课时作业12 等差数列的前n项和&课时作业13 等比数列的概念-2024-2025学年中职高二数学同步（人教版2021·拓展模块一）

　　课时作业１２　等差数列的前n项和 [基础过关] １．若数列{an}的前n项和为Sn＝３＋２n, 则a６＝ (　　) A．８ B．１６ C．３２ D．６４ ２．设Sn 是等差数列{an}的前n项和．若 a１＋a３＋a５＝３,则S５＝ (　　) A．５ B．７ C．９ D．１１ ３．在等差数列{an}中,S７＝７０,则a４＝ (　　) A．８ B．９ C．１０ D．２０ ４．在等差数列{an}中,a２＋a４＝３６,则数列 的前５项和为 (　　) A．１０８ B．９０ C．７２ D．２４ ５．设Sn 是等差数列{an}的前n项和．若 a１＝－２０２１,S６－２S３＝１８,则S２０２３＝ (　　) A．－２０２１ B．２０２１ C．２０２２ D．２０２３ ６．在等差数列{an}中,a１＝－３,d＝２,则 S１０＝　　　　． ７．等差数列{an}中,S１０＝１２０,那么a１＋ a１０的值等于 (　　) A．１２ B．２４ C．１６ D．４８ ８．在等差数列{an}中,a３＝２,a５＝８,则S７ ＝　　　　． ９．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S７＝４９,S１５＝２２５,求S２０． [能力提升] １０．已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知S４＝０,a５＝５,则 (　　) A．an＝２n＋５(n∈N＋) B．an＝３n－１０(n∈N＋) C．Sn＝n２－４n(n∈N＋) D．Sn＝ １ ２n ２－２n(n∈N＋) １１．设Sn 是等差数列{an}的前n项和,已 知a２＝３,a６＝１１,则S７ 等于 (　　) A．１３ B．３５ C．４９ D．６３ １２．已知数列{an}的前n项和Sn＝n２＋n, n∈N＋,则an 等于 (　　) A．４n－２(n∈N＋) B．n２(n∈N＋) C．２n＋１(n∈N＋) D．２n(n∈N＋) １３．等差数列{an}中a１＝２,a２＝３,则其前 １０项的和S１０＝　　　　． １４．已知数列{an}中,a１＝３且an＋１＝an＋ ２,则S８＝　　　　． １５．(１)设{an}是等差数列,前n项和记为 Sn,已知a１０＝３０,a２０＝５０． (１)求通项an; (２)若Sn＝２４２,求n的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１２􀅰 第二章　数列 　　课时作业１３　等比数列的概念 [基础过关] １．在等比数列{an}中,a２＝４,a５＝９,则它 的第８项是 (　　) A．３６ B．６ C．８１４ D． ４ ８１ ２．等比数列x,３x＋３,６x＋６,􀆺的第４项 等于 (　　) A．－２４ B．０ C．１２ D．２４ ３．在等比数列{an}中,a４＝４,则a２􀅰a６ 等于 (　　) A．４ B．８ C．１６ D．３２ ４．若等比数列的首项为４,末项为１２８,公 比为２,则这个数列的项数为 (　　) A．４ B．８ C．６ D．３２ ５．“b２＝ac”是“a,b,c成等比数列”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ６．在等比数列{an}中,a１＝－１,a４＝－２７, 则q＝　　　　． ７．在等比数列{an}中,a４＝－３,q＝－１,则 a１０＝　　　　． ８．若１,x＋１,９成等比数列,则x＝　　　　． ９．已知数列{an}为等比数列,其中a３＝２, a２＋a４＝ ２０ ３ ,求{an}的通项公式． [能力提升] １０．在等比数列{an}中,若a１＝１,a３＝ １ ９ , 则a２＝ (　　) A．３或－３ B．１３ C．－１３ D． １ ３ 或－１３ １１．设a１＝２,数列{１＋２an}是公比为３的 等比数列,则a６ 等于 (　　) A．