5.1 5.1.2 事件的运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第5章　概率 5.1　随机事件与样本空间 5.1.2　事件的运算 (教师独具内容) 课程标准：1．了解随机事件的交、并、差、互斥与对立的含义．2．能结合实例进行随机事件的交、并、差运算． 教学重点：随机事件的交、并、差、互斥与对立的含义． 教学难点：随机事件的关系与集合关系的解释． 核心素养：1．通过事件间的关系的判断发展数学抽象素养．2．通过事件间的运算发展逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　事件的关系 1．如果事件A发生必然导致事件B发生，即事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A，记作_______． 显然，对任何事件A，都有∅____A____Ω． 2．对于事件A，B，如果A____B，且B____A，则称A与B等价，或称A与B相等，记作A＝B． A⊆B ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ 核心概念掌握 5 知识点二　事件的运算 1．如果某事件发生当且仅当事件A与事件B_______发生， 则称该事件为事件A与B的交(或积)，记作__________．事件A∩B 由属于事件A且属于事件B的所有样本点组成．显然有Ω∩A＝A． 事件A∩B如图中阴影部分所示． 同时 A∩B(或AB) 核心概念掌握 6 2．如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称该事件为事件A与B的并(或和)，记作_____________．事件A∪B由至少属于事件 A或B之一的样本点组成．容易得∅∪A＝A． 事件A∪B如图中阴影部分所示． 3．如果事件A∩B为____________，即A∩B＝_____，则称 事件A，B互斥(或互不相容)． 一般地，如果事件A1，A2，…，An中_________两个都互斥，则称它们两两互斥． A∪B(或A＋B) 不可能事件 任意 ∅ 核心概念掌握 7 4．如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生， 则称该事件为______________，记作_____．显然，A\B由属于 事件A但不属于事件B的样本点组成． 事件A\B如图中阴影部分所示． 事件A与B的差 A\B 核心概念掌握 8 对立事件 核心概念掌握 9 核心概念掌握 10 事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，对立事件是指在一次试验中，两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生，因此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝∅，若A，B对立，则A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B．互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B． 核心概念掌握 11 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A＝B，则A，B同时发生或A，B同时不发生．(　　) (2)两个事件的和指两个事件至少一个发生．(　　) (3)互斥事件一定是对立事件．(　　) √ × √ 核心概念掌握 12 2．做一做 (1)掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　) A．A⊆B B．A∩B＝{出现的点数为2} C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 核心概念掌握 13 (2)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 并给出以下结论： ①A∪B＝C；　②D∪B是必然事件；　③A∩B＝C；　④A∩D＝C． 其中正确结论的序号是(　　) A．①② 　　　　　　 B．③④　　　　　C．①③ 　　　　D．②③ 核心概念掌握 14 (3)下列各对事件： ①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”； ②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”； ③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”； ④甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”． 其中是互斥事件的有________，是包含关系的有________． ①③ ④ 核心概念掌握 15 核心素养形成 题型一　事件的关系和运算 例1　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题． (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用并事件的定义，判断上述哪些事件是并事件． 核心素养形成 17 解　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3． 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5． 且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1． (2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)． 同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5，E＝F∪G，E＝D2∪D3． 核心素养形成 18 　 事件间运算的方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下试验的所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用韦恩图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下试验的所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 核心素养形成 19 [跟踪训练1]　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}，事件E＝{3个球都是红球}．则： (1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与事件A的交事件是什么事件？ (3)事件C与事件E的差是什么事件？ 核心素养形成 20 解　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B． (2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球；2个红球，1个白球或3个红球，故C∩A＝A． (3)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球；2个红球，1个白球或3个红球，故C\E＝D． 核心素养形成 21 例2　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． 题型二　互斥事件与对立事件的判断 核心素养形成 22 解　(1)是互斥事件，不是对立事件． 理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是因为还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． 核心素养形成 23 (3)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，也不是对立事件． 核心素养形成 24 互斥事件与对立事件间的关系 互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的．一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥． 核心素养形成 25 [跟踪训练2]　已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生，从中任选2名去参加医德培训．判断下列各对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由． (1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”； (2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”； (3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”； (4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”． 核心素养形成 26 解　(1)是互斥事件，但不是对立事件． 理由：所选的2名医生中，“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”，它与“恰有2名男医生”不可能同时发生，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能“恰有2名女医生”，因此二者不对立． (2)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”，它们共同含有“1名男医生和1名女医生”，能够同时发生，因此不互斥也不对立． 核心素养形成 27 (3)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，这与“全是男医生”能够同时发生，因此不互斥也不对立． (4)是互斥事件，也是对立事件． 理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，它与“全是女医生”不可能同时发生，但其中必有一个发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件． 核心素养形成 28 随堂水平达标 1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是(　　) A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥 解析　由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 3．(多选)从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是(　　) A．两球都不是白球 B．两球恰有一个白球 C．两球至少有一个白球 D．两球至多有一个白球 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 解析　对于A，根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但这两个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件；对于B，事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件；对于C，事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于D，事件“两球都为白球”和事件“两球至多有一个白球”是互斥事件，也是对立事件．故选AB． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 4．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是_____________． 解析　事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”． 2次都中靶 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 5．一个射击手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？ 事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6，7，8，9或10环． 