第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课程标准 学习目标 ①了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 1.本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，得出它们的表面积公式，然后根据以前学习过的圆柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式，再结合棱柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式最后给出了球的表面积公式，并由球的表面积公式推导出了球的体积公式 2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用，难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算； 3.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等； 知识点01：圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为. ②圆柱的表面积： . 【即学即练1】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）若圆柱底面半径为2，高为3，则其侧面积为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱侧面积公式直接计算即可． 【详解】由圆柱侧面积公式得，侧面积为， 故答案为：． （2）圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 ②圆锥的表面积： 【即学即练2】（24-25高二上·北京海淀·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为4的直角扇形，则此圆锥的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的侧面展开图与圆锥的底面圆半径和母线的关系即可求得. 【详解】依题意，圆锥的母线长为4，底面圆周长为，则底面圆半径为， 故圆锥的表面积为 故答案为：. （3）圆台的表面积 ①圆台的侧面积： 圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 ②圆台的表面积： 【即学即练3】（23-24高一下·云南昭通·期末）一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】利用圆台的表面积公式即可. 【详解】    依题意，设圆台的高为，所以圆台的母线长为， 则圆台的表面积为， 故选：B. 知识点02：圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 【即学即练4】（24-25高三上·河北邢台·期中）已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】利用圆台体积公式计算即得. 【详解】根据题意，可得该圆台的体积为: . 故选：B. 知识点03：球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【即学即练5】（24-25高二上·上海静安·期中）若球、表面积之比，则它们的半径之比 . 【答案】3 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】两个球的表面积之比就是半径之比的平方，直径求出半径之比即可. 【详解】根据相似比的意义，两个球的表面积之比就是半径之比的平方，所以所以. 故答案为：3. 题型01 圆柱的表面积与体积 【典例1】（多选）（24-25高二上·海南儋州·阶段练习）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知，则下列说法正确的是（　　）    A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为 C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为 【答案】AC 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】四边形是圆柱的轴截面，根据勾股定理可求得底面圆的半径，利用圆柱的侧面积公式和表面积公式求解. 【详解】因为四边形是圆柱的轴截面，，所以， 设底面圆的半径为，则解之可得，根据圆柱侧面积，故A正确； 圆柱的表面积，故C正确. 故选：AC 【典例2】（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 【答案】(1)； (2). 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】（1）根据给定条件，利用扇形弧长公式求出圆锥底面圆半径即可得解. （2）设圆柱的高，，借助比例式将圆柱的侧面积表示成的函数，结合二次函数的性质求出面积最大值即可得解. 【详解】（1）依题意，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，则圆锥底面圆半径， 所以圆锥底面圆面积为. （2）设圆柱的高，底面圆半径， 在中，，显然，则， 即，于是， 圆柱侧面积， 则当，时，圆柱的侧面积最大，此时该圆柱的体积为. 【变式1】（23-24高二·上海·课堂例题）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值． 【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，， 全面积为，而侧面积为， 所以全面积与侧面积之比这． 故选：A 【变式2】（24-25高二上·上海嘉定·阶段练习）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的倍，则该圆柱的母线与底面半径的比值为 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】设圆柱的底面半径为，母线长为，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为， 因为圆柱的表面积是其下底面面积的倍，可圆柱的表面积为， 解得，所以该圆柱的母线与底面半径的比值为. 故答案为：1. 【变式3】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，底面边长为2且侧棱长为的正六棱锥是底面的中心，在其内部有一个高为的内接圆柱(圆柱的下底面在棱锥的底面上，上底面圆周与棱锥各侧面相切)． (1)求棱锥的表面积； (2)求圆柱侧面积的最大值及侧面积取得最大值时圆柱底面半径的值． 【答案】(1) (2)； 【知识点】柱、锥、台体的轴截面、棱锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】（1）由题意可知是棱锥的高，连接OC，在Rt中，可求出，设BC的中点为，连接，可求出斜高，从而可求出侧面积，再求出底面面积，进而可求出其表面积； （2）作出圆柱上底面圆周与棱锥侧面相切时的轴截面，设圆柱的高，圆柱底面半径为，利用三角形相似可表示出，然后表示出圆柱侧面积，利用基本不等式或二次函数的性质可求出其最大值. 【详解】（1）因为棱锥是正六棱锥，是底面的中心， 所以是棱锥的高，连接OC，可知， 在Rt中，，即棱锥的高为2 设BC的中点为，连接， 由是等腰三角形可知，， 因此PM是斜高，所以， 即棱锥的斜高为， 所以的面积为， 所以棱锥的侧面积为 因为底面正六边形的底面积为 所以正六棱锥的表面积为； （2）作出圆柱上底面圆周与棱锥侧面相切时的轴截面， 设圆柱的高，由（1）知， 设圆柱底面半径为，则，即， 则圆柱的侧面积为 当且仅当，即时，有最大值为． 此时，圆柱底面半径为． 或， 当且仅当时，有最大值为． 