第01讲 8.1基本立体图形（第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征）（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第01讲 8.1基本立体图形（第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征） 课程标准 学习目标 ①通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征。 ②.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系。 ③能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算。 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征； 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.学会用连续变化的观点，或者函数的思想找到他们之间的区别与联系； 3.在熟悉基本知识的基础上，能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算，提升数学抽象和数学运算能力； 知识点01：空间几何体的相关概念 （1）空间几何体 如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. （2）多面体 由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. （3）旋转体 由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体. 知识点02：棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 【即学即练1】（2024高三·全国·专题练习）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 知识点03：棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 【即学即练2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 【答案】B 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】画出图形观察即可. 【详解】如图所示，    截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，所以该几何体为三棱锥. 故选：B. 知识点04：棱台 （1）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （2）棱台的图形 （3）棱台的分类及表示 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 用各顶点字母表示棱柱，如棱台 【即学即练3】（23-24高二上·北京东城·期中）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 【答案】B 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论． 【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥， 剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥． 故选：B 题型01 棱柱的结构特征 【典例1】2．（24-25高二上·上海·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据棱柱的定义依次判断选项即可. 【详解】对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 【典例2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中为假命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【答案】AC 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据棱柱的几何特征和性质，结合选项逐一判断. 【详解】对于选项A，当直四棱柱的底面不是矩形的时候就不是长方体，A错误； 对于选项B，棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同，B正确： 对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误； 对于选项D，正四棱柱是平行六面体，D正确． 故选：AC． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、多面体概念及分类 【分析】由长方体的结构特征判断A；由正方体的结构特征判断B；由直平行六面体的结构特征判断C、D. 【详解】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确； 对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；. 对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确. 故选：D. 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）下列关于棱柱的说法，正确的是（    ） A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 【答案】CD 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】由棱柱的结构特点逐项判断即可. 【详解】A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； B错误，棱柱的底面可以是三角形； C正确，由棱柱的定义易知； D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱． 故选：CD 题型02 棱锥、棱台的结构特征 【典例1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B．棱台的各侧棱延长线必交于一点 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义依次判断选项即可得到答案； 【详解】对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确； 对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确； 对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误； 对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确； 故选：C. 【典例2】（多选）（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥． 【答案】ABC 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】对于A，根据棱锥的定义分析判断，对于B，根据棱台的定义分析判断，对于C，根据正三棱锥的定义分析判断，对于D，根据正六棱锥的定义分析判断. 