1.3正弦型函数 课件-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

1.3　正弦型函数 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 D B A B A 序号 学习目标 1 了解正弦型函数的概念． 2 会画正弦型函数的图象． 3 掌握正弦型函数的性质. 知识点1　正弦型函数的概念 形如____________________________的函数叫做正弦型函数． 知识点2　正弦型函数的图象与正弦函数的 图象的转换 由y＝sin x eq \o(―――――――→,\s\up17(横坐标变原来的　　),\s\do15(纵坐标不变)) y＝sin ωxeq \o(――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\do15(纵坐标变为原来的　　倍))＝Asin ωx eq \o(―――――――――――→,\s\up17(沿x轴向左右平移　　个单位)) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 知识点3　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的性质 (1)定义域：________； (2)值域：____________； (3)周期：____________. 题型1　五点法作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象 [例题1]　作函数 y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))在长度为一个周期的闭区间上的简图． 分析：先根据五点作图法，2x＋eq \f(π,6)分别等于0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π 求得x， y的值，作一个周期的图象，再向两边延伸． 解：列表 2x＋eq \f(π,6) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(π,12) eq \f(π,6) eq \f(5π,12) eq \f(2π,3) eq \f(11π,12) y 0 3 0 －3 0 描点作图 ♨强化练习 1．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－ \f(π,6)))，用“五点法”作出f(x)在一个周期上的简图． 解：列表： 2x－eq \f(π,6) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) eq \f(13π,12) 2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) 0 2 0 －2 0 在直角坐标系中描点、连线成图． ☞名师点拨 作正弦型函数的图象的一般步骤，列表，描点，连线；注意自变量x的取值要根据ωx＋φ取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π时相应取得． 题型2　正弦型函数的性质 [例题2]　已知函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的最值及取得最值时x的取值集合． 分析：把2x＋eq \f(π,3)看作一个整体，根据正弦型函数的性质求解． 解：(1)∵ω＝2， ∴函数的最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π. (2)∵函数y＝sin x的单调递增区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)， ∴由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z， 解得－eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z， ∴函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))(k∈Z)． ∵函数y＝sin x的单调递减区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)， ∴由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z， 解得eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(7π,12)＋kπ，k∈Z， ∴函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))(k∈Z)． (3)函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最大值为ymax＝3， 此时2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z， ∴函数取得最大值时x的取值集合为. 函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小值为ymin＝－3， 此时2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z， 解得x＝eq \f(7π,12)＋kπ，k∈Z， ∴函数取得最小值时x的取值集合为. ♨强化练习 2．已知函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))). (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的最值及取得最值时x的取值集合． 解：(1)∵函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，ω＝2，∴函数的最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝π. (2)∵函数y＝sin x的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，∴－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，∴函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))(k∈Z)，∵函数y＝sin x的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)．∴eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(5π,6)＋kπ，k∈Z， ∴函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))(k∈Z)． (3)函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最大值是4，此时sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝1，则2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，∴函数取得最大值时x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z))))).函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最小值是－4，此时sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝－1，则2x－eq \f(π,6)＝eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(5π,6)＋kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(5π,6)＋kπ，k∈Z))))). ☞名师点拨 可利用T＝eq \f(2π,ω)来求周期，根据正弦型函数的图像和性质规律，由解析式直接得出答案． 题型3　正弦型函数的平移变换 [例题3]　(2018年山东职教高考)若由函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))图象变换得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3)))图象，可以通过以下两个步骤完成；第一步，把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(π,2)))图象上所有点横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变；第二步，可以把所得的图象沿x轴(　　) A．向右平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(5π,12)个单位 C．向左平移eq \f(π,3)个单位 D．向左平移eq \f(5π,12)个单位 解析：把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))图象上所有点横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,2)))，假设平移m 个单位，变为y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋m＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(m,2)＋\f(π,2)))∴eq \f(m,2)＋eq \f(π,2)＝eq \f(π,3)∴m＝－eq \f(π,3)，故向右平移eq \f(π,3)个单位．答案A. ♨强化练习 3．