此时，圆柱底面半径为． 题型02圆锥的表面积与体积 【典例1】（23-24高一下·云南大理·阶段练习）某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为 C．过圆锥两条母线的截面面积最大值为 D．圆锥的侧面展开图的圆心角为 【答案】C 【知识点】圆锥中截面的有关计算、锥体体积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的体积公式，即可判断A；表面积公式，即可判断B；由圆锥的轴截面顶角为钝角，可得截面面积最大值，即可判断C；由扇形的圆心角公式，即可判断D. 【详解】圆锥底面半径，母线长为，如图， 设圆锥高为，则， 所以圆锥的体积为，故A错误； 圆锥的表面积为，故B错误； 因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 顶角的余弦值， 所以顶角为钝角， 所以过圆锥两条母线的截面面积最大值，故C正确； 圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的圆心角为，故D错误. 故选：C. 【典例2】（23-24高一下·山西·阶段练习）某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为2，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】设圆锥的母线长为l，求出以S为圆心，SA为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程求解圆锥的高，然后利用圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为， 又圆锥的侧面积为， 因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周， 所以，解得，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先根据侧面展开图的弧长求出底面半径，再应用圆锥的体积计算即可. 【详解】因为侧面展开图扇形的弧长为,所以, 又因为圆锥的母线长为5，设圆锥的高为h, 所以圆锥的体积为. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算． 【详解】因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形， 则圆锥的母线长，底面半径， 所以圆锥表面积为． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）某圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积为，则该圆锥的全面积为 ． 【答案】12π 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，由圆锥侧面展开图面积可得，再由圆锥的体积公式可得底面圆的半径，再由圆锥的表面积公式，即可得到结果. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由圆锥侧面展开图为半圆可得，即， 又圆锥的体积为，即， 又，即， 所以， 所以，解得， 则， 所以圆锥的全面积为． 故答案为：. 题型03圆台的表面积与体积 【典例1】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先求出圆台的底面半径和高，再利用台体的体积公式求体积. 【详解】如图： ，，，. 根据圆台的侧面积公式：. 所以圆台的高：. 所以圆台的体积为：. 故选：C 【典例2】（23-24高一下·青海西宁·期中）如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．    (1)求这个圆台型花盆的体积； (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【答案】(1)体积为； (2)预计花费6123元． 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】（1）根据给定条件，利用圆台体积公式计算得解. （2）求出一个圆台型花盆的侧面积，再结合题设求解即得. 【详解】（1）圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高， 体积，所以这个圆台型花盆的体积为.    （2）由（1）知，圆台型花盆的侧面积， 则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元. 【变式1】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知圆台的母线长为，高为，体积为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解. 【详解】如下图所示，    设圆台上底面半径为，下底面半径为，则， 设为圆台的一条母线，连接、，则四边形为直角梯形， 过点在平面内作，垂足为点， 根据题意，，，，， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，，则， 由勾股定理可得，即，可得，① 又因为圆台的体积为，可得，② 所以，，解得， 所以，圆台的侧面积为. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·湖南·期末）已知圆台的上､下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上､下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】利用勾股定理求出高和母线，再利用圆台的表面积公式求解即可. 【详解】 如图所示，过点作垂直于点，则， 设圆台的高为，因为过轴的横截面的面积为， 所以，解得， 所以在直角中，， 所以. 故选：A. 题型04球的表面积与体积 【典例1】（24-25高三上·河南焦作·开学考试）半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】先由已知条件和球的体积公式分别直接计算出实心球和实心球的体积，再用大实心球体积减去小实心球体积即可得解. 【详解】由题意可知实心球体积为，实心球体积为， 所以实心球与实心球体积之差的绝对值为. 故选：A. 【典例2】（24-25高三上·湖南·开学考试）马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（    ） A．平方英寸 B．平方英寸 C．平方英寸 D．平方英寸 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】两个半球的表面积之和为球的表面积和两个以球半径为半径的圆面积. 【详解】由题意可知球的半径，则两个半球的表面积之和为平方英寸. 故选：B. 【变式1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知球的体积是，则这个球的表面积是 . 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】求出球体的半径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】设该球的半径为，则球的体积为，解得， 因此，该球的表面积为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据实心圆柱的体积等于球的体积可得答案. 【详解】设球的半径为，实心圆柱的母线长为， 由实心圆柱的体积等于球的体积得， 解得. 故答案为：2. 题型05 简单组合体的表面积与体积 【典例1】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【知识点】棱柱表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解. （2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解. 