【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥， 而有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误， 对于B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误， 对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心，所以C错误， 对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确， 故选：ABC 【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 【变式2】（多选）（24-25高二上·广西柳州·开学考试）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 【答案】AD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据题意，结合空间几何体的结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意； 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意； 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意. 故选：AD. 题型03 棱柱展开图及最短距离问题 【典例1】（23-24高一下·浙江·期中）在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将正方体的侧面与展开到同一平面，点到的距离就是. 【详解】将正方体的侧面与展开到同一平面 在同一平面内可知的最小值就是点到的距离， 正方体中，为棱的中点，所以，， 是正方形，所以 故答案为： 【点睛】 【典例2】（23-24高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是多少？ 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】分别将矩形绕着展开到，将矩形绕着展开到，将矩形绕着展开到，依次计算,再取其最小值即得. 【详解】 依题意，长方体的表面有三种展开形式： 如图1，把矩形绕着展开到，与共面时，， 如图2，把矩形绕着展开到，与共面时，， 如图3，把矩形绕着展开到，与共面时，， 因，故小虫爬行的最短路程是. 【变式1】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，平面，，，M为的中点，P是棱上的点，且，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为 . 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】由P沿棱柱侧面到M的方式有两种，一种是沿侧面和侧面，另一种是沿侧面和侧面，故分别按这两种方式展开相应的侧面再根据两点之间线段最短原理计算展开图中线段的长度再比较两个结果即可得解. 【详解】因为，所以， 如图，两种方式展开三棱柱的侧面： 故图1中， 图2中， 因为，所以最短路线长为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·青海·期中）几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、正弦定理解三角形 【分析】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，理由余弦定理运算求解.． 【详解】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接， 因为，所以，所以三点共线， 在中，根据正弦定理可得， 可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型04 判断正方体中截面问题 【典例1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？ ①四面体；    ②四棱锥；    ③四棱柱； ④五棱锥；    ⑤五棱柱；    ⑥六棱锥； ⑦七面体． （找出可能的结果，并将序号填在横线上） 【答案】①③⑤⑦ 【知识点】判断正方体的截面形状、多面体概念及分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】结合正方体的性质逐一作图，可能出现①③⑤⑦这四种情况． 【详解】 如图，平面截正方体，可得到四面体； 如图，平面截正方体，可得到四棱柱； 如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体. 故答案为：①③⑤⑦. 【典例2】（24-25高二上·四川内江·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，则取得最小值 ．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面面积为 ．    【答案】 ； . 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状 【分析】将侧面展开即求得第一空；记的中点为，先判断所求截面为四边形，然后根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得第二空. 【详解】将侧面绕着旋转，使得侧面和侧面在同一平面内，如图， 易知，当三点共线时，取得最小值.    当M为线段中点时，记的中点为，的中点为， 由正方体性质可知，， 所以为平行四边形，所以， 易知，所以为平行四边形，所以， 所以四点共面，即平面截正方体所得的截面为四边形， 因为，所以四边形为菱形， 所以. 故答案为：；.    【变式1】（2024·四川达州·二模）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】A 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】根据点在、以及三个特殊位置时，截面图形的形状，选出正确选项. 【详解】B选项，当点与重合时，    取中点，因为是中点，则，且， 连接，则四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项； C选项，当点与重合时，    取中点，因为是的中点，所以， 连接，截面四边形为梯形，故排除C选项； D选项，当点为中点时，    因为是中点，所以且， 连接，则四边形是平行四边形， 又因为，， 因为是正方体，所以，所以， 所以平行四边形是菱形，故排除D选项； 不管点在什么位置，都不可能是三角形. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 . 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】在正方体中确定五边形即为所求截面，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】如图，连接，并延长交的延长线于，连接，交于， 延长交的延长线于，连接，交于点， 连接，则五边形即为所求截面. 易知分别是的三等分点， 则，， 所以该五边形的周长为. 故答案为： 题型05 棱锥的展开图 【典例1】（23-24高一下·河北·期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】棱锥的展开图、余弦定理解三角形 【分析】利用四棱锥的侧面展开图，由余弦定理求解，即可得，进而可求解. 【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为， 在中，， ， 所以，故，则. 故选：A 【典例2】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图， 四棱锥 截取自边长为1 的正方体.其中 平面且 是线段 上靠近 的三等分点， 是线段 上最靠近 B的四等分点，M，N 分别是棱 和 上的动点且恒有， 垂足为H， 则 的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱锥的展开图、棱锥的结构特征和分类、三角形面积公式及其应用 【分析】根据侧面展开图结合面积公式求出距离和的最小值. 【详解】先把及展开在一个平面上， 当过点做的垂线垂足为,，当三点共线时即得的最小值， 因为是取自边长为1的正方体，易知，且面，面， 所以， ， ， ， 在，等面积法得， 因为是靠近的三等分点， 所以，所以. 故选：C.    【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱锥的展开图、棱锥的结构特征和分类、余弦定理解三角形 【分析】把平面展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为，利用余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，把平面展开，使A、B、C、P四点共面. 