xy-g,所以点P(智） (10分) 将y=号+m代入号+号=1，将9r+4(受+m)=36,即5r+2mx+2mr-18=0. 设点M(x3,y3),N(x4y4),则x3十x4=一 2m (12分) 不妨设>x4,因为点P在线段AD上，则> 数学试题参考答案第3页 所以1PM+21pN=1-1·√1++2x,-1·√1+-Lx-+2(-】 -(-2+}-号(a-2x--)= 3√5x4 (15分) 因为点N在y轴左侧，则一2≤x4<0.当x4=一2时，直线l过E的左顶点（一2,0），l的方程为 yx十1，联立y一3x,解得x-号y一号因为点P(号，号）在精圆内，从而在线段AD上. 所以当x4=一2时，|PM+2PN川取最大值35. …（17分) 19.【解析】1)(x)=os2sinZ,i设h(c)=cosL-sin,则h'(.)=一xsin.…(2分) 若n为正偶数，则当x∈(nr,nr+乏)时，sinx>0,从而(x)<0,h(x)单调递减. 又h(m)=nm>0,h(nx+受)=-1<0，则h(x)恰有1个变号零点，所以f(x)恰有一个极值点.…(3分) 若n为正奇数，则当x∈(nr,nr十牙)时，sinx<0,从而'(x)>0,h(x)单调递增. 又h(m)=一mm<0,h(mx+受）=1>0，则h(x)恰有1个变号零点，所以f(x)恰有一个极值点，…(4分) 综上，f(x)在区间（n元，n元十牙)(n∈N)内有且只有一个极值点。… (5分) (2)(i)由题设，h(xn)=0,则x COS一sinx,=0,即xn=tan.…(6分) 则[f(x)]2=sin= sin tan. 1 x (sinx+c0s2x)c2(十a㎡x)1千…(8分) 因为x∈(nm,m+受)(n∈N),则当n为偶数时，sinx>0,从而f(x)>0: 当n为奇数时，sin<0,从而f(c)<0,所以f(,)=一1 …（10分) √1十x (1)因为m<<m+茎，则版十<1<+受从西受<1-，<受 又a)押m头。-平之0，则，< ，…（12分) 令a,=x,-x,则a,∈(0，受）a+1-a,=x1-x,-元∈(0，受，且tana,=tan,=x …(14分) 因为当x∈(0，罗)时，x<tanx.又x+1x>n(n十1)x2, tan a+1一tan an=x+一n_an+l一an十πa+1一an十π 则0<a,1一a,<tana,1-a,)=1干ana,lana,-计，2，-1+z1x,C1+n(n十l)' 于是(an1-a,)[1+(n+1)r2]<a+1-a,十元，即(a1-a)n(n+1)r<1,从而0<a,1一a,<n(n+1)元 1 所以0<x+1一x一π<n(n十1)元 (17分) 数学试题参考答案第4页2026届高三第一次联考卷 数 学 注意事项： 幼 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知集合A={x|x2一3x十2<0}，B={xlx<a},则A二B成立的充要条件是 A.a<1 B.a≤1 C.a>2 D.a>2 2.已知复数x1=(1一i)(2十i),2=1十2i,则2一1= A.-3i B.4+i C.-2+3i D.2-3i 3.在空间中，下列命题正确的是 A.若三条直线两两相交，则这三条直线一定共面 物 B.若平面a与平面β平行，直线l在a内，直线m在β内，则l∥m C.若直线A1B1⊥A2B2,B1C1⊥B2C2,则∠A1B1C1与∠A2B2C2相等或互补 D.若三个平面两两相交得三条交线，则这三条交线共点或互相平行 4.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲 班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有 A.36种 B.72种 C.144种 D.288种 5.已知平面向量a=(1,0),b=(0,1),,u∈R,若(a十b)⊥(a十b),则 毁 A.(a-b)⊥(a+b) B.(a-b)∥(a+b) C.(a-b)⊥(a-b) D.(a-b)∥(a-b) 6.设双曲线C若一苦=1a>0,6>0)的右焦点为F,左，右顶点分别为A,A,M为C上一点，且 MF⊥x轴，点N在线段MF上，直线A1N交y轴于H点，直线AN交y轴于G点，O为坐标 原点，若|OG引=2OH|,则C的离心率为 A.3 B.2 C.√3 D.√2 数学试题第1页（共4页） 7.在锐角△ABC中，记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a(a十b)=c2,则A的取值范围是 A(o,) B(,) c(,) D.() 8.