解　A∩B＝{10环}≠∅，故A与B不是互斥事件； 显然A∩C＝∅，“大于7环”与“小于6环”是不可能同时发生的，故A与C是互斥事件．又A∪C≠Ω，即A与C不是必有一个发生，还可能有6环或7环，因此A与C不是对立事件； 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 A∩D＝{8环，9环，10环}≠∅，故A与D不是互斥事件； 显然B∩C＝∅，所以B与C是互斥事件． 又因为B∪C≠Ω，因此B与C不是对立事件； B∩D＝{10环}≠∅，因此B与D不是互斥事件； 显然C∩D＝∅，因此C与D是互斥事件，又C∪D＝Ω，即C，D必有一个发生，因此C与D还是对立事件． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 课后课时精练 一、选择题 1．一人连续掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是(　　) A．至多有一次为正面 B．两次均为正面 C．只有一次为正面 D．两次均为反面 解析　对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件．故选D． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 38 2．掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．A∩B表示向上的点数是1或2或3 解析　设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∩B表示向上的点数为2，A∪B表示向上的点数为1或2或3．故选C． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 39 3．在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A∪B∪C∪D是必然事件，则下列说法正确的是(　　) A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 40 解析　由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是必然事件，故其事件的关系如图所示，由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立事件，故只有D中的说法正确． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 41 4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是(　　) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D 解析　由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A⊆D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确．由A∪C＝D成立可得C正确．A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 42 5．(多选)若从1，2，3，…，9中任取两个数，则下列四个选项中是对立事件的是(　　) A．恰有一个偶数和恰有一个奇数 B．至多有一个奇数和两个都是奇数 C．至少有一个奇数和两个都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 解析　从1～9中任取两数，有以下三种情况：①两个均为奇数；②两个均为偶数；③一个奇数和一个偶数．故选BC． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 43 二、填空题 6．打靶3次，事件Ai表示“击中i次”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1∪A2∪A3表示_________________． 解析　A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1次、2次或3次． 至少有一次击中 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 44 7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个．记事件A为“点数之和是2，4，7，12”，事件B为“点数之和是2，4，6，8，10，12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为_________，事件C\B表示________________． 点数之和是9，11 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 45 8．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件： ①“这张牌是红桃”与“这张牌是方块”； ②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”； ③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”； ④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”， 其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)． ②④ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 46 解析　从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，①“这张牌是红桃”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件．故答案为②④． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 47 三、解答题 9．甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示： (1)密码被破译；(2)至少有一人破译； (3)至多有一人破译；(4)恰有一人破译； (5)只有甲破译；(6)密码未被破译． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 48 10．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E． 解　(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． (2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 49 (3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件． (4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (5)由(4)的分析知，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 50 1．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； (2)“至少有1件次品”和“全是次品”； (3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 51 解　依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知： (1)中“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件． (2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件． (3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 52 2．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”． (1)写出试验的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A，B，C，D； (3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？并说明理由． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 53 解　(1)用数组(a，b，c)表示可能的结果，a，b，c分别表示三个圆所涂的颜色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}． (2)A＝{(红，黄，蓝)}． B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 54 C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}． D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}． (3)由(2)可知C⊆B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥但不对立． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 55 　　　　　　　　　　　　　 R 5．如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的___________，记作___________，且Ω＝__________． 事件eq \o(A,\s\up12(－))如图中阴影部分所示． Ω\A或eq \o(A,\s\up12(－)) A∪eq \o(A,\s\up12(－)) 6．概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的，主要包括： (1)A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A； (2)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)； (3)(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)，C∩(A∪B)＝(C∩A)∪(C∩B)； (4)A∪B＝eq \o(A,\s\up12(－))∩eq \o(B,\s\up12(－))，A∩B＝eq \o(A,\s\up12(－))∪eq \o(B,\s\up12(－))． 2．一人在练习射击时连续射击三次，设A＝{至多有一次中靶}，则eq \o(A,\s\up12(－))＝(　　) A．{至少有一次中靶} B．{三次均中靶} C．{只有两次中靶} D．{至少有两次中靶} 解析　“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“三次均不中靶”，所以eq \o(A,\s\up12(－))＝{至少有两次中靶}．故选D． A∩B∩eq \o(C,\s\up12(－)) 解析　∵事件A＝{2，4，7，12}，事件B＝{2，4，6，8，10，12}，∴A∩B＝{2，4，12}．又C＝{9，10，11，12}，∴A∩B∩eq \o(C,\s\up12(－))＝{2，4}，C\B＝{9，11}． 解　用A，B，C分别表示甲、乙、丙破译密码，则 (1)A∪B∪C；(2)A∪B∪C；(3)A∩eq \o(B,\s\up12(－))∩eq \o(C,\s\up12(－))＋eq \o(A,\s\up12(－))∩B∩eq \o(C,\s\up12(－))＋eq \o(A,\s\up12(－))∩eq \o(B,\s\up12(－))∩C＋eq \o(A,\s\up12(－))∩eq \o(B,\s\up12(－))∩eq \o(C,\s\up12(－))；(4)A∩eq \o(B,\s\up12(－))∩eq \o(C,\s\up12(－))＋eq \o(A,\s\up12(－))∩B∩eq \o(C,\s\up12(－))＋eq \o(A,\s\up12(－))∩eq \o(B,\s\up12(－))∩C；(5)A∩eq \o(B,\s\up12(－))∩eq \o(C,\s\up12(－))；(6)eq \o(A,\s\up12(－))∩eq \o(B,\s\up12(－))∩eq \o(C,\s\up12(－))． $$