【详解】（1）因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. （2）剩余部分几何体的表面积为 . 【典例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）求出圆锥部分的母线长，根据圆锥以及圆柱的侧面积公式即可求得答案； （2）根据圆锥以及圆柱的体积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得，又, 故该蒙古包的表面积为（）； （2）由题意可得该蒙古包的体积为. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，    由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 【答案】(1) (2)克 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出个的面积，即可求解. 【详解】（1）该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是， 得球的半径与圆柱底面半径均为， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以个“浮球”的表面积为， 因此，个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 题型06球的截面问题 【典例1】（24-25高三上·河北·期中）已知正方体的棱长为4，过三点的平面截该正方体的内切球，所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】作出正方体中过三点的平面，且分别是的中点，可得，则过三点的截面为球内过这三点的截面圆，求出截面圆的半径可得结果. 【详解】如图，正方体中， 直线与正方体的内切球分别切于， 且分别是的中点. 正方体内切球为，连接. 则互相垂直，且，所以. 则过三点的截面为球内过这三点的截面圆， 截面圆的半径为，其面积为. 故选：B. 【典例2】（2024·陕西榆林·一模）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】设截得的截面圆的半径为，球的半径为，由平面几何知识得截面与球心的距离为，利用勾股定理求得的值，由题意可知球心到所求截面的距离最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案. 【详解】如图，设截得的截面圆的半径为，球的半径为， 因为， 所以.由勾股定理，得，由题意得， 所以，解得， 此时过点作球的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小. 设球心到所求截面的距离为，所求截面的半径为，则， 所以只需球心到所求截面的距离最大即可， 而当且仅当与所求截面垂直时，球心到所求截面的距离最大， 即，所以. 故选：C 【变式1】（2024·四川自贡·三模）已知球O半径为4，圆与圆为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若，，则两截面圆的圆心距（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】根据球心与截面圆心连线垂直圆面，求得两个圆面所成二面角，再根据直角三角形以及勾股定理求解即可. 【详解】设圆与圆公共弦为，其中点为， 则，， 所以，， 所以在中，，所以， 在中，，所以， 所以在中，，所以. 故选：D. 【变式2】（2024·全国·模拟预测）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意可求得正方体的外接球球心位置，易知当截面面积最大时，截面圆的半径为该正方体外接球的半径，当截面与OP垂直时，截面面积最小；分别求出对应的半径大小即可得出结果. 【详解】如图，正方体的外接球球心在其中心点处，设该正方体的棱长为， 则外接球的半径， 要使过直线EF的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段EF的中点， 连接OE，OF，OP，则， ， 所以， 此时截面圆的半径． 显然当截面面积最大时，截面圆的半径为该正方体外接球的半径； 所以． 故选：D． 题型07球的切、接问题 【典例1】（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，即可求解. 【详解】因为正方体的内切球半径为，所以正方体的棱长为． 设外接球的半径为R，则，所以，故外接球的体积为． 故选：B. 【典例2】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、球的截面的性质及计算 【分析】根据题意，先确定球心的位置，进而结合，用球心到过点的截面圆的距离的取值范围可得的取值范围，从而得到结果. 【详解】设正三棱锥的外接球的半径为，则，得. 假设正三棱锥中， 外接圆的圆心，则球心在上， 设， 外接圆的半径为 即，两式相减得， 又，解得，所以外接圆的圆心是球心. 如图所示： 设球心到过点的截面圆的距离为，截面圆的半径为， 则， 因为球心到过点的截面圆的距离的最大值为， 所以的最小值为， 又因为点在为半径的圆面上，则球心到过点的截面圆的距离的最小值为， 所以的最大值为， 总上可知，，即 所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. 【典例3】（2024·福建·模拟预测）已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（  ） A．49π B．56π C．65π D．130π 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解. 【详解】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得， 取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆， 则四边形是等腰梯形，，而， ，整理得，而，则， 设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则， 令分别为正四棱台上下底面的中心，则，， ，， 当球心在线段时，，解得，球的表面积为； 当球心在线段的延长线时，，无解， 所以所求外接球表面积是. 故选：C 【变式1】（24-25高三上·江苏泰州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出各个边长，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此时，由勾股定理逆定理得⊥，故满足四面体为一个鳖臑，取中点，连接，得到，故点即为该鳖臑外接球的球心，半径为，从而求出外接球表面积. 【详解】因为直角中，为斜边上的高，，， 所以，， ，， 如图，翻折后，使得⊥，由勾股定理得， 此时， 由勾股定理逆定理得⊥， 结合⊥，⊥，故满足四面体为一个鳖臑， 取中点，连接， 因为⊥，⊥，故， 故点即为该鳖臑外接球的球心，半径为， 故该鳖臑外接球的表面积为为. 故选：C 【变式2】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】在中，利用正弦定理求出外接圆半径，根据直三棱柱求出球心到平面的距离为，由及球的体积公式求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得外接圆半径满足，所以， 又因为在直三棱柱中侧棱垂直于底面，所以该三棱柱外接球的球心到平面的距离为， 所以该三棱柱外接球的半径为，体积为.    故选：B. 