当M与B重合时，； 当M与C重合时，最大； 连结交于，由两点之间直线最短可知，当位于时，最小. 此时，， 所以. 由余弦定理得： . 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【知识点】棱锥的展开图 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 题型06 棱锥中截面有关问题 【典例1】（23-24高二下·上海浦东新）已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 【答案】 【知识点】棱锥中截面的有关计算 【分析】由平行关系确定相似关系，根据相似比定出面积比，从而得解. 【详解】由题意知, 所求截面是等边三角形, 且与点构成一个小的正三棱锥, 因为, 即, 所以该小的正三棱锥与正三棱锥 的相似比为, 所以 , 所以所求截面的面积 . 故答案为: . 【典例2】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥中截面的有关计算 【分析】画出图形，求出，说明是矩形，结合图形，说明点在平面时，面积最小，求出即可得到范围 【详解】如图所示： 由正三棱锥的底面边长是2， 因为、、、分别是、、、的中点， 所以， 则， 所以是平行四边形 因为正三棱锥， 则对棱，的中点连线与 对棱，的中点连线相等， 即，所以四边形是矩形， 所以， 设的中心为， 则， 所以的面积 所以四边形EFGH面积的取值范围是： 故选：B． 【变式1】（24-25高二·全国·课后作业）已知正六棱锥的底面边长和高都是a，那么最大的轴截面面积是 ． 【答案】 【知识点】棱锥中截面的有关计算 【分析】先判断出△PAD即为最大轴截面，直接求面积即可. 【详解】如图示：正六棱锥的最大的轴截面即为平面PAD. 底边为，高为,所以面积是. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·陕西西安）正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是 ． 【答案】（，+∞） 【知识点】棱锥中截面的有关计算 【分析】由正三棱锥可得四边形EFGH为矩形，并可得其边长与三棱锥棱长关系，从而可得面积S的范围. 【详解】∵棱锥P﹣ABC为底面边长为1的正三棱锥 ∴AB⊥PC 又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点， ∴EH//FG//AB 且EH＝FGAB， EF//HG //PC且EF＝HGPC 则四边形EFGH为一个矩形 又∵PC，∴EF， ∴S= EF EH， ∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（，+∞）， 故答案为:（，+∞） 题型07 棱台展开图问题 【典例1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台的展开图 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    【变式1】（23-24高一下·全国·随堂练习）若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是 ； （2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ． 【答案】 四棱台 前 程 【知识点】棱台的展开图 【分析】还原几何体可得答案. 【详解】还原几何体如图：棱台的上底面为祝，下底面为前，左侧面为似， 右侧面为锦，前面为程，后面为你.    故答案为：①四棱台；②前；③程. 题型08 棱台中的截面问题 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）正四棱台的上、下底面边长分别为，高为，过下底面相邻两边的中点与两底面中心的连线的中点作截面，试导出截面形状与相关量之间的约制关系． 【答案】答案见解析 【知识点】棱台中截面的有关计算 【分析】当截面与棱台的棱相交于点时，截面形状为五边形，当截面的一条边和棱台的上底面相交于一条边时，截面为六边形，由与的大小关系，得约制关系． 【详解】本题应有两种情况： （1）当截面与棱台的棱相交于点时，如图1截面形状为五边形，易知． ，，即，若，则与重合． 当时截面形状为五边形． （2）当截面的一条边和棱台的上底面相交于一条边时，如图2，截面为六边形，此时和相交于点， 则，又，所以，即． 当时，截面为六边形． 【变式1】（24-25高二上·上海·课堂例题）正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于 ． 【答案】 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台中截面的有关计算、正棱台及其有关计算 【分析】根据正四棱台的结构特征知道正四棱台与底面平行的截面为正方形，计算面积即可. 【详解】根据在侧面上三条边组成梯形的上底，下底和中位线，得到梯形的中位线长度是． ∵正四棱台与底面平行的截面为正方形， ∴截面面积． 故答案为： A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用长方体的表面展开图，判断即可. 【详解】长方体由展开图知道，有4个面是阴影，两个空白部分是相对的，剩余是4个阴影部分.则围成的是下面图形 . 故选：D． 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】把截面补形，利用共面可得结果． 【详解】 延长与直线相交于连接与分别交于点 连接，则五边形即为截面， 故选：C. 3．（2024高一下·全国·专题练习）有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（　　） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】B 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据棱锥的定义判断即可. 【详解】有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥， 故根据棱锥的定义可知，几何体有四条侧棱，该几何体是四棱锥. 故选：B 4．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 【详解】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C 5．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】判断几何体是否为棱柱、判断几何体是否为棱锥、判断几何体是否为棱台 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的概念，即可对逐个选项的正误作出判断． 【详解】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， ①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示； 棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误； 棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误； 正确命题有1个. 故选：B. 6．（24-25高一上·陕西宝鸡）满足下列四个条件中的条件（     ）时， 棱柱是正四棱柱. A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】根据正棱柱的几何特征，即可结合选项逐一求解. 【详解】如图：若底面是正方形的棱柱中，左右两个侧面是矩形，但不与底面垂直，但棱柱不是正四棱柱.A错误， 若前后两个侧面是与底面垂直的平行四边形，则棱柱不是正四棱柱，故B错误， 对于C，底面有可能不是正方形,故C错误， 对于D，因为有一个顶点处的三条棱两两垂直，故侧棱垂直于底面， 而底面为菱形，故底面为正方体，故该棱柱为四棱柱. 故选：D． 7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断. 