已知a=log6,b=√/1og5,c=ln√5，则 A.ab.ac B.a>b;a<c C.a<b,a>c D.a<b,a<c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=c0s(x十号)(w>0),则下列命题正确的是 A.若f(x)的最小正周期为2，则w=π B.当ω=2时，将函数f()的图象向右平移个单位长度得函数y=cos2x的图象 C当0<u<号时，f(x)在区间(0，)上单调递减 D.若fx)在区间(（0，上恰有-个零点，则。的取值范围是（合，] 10.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点A在C上，以F为圆心，|FA|为半径的圆记为 W.过点A作L的垂线，垂足为B,且点B在圆W上，则 A.准线1的方程是x=一2 B.△ABF为等边三角形 C.设线段BF与y轴的交点为D,则AD⊥BF D.直线4x一3y十16=0与圆W相交 11.已知曲线C:sin(x+2y)=2x一y,则 A.曲线C关于坐标原点对称 B.曲线C与直线y=2x一1相切 C.曲线C与直线y=2x+1相交 D.曲线C与直线y=x十1恰有3个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线y=2x十m与曲线y=2e2相切，则m= -2l0g2x,0<x< 13.已知函数f(x)= ,若f(x)在(0，十∞)上存在最小值，则a的取值范围是 4x,x≥a 14.抛掷一个质地不均匀的骰子，得到点数为1,2,3,4,5,6的概率依次成等差数列.若将该骰子抛 掷一次，则所得点数为1或6的概率为 ;若将该骰子独立抛掷两次，记所得的点数分 别为a,b,已知事件“a十b=7”发生的概率为二，则事件“a=b”发生的概率为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 记数列{an}的前n项和为Sn,已知Sw+1=Sn十an十3(n∈N*),且S5=40. (1)求数列{an}的通项公式； (2设么=(-1a,十a求数列6，}的前2项和T 16.(本小题满分15分) 某工厂生产各种规格的某种零件，从中随机抽取6个不同规格的零件，其检测数据如下表： 零件尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88 零件质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸之比兰 0.442 0.392 0.357 0.325 0.308 0.290 (1)测评标准指出，当零件的质量y(g)与其尺寸x(mm)之比在区间(0.302,0.388)内时为优等 品.现从上述6个零件中任选2个，求这2个零件中优等品个数X的均值和方差； (2)据散点图分析，上述6个零件的质量y(g)与尺寸x(mm)之间存在非线性相关关系，其经验 回归方程可设为y=cx.当零件的尺寸为81mm时，估计零件的质量约为多少？（精确到 0.1g) 参考数据：21nx=24.6,含1ny=18.3,含(nx)2=101.4,2(n·1ny)=75.3, e≈2.718. 附：对于样本数据(u,u)(i=1,2,…,n),其一元线性回归模型中斜率参数b和截距参数a 2(4-m0(u-D 4，u:-nu 的最小二乘估计分别为：名= 1 ,a=v-bu. 数学试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD,AB⊥BC,AB∥DC,AB=BC=1,CD=2, PC=√2，点M在侧棱PB上的运动. (1)证明：平面PAC⊥平面PAD; (2)当直线AM与直线PD所成的角最小时，求三棱锥P-CDM的体积. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆E:普+带=1a>6>0)的离心率为得，长轴长与短轴长的差为2，点AB,C都在E 上，0为坐标原点，且0心-号0i+O成 (1)求E的方程； (2)求直线OA与OB的斜率之积； (3)设直线OA与E的另一个交点为D,点P在线段AD上运动，过点P作斜率为2的直线L 与E相交于M,N两点.若直线AD的斜率为3，求|PM十2|PN|的最大值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=sin工，x∈(0，十oo). (I)求f(x)在区间(m,nr+)(n∈N)内的极值点个数； (2)记x,为f(x)在区间(m,nm+受)(n∈N)内的-个极值点，证明： （i)fx)=（-1)” √1+x品 （1)0<x+1-xm-r<n(n十1)元 数学试题第4页（共4页）