６０７．５ B．６０８ C．６０７ D．１５９ １２．等差数列{an}的首项为１,公差不为０． 若a２,a３,a６ 成等比数列,则{an}前６ 项的和为 (　　) A．－２４B．－３ C．３ D．８ １３．在等比数列{an}中,若a３＝３,a１０＝ ３８４,则公比q＝　　　　． １４．在１６０与５之间插入４个数,使它们同 这两个数成等比数列,则这４个数依 次为　　　　． １５．有四个数,其中前三个数成等比数列, 其积为２１６,后三个数成等差数列,其 和为３６,求这四个数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１２􀅰 ７．解析:由an＝２n＋３,得an＋１＝２(n＋１)＋３＝２n＋５． 答案:２n＋５ ８．解 析:[由 题 意 可 知,偶 数 项 为 负,各 项 为１－１１＋１ , －２－１２＋１ ,３－１ ３＋１ 􀆺,故an＝(－１)n－１􀅰 n－１ n＋１． ] 答案:an＝(－１)n－１􀅰 n－１ n＋１ ９．解析:(１)∵an＝３n２－２８n,∴a４＝３×４２－２８×４＝ －６４,a６＝３×６２－２８×６＝－６０． (２)令３n２－２８n＝－４９,即３n２－２８n＋４９＝０,∴n＝７ 或n＝７３ (舍)．∴－４９是该数列的第７项,即a７＝ －４９．令３n２－２８n＝６８,即３n２－２８n－６８＝０,∴n＝ －２或n＝３４３．∵－２∉N＋ ,３４ ３∉N＋ ,∴６８不是该数列 的项． 答案:(１)－６４　－６０　(２)见解析 １０．C　[因为每一项的绝对值是该项序号的平方,奇数 项符号为正,偶数项符号为负,所以an＝(－１)n＋１ 􀅰n２．] １１．C　[易知数列的通项公式为an＝ ３(２n－１)(n∈ N＋),令 ３(２n－１)＝９,解得n＝１４．] １２．A　[由an＋１＝an＋２＋an,得a３＝３,a４＝－２,a５＝ －５,a６＝－３．] １３．解析:由于数列的前几项中根号下的数都是由小到 大的奇数,所以需要填空的数为 ９＝３． 答案:３ １４．解析:这个数列的前４项的绝对值都等于序号与序 号加１的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正, 故它的一个通项公式an＝(－１)n􀅰 １ n(n＋１)． 答案:an＝(－１)n􀅰 １ n(n＋１) １５．解:根据题意,a１＝２,a２＝２a１＝２×２＝４,a３＝２a２＝２ ×４＝８,a４＝２a３＝２×８＝１６,所以an＝２n． 答案:２　４　８　１６　２n 课时作业１１　等差数列的概念 １．B　[由an＝４n－１,得a１＝４×１－１＝３,d＝an＋１－an ＝[４(n＋１)－１]－(４n－１)＝４,所以数列{an}是首项 为３、公差为４的等差数列．] ２．D　[由a２＝a１＋d＝４,a４＝a１＋３d＝６,解得d＝１．] ３．A　[由题知a,b的等差中项为 １ ２ １ ３＋ ２ ＋ １ ３－ ２ æ è ç ö ø ÷＝１２ ３－ ２＋ ３＋ ２( )＝３． ] ４．B　[由条件得 a１＋６d－２(a１＋３d)＝－１, a１＋２d＝０,{ 解得 a１＝１, d＝－１２．{ ] ５．C　[由条件知,２(x＋１)＝(x－１)＋(２x＋３),∴x＝ ０,∴此等差数列的首项a１＝－１,公差d＝２,∴an＝２n －３．] ６．解析:[因为{an}是等差数列,所以a２＋a５＝a１＋d＋ a１＋４d＝１０,解得d＝ ４ ５ ,所以a６＝a１＋５d＝３＋５× ４ ５＝７． ] 答案:７ ７．解析:依题意得,该数列的首项为－８,公差为５,设该 等差数列为{an},则a１００＝－８＋９９×５＝４８７． 答案:４８７ ８．解析:设此等差数列为{an},公差为d,最上一节为a１, 则 a１＋a２＋a３＋a４＝３, a７＋a８＋a９＝４,{ ∴ ４a１＋６d＝３, ３a１＋２１d＝４,{ 解得 a１＝ １３ ２２ , d＝７６６ , ì î í ïï ï ∴a５＝a１＋４d＝ １３ ２２ ＋４×７６６＝ ６７ ６６． 