【点睛】思路点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 【变式3】（24-25高二上·山西·阶段练习）在四面体中，为的外心，底面，，，，则四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】利用正弦定理，求的外接圆的半径，得到，再由底面，证得，再直角中，由球的截面圆的性质，列出方程，求得球的 半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设四面体的外接球为球，其半径为，外接圆的半径为. 在中，由正弦定理得，所以， 因为为的外心，所以， 又因为底面，且底面，所以，即， 又由，在直角中，可得，解得， 所以球的表面积为. 故选：C. 【变式4】（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案. 【详解】如图：      将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】先求得圆锥的母线长，然后求得侧面积. 【详解】圆锥的母线长为， 所以侧面积为. 故选：B 2．（24-25高二上·陕西宝鸡·开学考试）如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】设球的半径为，根据公式分别求出球的表面积和圆柱的表面积的表达式，求出两者比值即可. 【详解】设球的半径为R，所以球的表面积. 圆柱的表面积， 所以该圆柱的表面积与球的表面积之比. 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求组合多面体的表面积、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的侧面积公式以及正方体的表面积公式即可求解. 【详解】所得几何体的表面积为， 故选：D 4．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆锥侧面积为全面积的，则侧面展开图的圆心角为（    ） A． B．π C．2π D．以上都不对 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据题意，结合圆锥表面积公式列方程求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为,，底面半径为，侧面展开图的圆心角为， 则圆锥的侧面积为，表面积为， 依题意得：，化简得：， 所以. 故选：B 5．（2024·广西来宾·模拟预测）圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由条件可得为等边三角形，且其外接圆的圆心即为圆锥的外接球的球心，代入计算，即可得到结果. 【详解】    设圆锥底面圆的圆心为，底面圆的半径为，外接球的半径为， 做出圆锥的轴截面，可知为等腰三角形，又， 则为等边三角形，所以圆锥的外接球的球心即为外接圆的圆心， 且，， 则球的半径为， 所以外接球的表面积为， 故选：B 6．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的特征先计算其高与底面圆半径，再利用相似的性质计算内切球半径，计算其表面积即可. 【详解】设该圆锥底面圆半径为r，高为h，根据题意有， 设其内切球半径， 所以内切球的表面积， 故选：C. 7．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题、正棱锥及其有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为. 故选：B. 8．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·四川南充·开学考试）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（    ） A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为 D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（） 【答案】ACD 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥的结构特征辨析、圆锥中截面的有关计算 【分析】A．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时. 【详解】对于A，根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比， 所以细沙的底面半径，体积，A选项正确； 对于B，沙漏的体积，B选项错误； 对于C，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：， 所以，所以，C选项正确； 对于D，因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙， 所以一个沙时为：秒，D选项正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【答案】CD 【知识点】柱、锥、台体的轴截面、圆台表面积的有关计算 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 三、填空题 11．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在边长为4的正方形中，如图甲所示，，，分别为，的中点，分别沿，及所在直线把，和折，使，，三点重合于点，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】三棱锥外接球等同于补形为长方体的外接球，结合所给长度即可求解. 【详解】由题可得， ,, 所以, 所以 所以三棱锥外接球等同于以同顶点PA,PE,PF扩充为长方体的的外接球， 如下图， 设外接球的直径为，则有, 所以，则外接球的半径为, 所以三棱锥外接球的表面积为, 故答案为: . 12．（23-24高一下·陕西西安·期末）某圆台形花坛的上底面圆的半径是2米，下底面圆的半径是4米，高是3米，则该花坛的侧面积是 平方米. 【答案】 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】求出圆台的母线长，利用圆台的侧面积公式即得答案. 【详解】由题意可得该花坛为圆台，它的母线长， 则该花坛的侧面积(平方米), 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 【答案】(1)17 (2)880元 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】（1）根据圆柱、球的体积计算公式即可求出几何体体积； （2）根据圆柱、球的表面积计算公式即可求出整个几何体表面积，从而得到建造费用. 【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 14．（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点． (1)若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积； (2)若，，，求四面体外接球的表面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】球的表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】（1）依题意可得为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，即可求出其表面积，利用割补法求出其体积； （2）依题意长方体的外接球即为此四面体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得到外接球的表面积． 