要得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－ \f(π,4)))的图象，可将y＝3sin 2x的图象(　　) A．向右平移 eq \f(π,4)个单位 B．向左平移 eq \f(π,4)个单位 C．向右平移 eq \f(π,8)个单位 D．向左平移 eq \f(π,8)个单位 C　y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))，所以y＝3sin 2x向右平移eq \f(π,8)个单位长度． ☞名师点拨 三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意：两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和eq \f(|φ|,ω)，但平移方向是一致的． 题型4　已知图像求正弦型函数的解析式 [例题4]　(2019年山东职教高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0，|φ|<eq \f(π,2)，此函数的部分图象如图所示，求：(1)函数f(x)的解析式；(2)当f(x)≥1时，求实数x的取值范围． 解：(1)由图象可知，函数f(x)的最大值是2，最小值是－2，A>0，所以A＝2 因为eq \f(5π,12)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,4)，eq \f(π,4)是最小正周期的eq \f(1,4)，所以函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,4)×4＝π ， 故eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2 可得函数f(x)＝2sin(2x＋φ)又因为函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))， 所以2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝0 ，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝0 因此eq \f(π,3)＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ－eq \f(π,3)，k∈Z， 又因为|φ|<eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,3)所以函数的解析式f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) . (2)因为f(x)≥1所以2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) ≥1.即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≥eq \f(1,2) 所以eq \f(π,6)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，即eq \f(π,4)＋kπ≤x≤eq \f(7π,12)＋kπ，k∈Z 故当f(x)≥1，时，实数x的取值范围是 . ♨强化练习 4．已知函数y＝2sin(2x＋φ)，x∈R,0<φ<eq \f(π,2).函数的部分图象如图所示． 求：(1)函数的最小正周期T及φ的值； (2)函数的单调递增区间． 解：(1)函数的最小正周期T ＝π；因为图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1即sin φ＝eq \f(1,2)，又因为0<φ<eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,6). (2)由(1)知函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))， ∵－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z， ∴－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z， ∴函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)． ☞名师点拨 由图象确立三角函数的解析式时，在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ. (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为T＝eq \f(2π,ω)，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T. (3)φ：代入图像上的点求解． 一、选择题 1．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位 C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向右平移eq \f(π,6)个单位 2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的最小正周期和最大值是(　　) A．π ,1 B．2π ,1 C．eq \f(π,2)，2 D．eq \f(π,2)，－1 3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A．2，－eq \f(π,3) B．2，－eq \f(π,6) C．4，－eq \f(π,6) D．4，eq \f(π,3) 4．若函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期为π ，则ω 的值为 (　　) A．1 B．2 C．eq \f(1,2) D．4 5．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) 在一个周期内的图象可能是(　　) 6．函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．该函数为偶函数 B．该函数的最大值为1 C．该函数的最小正周期为4π D．φ的值为－eq \f(π,3) C　观察图象可知，图象不关于y轴对称，A不正确，最小值为－2，排除选项B，因为eq \f(1,4)T＝eq \f(π,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＝π，所以周期T＝4π，故选C. 7．把函数y＝sin x的图象上所有点纵坐标缩短为原来的eq \f(1,3)，再向右平移eq \f(π,6)个单位，所得函数图象的解析式为(　　) A．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) B．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) C．y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) D．y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) D　因为把函数y＝sin x的图象上所有点纵坐标伸长为原来的eq \f(1,3)，所以可得函数y＝eq \f(1,3)sin x的图象，因为把y＝3sin x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位，所以可得函数的图象y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，故选D. 8．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋2kπ，\f(5π,12)＋2kπ))，(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))，(k∈Z) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋2kπ，\f(11π,12)＋2kπ))，(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋kπ，\f(11π,12)＋kπ))，(k∈Z) B　因为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).当2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，(k∈Z)时函数为增函数，即－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))，(k∈Z)．故选B. 二、解答题 9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2))).在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x eq \f(π,3) eq \f(5π,6) Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式． 解：eq \f(π,12)，eq \f(7π,12)，eq \f(13π,12)，0根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq \f(π,6)所以函数解析式为f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))). 10．已知函数y＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin 2x－\f(π,6))). (1)求该函数的最小正周期； (2)用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． 解：(1)因为ω＝2，函数的最小正周期是π；(2)略 $$