【详解】如图1，在正方体中， 易知为正三角形，于是答案都有可能， 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 8．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，点P为对角线上的动点，点N为棱上的动点（不含端点），点M为线段的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将沿翻折，使得与在同一个平面，作于Q，作于J，则的最小值为，转化为求出的值，在中求解即可. 【详解】将沿翻折，使得与在同一个平面，如下图所示：    因为， 所以与全等， 作于Q，作于J，则的最小值为， 且． 因为，且，， 所以， 所以， 故， 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（    ） A．存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B．存在四个点可以构成正四面体 C．不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D．存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 【答案】ABD 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】由正方体的特征，结合选项即可找到对应的图形，即可求解. 【详解】对于A，如图四边形为平行四边形，所以A正确，    对于B，四面体是正四面体，所以B正确，    对于C，如图四面体中， ，故每个面都是直角三角形，所以C不正确，    对于D，如图四面体中， ，,均是直角三角形、为等边三角形，所以D正确， 故选：ABD．    10．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱 【答案】ABC 【知识点】判断正方体的截面形状、判断几何体是否为棱柱、判断几何体是否为棱锥、判断几何体是否为棱台 【分析】根据正方体的结构特征，结合平面图形的性质分别分析截面形状即可求出结果. 【详解】如图， 连接，则平面可截得三棱锥，故A正确； 如图，过E作，过F作， 则过的平面可截得直三棱柱，故B正确 如图，延长至P，连接，分别与交于两点， 则可得平面截得三棱台，故C正确； 将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱. 故选：ABC. 三、填空题 11．（24-25高二上·上海·期中）棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 【答案】5 【知识点】棱锥中截面的有关计算、棱台的结构特征和分类 【分析】设出截得的棱台的高，利用棱锥平行于底面的截面比例关系列式求解. 【详解】设截得的棱台的高为， 由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比， 得，解得， 所以截得的棱台的高为5. 故答案为：5 12．（23-24高一下·安徽宿州·期中）现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱锥的展开图、余弦定理解三角形 【分析】将三棱锥侧面沿着展开，截面周长的最小值即求从A出发沿着侧面回到A的最短距离. 【详解】将三棱锥侧面沿着展开，如图： 则， 由余弦定理可得：,则， 所以截面周长的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥，4个面 (2)为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，. 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】（1）根据棱锥的定义判断该几何体的形状，再判断该几何体的面数， （2）根据各面的相关数据判断其形状特征，结合三角形面积公式求各面面积. 【详解】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥， 这个几何体共有4个面. （2）由已知，，，， 所以， ， 所以为等腰三角形，为等腰直角三角形， 和均为直角三角形. ， ， . B能力提升 14．（23-24高一下·全国·课后作业）已知正方体的棱长为3，M，N分别为，上的点，且，P，Q分别为，上的动点，求折线MPQN长度的最小值.    【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据题意，将正方体的面，，展开成平面图形，结合图形，得到在一条直线上时，折线的长度最小，利用平面图形的性质，即可求解. 【详解】如图所示，将正方体的面，，展开成如图所示的形状， 由图可得，当在一条直线上时，折线的长度最小. 作分别与正方形的边平行， 因为正方体的棱长为3，且，所以，， 所以，即折线长度的最小值为.    15．（23-24高一下·全国·课后作业）已知长方体中.    (1)若，，，试求在长方体表面上从到的最短路线； (2)若，，且，试求在长方体表面上从到的最短距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】（1）（2）将长方体的面展开到同一平面，求出线段的长，分三种情况，求出结果，比较大小，确定最短路线长. 【详解】（1）如图，    ①将长方形与平面展开到同一平面，如图1所示，      连接，此时， ②将长方形与长方形展开到同一平面，如图2，    连接，此时， ③将长方形与长方形展开到同一平面，如图3，    连接，此时， 因为， 所以从点A出发沿着表面运动到的最短路线长是. （2）当，，且，由上可得 或或， 由可得，即， 所以， 所以，即， 所以从点A出发沿着表面运动到的最短路线长是. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 8.1基本立体图形（第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征） 课程标准 学习目标 ①通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征。 ②.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系。 ③能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算。 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征； 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.学会用连续变化的观点，或者函数的思想找到他们之间的区别与联系； 3.在熟悉基本知识的基础上，能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算，提升数学抽象和数学运算能力； 知识点01：空间几何体的相关概念 （1）空间几何体 如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. （2）多面体 由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. （3）旋转体 由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体. 知识点02：棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 【即学即练1】（2024高三·全国·专题练习）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 知识点03：棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 【即学即练2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 知识点04：棱台 （1）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （2）棱台的图形 （3）棱台的分类及表示 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 用各顶点字母表示棱柱，如棱台 【即学即练3】（23-24高二上·北京东城·期中）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 题型01 棱柱的结构特征 【典例1】2．