2.2空间向量及其运算（8大题型提分练）（题型专练）数学湘教版选择性必修第二册

2.2空间向量及其运算 题型一空间向量的有关概念 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 2．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 3．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 4．（多选）．下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【答案】BC 【分析】根据题意，由空间向量的定义以及性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量与的方向不一定相同，故A为假命题； 对于B选项，与的方向相同，模也相等，故=，故B为真命题， 对于C选项，向量的相等满足传递性，故C为真命题； 对于D选项，平行向量不一定具有传递性，当时，与不一定平行，故D为假命题； 故选：BC 题型二 空间向量的线性运算 1．如图， 在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点，若 则表示向量正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的加减运算法则即可表示出向量. 【详解】在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点， 若 则 故选：A. 2．如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】连接， 由题意，得． 故选：D 3．如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果. 【详解】设, 则 故, 故选：B 4．在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，在正三棱锥中，取中点，连接， 则点为底面中心，且在上， 所以 . 故选：D. 题型三 空间向量共线的判断 1．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 2．下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 3．在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把表示出来，根据向量的数乘运算判断向量的平行. 【详解】如图： 因为. 所以与平行. 故选：D 4．下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：ACD 题型四 由空间向量的共线求参数 1．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C.    2．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 3．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 【答案】/ 【分析】根据空间向量的运算，结合向量共线定理即可求得使、、三点共线的的值. 【详解】由题意可知， ，，则， ， ，，三点共线，，． 故答案为：. 4．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 题型五 空间向量数量积运算 1．如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 2．在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算求解. 【详解】因为， 所以 故选：A 3．如图，正四面体的长为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以、、为基底表示，然后利用向量的数量积计算公式计算即可. 【详解】 . 故选：D 4．如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）中，为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再利用数量积的定义求解. 【详解】由题意可知：. 故选：A 题型六 求空间向量数量积的最值范围 1．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得，由正方体的性质可得当时取得最大值为4. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 2．已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，连接，设中点为，连接，，，利用转化法求向量数量积的最值即可. 【详解】设中点为，连接，设中点为，连接，，， 则， ， 当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：. 3．正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律得，进一步只需求出即可得解． 【详解】由题意等于正方体的体对角线长， 设点为球心，即点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故选：A. 题型七 空间向量数量积的应用 1．如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据，再平方求解可得答案. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）依题意，得，， 所以， ， 所以. 2．在平行六面体中，，，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据空间向量表示，再应用空间向量的数量积运算律计算求解. 【详解】如图所示：    因为六面体是平行六面体， 所以， 则， 由，，，，，设， 故有：， 所以， 得，解得负值舍去 故 故选：B. 3．（多选）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】依题意要证，即证，结合数量积的运算律判断A、C、D，将四面体放入长方体中，即可判断B. 【详解】因为， 要证，即证. 对A选项：由，则，所以成立，故A正确. 对B选项：将四面体放入长方体中，使与，与，与分别为相对面的对角线长， 显然与不一定垂直，如图长方体的底面不为正方形时与不垂直，故B错误. 对C选项：因为，， 即和，平方得，， 即和， 所以，所以， 即，故C正确. 对D选项：由得，即①， 由得，即②， 由①②得，所以，即，故D正确. 故选：ACD 4．已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，向量、、表示和，再利用数量积的运算律及夹角公式计算可得. 【详解】设，因为，， 所以， ， 所以， ， ， 设向量与的夹角为，则 ∴直线和夹角的余弦值为． 故选：D 题型八 求空间向量的投影向量 1．已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 2．如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的运算及投影向量的定义求解即可. 【详解】 设正方体的棱长为1，，，，则，， ∵，， ∴， ∴向量在向量上的投影向量是. 故选：D． 3.如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义表示出在方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平面向量基本定理即可求解. 【详解】由题知，在方向上的投影向量为， 又 ， 且， 所以，所以. 故选：A 1．（多选）．下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 2．如图，在四面体中，E，F分别满，，，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用给定的空间向量的基底，结合几何体表示出. 【详解】在四面体中，，， 所以. 故选：A 3．在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A 4．如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 5．设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 6．已知正四面体的棱长为，是的中点，在上，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先将用表示，再用数量积运算计算即可. 【详解】由正四面体，得， 则，，， 由是的中点，得， 由，得， 则， 所以 ． 故选：C． 7．在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算可得，再结合数量积运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，，，则， 且，，则， 可得， 则 ， 所以，即. 故选：B. 8．平行六面体中，底面是边长为3的正方形，，，则的长为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】由，利用向量数量积的运算律及已知求的长. 【详解】如图，因为底面是边长为3的正方形，，， 由， 则 . 故选：A. 9．如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    【答案】 【分析】将用基底，结合空间向量的数量积可求得的值. 【详解】在平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 10．若为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】由为空间中两两夹角都是的单位向量，得， 所以. 故答案为： 11．已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 12．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 13．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 14．如图所示，平行六面体中，，，，. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算直接求解即可，然后根据数量积的运算律及模长公式求解模长； （2）根据向量运算法则用基底向量表示，结合（1）利用数量积的运算律及数量积定义求解即可. 【详解】（1）根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为，，，. 所以 . 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2空间向量及其运算 题型一 空间向量的有关概念 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 2．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 3．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（多选）．下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 题型二 空间向量的线性运算 1．如图， 在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点，若 则表示向量正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（   ） A．1 B． C． D． 4．在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 题型三 空间向量共线的判断 1．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 题型四 由空间向量的共线求参数 1．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 3．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 4．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 题型五 空间向量数量积运算 1．如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 2．在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，正四面体的长为，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）中，为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 题型六 求空间向量数量积的最值范围 1．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 2．已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七 空间向量数量积的应用 1．如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 2．在平行六面体中，，，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．（多选）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 4．已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型八 求空间向量的投影向量 1．已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（多选）．下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 2．如图，在四面体中，E，F分别满，，，设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 4．如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 6．已知正四面体的棱长为，是的中点，在上，且，则（    ） A． B． C．0 D． 7．在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D．2 8．平行六面体中，底面是边长为3的正方形，，，则的长为（   ） A． B． C． D．10 9．如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    10．若为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 11．已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 12．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 13．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 14．如图所示，平行六面体中，，，，. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$