答案:６７ ６６ ９．解析:数列－１,３,７,１１,􀆺是首项为－１、公差为４的 等差数列,其通项公式为an＝４(n－１)－１＝４n－５．令 ４n－５＝８３,解得n＝２２∈N＋,所以 ８３是数列的第 ２２项． 答案:８３是数列的第２２项 １０．C　[a１＝１,d＝－１－１＝－２,∴an＝１＋(n－１)(－２)＝ －２n＋３,由－８９＝－２n＋３,得n＝４６．] １１．B　[∵a１＝２０,d＝－３,∴an＝２０＋(n－１)×(－３) ＝２３－３n,∴a７＝２＞０,a８＝－１＜０．故数列中第一个 负数项是第８项．] １２．B　[设公差为d,由题意,得 a１＋４d＝３３ a１＋４４d＝１５３{ ,解 得 a１＝２１ d＝３{ ．∴an＝a１＋(n－１)d＝２１＋３(n－１)＝３n＋ １８．令２０１＝３n＋１８,∴n＝６１．] １３．解析:设n年后该市新建住房的面积为an 万平方米． 由题意,得{an}是等差数列,首项a１＝４５０,公差d＝ ５０,所以an＝a１＋(n－１)d＝４００＋５０n．令４００＋５０n ＞８２０,解得n＞４２５． 由于n∈N＋,则n≥９．所以该市 在２０２９年新建住房的面积开始大于８２０万平方米． 答案:２０２９ １４．解析:设这两个等差数列公差分别是d１,d２,则a２－ a１＝d１,b２－b１＝d２．第一个数列共(m＋２)项,∴d１ ＝y－xm＋１ ;第二个数列共(n＋２)项,∴d２＝y －x n＋１ ,∴ a２－a１ b２－b１ ＝ d１ d２ ＝n＋１m＋１． 答案:n＋１ m＋１ １５．解:(１)因为 a１＋４d＝１５, a１＋１６d＝３９,{ 解得 a１＝７, d＝２,{ 所以an＝７ ＋２(n－１)＝２n＋５(n∈N＋ )．令２n＋５＝９１,得n＝ ４３．因为４３为正整数,所以９１是此数列中的项． (２)由a２＝１１,a８＝５, 得 a１＋d＝１１, a１＋７d＝５,{ 解得 a１＝１２, d＝－１．{ ∴an＝１２＋(n－１)× (－１)＝１３－n(n∈N＋),所以a１０＝１３－１０＝３． 答案:(１)９１是此数列的项　(２)３ 课时作业１２　等差数列的前n项和 １．C　[a６＝S６－S５＝(３＋２６)－(３＋２５)＝３２．] ２．A　[由a１＋a３＋a５＝３a３＝３,得a３＝１,又 S５＝ ５(a１＋a５) ２ ＝５a３＝５． ] ３．C　[因为S７＝ ７(a１＋a７) ２ ＝７a４ ,所以a４＝ S７ ７＝１０． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８２􀅰 ４．B　[S５＝ ５(a１＋a５) ２ ＝ ５(a２＋a４) ２ ＝９０． ] ５．D 　 [设 等 差 数 列 {an}的 公 差 为 d．∵a１ ＝ －２０２１,S６－２S３ ＝１８,∴６a１ ＋ ６×５ ２ 􀅰d －６a１ －２×３×２２ 􀅰d＝１８,整理可得９d＝１８,解得d＝２,则 S２０２３＝２０２３× (－２０２１)＋ ２０２３×２０２２ ２ ×２＝ ２０２３．] ６．解析:S１０＝１０a１＋ １０×９ ２ d＝６０． 答案:６０ ７．B　[S１０＝１２０＝ １０(a１＋a１０) ２ ＝５ (a１＋a１０),所以a１＋ a１０＝２４．] ８．解析:S７＝ ７(a１＋a７) ２ ＝ ７(a３＋a５) ２ ＝３５． 答案:３５ ９．解析:根据题意可得 S７＝７a１＋ ７×６ ２ d , S１５＝１５a１＋ １５×１４ ２ d , ì î í ïï ï 代入解得 a１＝１, d＝２．{ 所以S２０＝２０×１＋ ２０×１９ ２ ×２＝４００． 答案:４００ １０．C　[首项为a１,公差为d,则 a１＋４d＝５, ４a１＋６d＝０,{ ∴a１＝ －３,d＝２．∴an＝－３＋２(n－１)＝２n－５(n∈N＋), Sn＝(－３)n＋ n(n－１) ２ ×２＝n ２－４n(n∈N＋)．] １１．