【详解】（1）若四面体各棱长均为， 则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体， 所以， ； （2）由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点， 所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球， 设此四面体所在长方体的棱长分别为，，， 则，解得， 设长方体外接球的半径为，则，则， 所以外接球的表面积为． B能力提升 1．（24-25高三上·上海·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，则勒洛四面体的体积的取值范围是 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球体积之间，求出正四面体的体积和正四面体的外接球的体积，从而求出答案． 【详解】勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间， 正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为， 正四面体的高为， 正四面体的体积， 设正四面体的外接球半径为，则由题意得： ，解得， 正四面体的外接球的体积为， 勒洛四面体的体积满足， 即勒洛四面体的体积的取值范围是. 故答案为： 2．（23-24高一下·浙江台州·期末）据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现．报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高．球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积．和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底．当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”．如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； (2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； (3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、根据体积计算几何体的量 【分析】（1）类比球的体积公式推导，把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为，结合锥体体积公式可得“球锥”体积. （2）设圆锥半径为，由勾股定理可得，由题意，计算体积消去化简即可. （3）根据四面体棱长计算高和底面外接圆的半径，结合题意分析即可. 【详解】（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为，所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为. （2）设圆锥半径为，则， 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，， 即， 消去，得， 整理得，因为，所以. （3）设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为， 则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件. 注意到，当顶点在圆锥底面圆周上时， ，得， 当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”. 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点在球冠上.即，且. 又因为，所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课程标准 学习目标 ①了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 1.本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，得出它们的表面积公式，然后根据以前学习过的圆柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式，再结合棱柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式最后给出了球的表面积公式，并由球的表面积公式推导出了球的体积公式 2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用，难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算； 3.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等； 知识点01：圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为. ②圆柱的表面积： . 【即学即练1】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）若圆柱底面半径为2，高为3，则其侧面积为 ． （2）圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 ②圆锥的表面积： 【即学即练2】（24-25高二上·北京海淀·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为4的直角扇形，则此圆锥的表面积为 . （3）圆台的表面积 ①圆台的侧面积： 圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 ②圆台的表面积： 【即学即练3】（23-24高一下·云南昭通·期末）一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 知识点02：圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 【即学即练4】（24-25高三上·河北邢台·期中）已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 知识点03：球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【即学即练5】（24-25高二上·上海静安·期中）若球、表面积之比，则它们的半径之比 . 题型01 圆柱的表面积与体积 【典例1】（多选）（24-25高二上·海南儋州·阶段练习）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知，则下列说法正确的是（　　）    A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为 C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为 【典例2】（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 【变式1】（23-24高二·上海·课堂例题）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海嘉定·阶段练习）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的倍，则该圆柱的母线与底面半径的比值为 . 【变式3】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，底面边长为2且侧棱长为的正六棱锥是底面的中心，在其内部有一个高为的内接圆柱(圆柱的下底面在棱锥的底面上，上底面圆周与棱锥各侧面相切)． (1)求棱锥的表面积； (2)求圆柱侧面积的最大值及侧面积取得最大值时圆柱底面半径的值． 