（24-25高二上·上海·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【典例2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中为假命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）下列关于棱柱的说法，正确的是（    ） A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 题型02 棱锥、棱台的结构特征 【典例1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B．棱台的各侧棱延长线必交于一点 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【典例2】（多选）（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥． 【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【变式2】（多选）（24-25高二上·广西柳州·开学考试）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 题型03 棱柱展开图及最短距离问题 【典例1】（23-24高一下·浙江·期中）在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 【典例2】（23-24高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是多少？ 【变式1】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，平面，，，M为的中点，P是棱上的点，且，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为 . 【变式2】（23-24高一下·青海·期中）几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 题型04 判断正方体中截面问题 【典例1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？ ①四面体；    ②四棱锥；    ③四棱柱； ④五棱锥；    ⑤五棱柱；    ⑥六棱锥； ⑦七面体． （找出可能的结果，并将序号填在横线上） 【典例2】（24-25高二上·四川内江·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，则取得最小值 ．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面面积为 ．    【变式1】（2024·四川达州·二模）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【变式2】（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 . 题型05 棱锥的展开图 【典例1】（23-24高一下·河北·期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【典例2】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图， 四棱锥 截取自边长为1 的正方体.其中 平面且 是线段 上靠近 的三等分点， 是线段 上最靠近 B的四等分点，M，N 分别是棱 和 上的动点且恒有， 垂足为H， 则 的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 题型06 棱锥中截面有关问题 【典例1】（23-24高二下·上海浦东新）已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 【典例2】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）正三棱锥的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二·全国·课后作业）已知正六棱锥的底面边长和高都是a，那么最大的轴截面面积是 ． 【变式2】（23-24高一上·陕西西安）正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是 ． 题型07 棱台展开图问题 【典例1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【变式1】（23-24高一下·全国·随堂练习）若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是 ； （2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ． 题型08 棱台中的截面问题 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）正四棱台的上、下底面边长分别为，高为，过下底面相邻两边的中点与两底面中心的连线的中点作截面，试导出截面形状与相关量之间的约制关系． 【变式1】（24-25高二上·上海·课堂例题）正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于 ． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（2024高一下·全国·专题练习）有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（　　） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 4．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 5．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一上·陕西宝鸡）满足下列四个条件中的条件（     ）时， 棱柱是正四棱柱. A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 8．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，点P为对角线上的动点，点N为棱上的动点（不含端点），点M为线段的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（    ） A．存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B．存在四个点可以构成正四面体 C．不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D．存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 10．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱 三、填空题 11．（24-25高二上·上海·期中）棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 12．（23-24高一下·安徽宿州·期中）现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 四、解答题 13．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ B能力提升 14．（23-24高一下·全国·课后作业）已知正方体的棱长为3，M，N分别为，上的点，且，P，Q分别为，上的动点，求折线MPQN长度的最小值.     15．（23-24高一下·全国·课后作业）已知长方体中.    (1)若，，，试求在长方体表面上从到的最短路线； (2)若，，且，试求在长方体表面上从到的最短距离. / 学科网（北京）股份有限公司 $$