C　[a１＋a７＝a１＋a１＋６d ＝a１＋d＋a１＋５d＝a２＋a６＝３＋１１＝１４,则S７＝ ７(a１＋a７) ２ ＝ ７(a２＋a６) ２ ＝ (３＋１１)×７ ２ ＝４９． ] １２．D　[当n＝１时,a１＝S１＝２,当n≥２时,an＝Sn－ Sn－１＝２n,又因为a１＝２符合an＝２n,所以an＝２n(n ∈N＋)．] １３．解析:由a１＝２,a２＝３得d＝１,故S１０＝１０a１＋ １ ２× １０×９d＝１０×２＋４５＝６５． 答案:６５ １４．解析:由an＋１＝an＋２可知,{an}是公差为２的等差 数列,于是S８＝８a１＋ ８×７ ２ d＝８０． 答案:８０ １５．解析:(１)设公差为d,则a２０－a１０＝１０d＝２０,∴d＝ ２．∴a１０＝a１＋９d＝a１＋１８＝３０,∴a１＝１２．∴an＝a１ ＋(n－１)d＝１２＋２(n－１)＝２n＋１０． (２)Sn＝ n(a１＋an) ２ ＝ n(２n＋２２) ２ ＝n ２＋１１n＝２４２,∴ n２＋１１n－２４２＝０,解得n＝１１． 答案:(１)an＝２n＋１０　(２)n＝１１ 课时作业１３　等比数列的概念 １．C　[因 为q３＝a ５ a２ ＝ ９４ ,所 以a８＝a５􀅰q３＝９× ９ ４ ＝８１４． ] ２．A　[由x,３x＋３,６x＋６ 成 等 比 数 列 得,３x＋３x ＝ ６x＋６ ３x＋３ ,解得x＝－３,第２项为－６．第３项为－１２,公 比为－１２ －６＝２ ,故数列的第４项为－２４．] ３．C　[∵a４＝a１q３＝４,∴a２􀅰a６＝a１q􀅰a１q５＝a２１q６＝ (a１q３)２＝４２＝１６．] ４．C　[由等比数列的通项公式,得１２８＝４×２n－１,２n－１ ＝３２,所以n＝６．] ５．B　[若a＝b＝c＝０,则b２＝ac,但a,b,c不成等比数 列;若a,b,c成等比数列,则b２＝ac．因此,“b２＝ac”是 “a,b,c成等比数列”的必要不充分条件．] ６．解析:因为a４＝a１􀅰q３,所以q＝ ３ ２７＝３． 答案:３ ７．解析:a１０＝a４􀅰q６＝－３×(－１)６＝－３． 答案:－３ ８．解析:因为１,x＋１,９成等比数列,所以(x＋１)２＝９, 解得x＝２或x＝－４． 答案:２或－４ ９．解析:设等比数列的公比为q,则q≠０,a２＝ a３ q ＝ ２ q , a４＝a３q＝２q,代入a２＋a４＝ ２０ ３ 中,解得q＝１３ 或q＝ ３．当q＝１３ 时,a１＝１８,an＝a１qn－１＝１８× １ ３( ) n－１ ＝ ２×３３－n．当q＝３时,a１＝ ２ ９ ,an＝a１qn－１＝ ２ ９×３ n－１ ＝２×３n－３．综上,{an}的通项公式为an＝２×３３－n或 an＝２×３n－３． 答案:２×３n－３ １０．D　[因为{an}是等比数列,所以a１􀅰a３＝a２２,解得a２ ＝±１３． ] １１．C　[∵１＋２an＝(１＋２a１)×３n－１,∴１＋２a６＝５×３５, ∴a６＝ ５×２４３－１ ２ ＝６０７． ] １２．解析:A　[根据题意得a２３＝a２􀅰a６,即(a１＋２d)２＝ (a１＋d)(a１＋５d),解得d＝０(舍去),d＝－２,所以 数列{an}的前６项和为S６＝６a１＋ ６×５ ２ d＝１×６＋ ６×５ ２ × (－２)＝－２４．] １３．解析:a３＝a１q２＝３,a１０＝a１q９＝３８４,两式相除得,q７ ＝１２８,所以q＝２． 答案:２ １４．解析:设 这 ６ 个 数 所 成 等 比 数 列 的 公 比 为q,则 ５＝１６０q５,∴q５＝ １３２ ,∴q＝ １２．∴ 这 ４个数依次为 ８０,４０,２０,１０． 答案:８０,４０,２０,１０ １５．解析:设这四个数分别为aq ,a,aq,２aq－a, 则 a q 􀅰a􀅰aq＝２１６, a＋aq＋(２aq－a)＝３６, { 解得 a＝６ , q＝２．{ 因此这四个 数为３,６,１２,１８． 答案:３,６,１２,１８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８２􀅰 参考答案