题型02圆锥的表面积与体积 【典例1】（23-24高一下·云南大理·阶段练习）某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为 C．过圆锥两条母线的截面面积最大值为 D．圆锥的侧面展开图的圆心角为 【典例2】（23-24高一下·山西·阶段练习）某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为2，则该圆锥的体积为 . 【变式1】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 【变式3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）某圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积为，则该圆锥的全面积为 ． 题型03圆台的表面积与体积 【典例1】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·青海西宁·期中）如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．    (1)求这个圆台型花盆的体积； (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【变式1】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知圆台的母线长为，高为，体积为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·湖南·期末）已知圆台的上､下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上､下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型04球的表面积与体积 【典例1】（24-25高三上·河南焦作·开学考试）半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·湖南·开学考试）马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（    ） A．平方英寸 B．平方英寸 C．平方英寸 D．平方英寸 【变式1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知球的体积是，则这个球的表面积是 . 【变式2】（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为 . 题型05 简单组合体的表面积与体积 【典例1】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 【典例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【变式2】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 题型06球的截面问题 【典例1】（24-25高三上·河北·期中）已知正方体的棱长为4，过三点的平面截该正方体的内切球，所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·陕西榆林·一模）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川自贡·三模）已知球O半径为4，圆与圆为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若，，则两截面圆的圆心距（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 题型07球的切、接问题 【典例1】（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·福建·模拟预测）已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（  ） A．49π B．56π C．65π D．130π 【变式1】（24-25高三上·江苏泰州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·山西·阶段练习）在四面体中，为的外心，底面，，，，则四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 . A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面面积为（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二上·陕西宝鸡·开学考试）如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆锥侧面积为全面积的，则侧面展开图的圆心角为（    ） A． B．π C．2π D．以上都不对 5．（2024·广西来宾·模拟预测）圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 二、多选题 9．（24-25高二上·四川南充·开学考试）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（    ） A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为 D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（） 10．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 三、填空题 11．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在边长为4的正方形中，如图甲所示，，，分别为，的中点，分别沿，及所在直线把，和折，使，，三点重合于点，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为 . 12．（23-24高一下·陕西西安·期末）某圆台形花坛的上底面圆的半径是2米，下底面圆的半径是4米，高是3米，则该花坛的侧面积是 平方米. 四、解答题 13．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 14．（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点． (1)若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积； (2)若，，，求四面体外接球的表面积． B能力提升 1．（24-25高三上·上海·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，则勒洛四面体的体积的取值范围是 . 2．（23-24高一下·浙江台州·期末）据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现．报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高．球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积．和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底．当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”．如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； (2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； (3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$