8.3.1 二项式定理（教学设计）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一下册）

8.3.1 二项式定理 一、教学内容解析 本节内容是中职数学高教版拓展模块一下册的8.3.1二项式定理。二项式定理是数学中的一个重要定理，它揭示了(a+b)ⁿ展开式的规律，对于理解和应用多项式运算、组合数学以及后续的高等数学内容都具有重要意义。通过本节课的学习，学生将掌握二项式定理的推导过程、展开式的形式以及如何应用二项式定理解决相关问题。 二、教学目标设置 知识与技能： 理解二项式定理的推导过程，掌握二项式定理的公式形式。 能够正确写出(a+b)ⁿ的展开式，会利用二项式定理解决简单的二项式展开问题。 过程与方法： 通过自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生的观察、分析和归纳能力。 在小组合作中，提高学生的合作学习能力和数学表达能力。 情感、态度与价值观： 通过自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐美，激发学生对数学的学习兴趣。 培养学生严谨的数学思维习惯和勇于探索的科学精神。 三、教学重难点设置 重点： 二项式定理的推导过程及公式形式。 二项式定理的应用，包括写出(a+b)ⁿ的展开式和解决简单相关问题。 难点：理解二项式定理的推导过程，尤其是如何通过组合数来确定展开式中各项的系数。 在实际问题中灵活运用二项式定理，准确确定展开式中的各项。 四、学生学情分析 学生在初中阶段已经学习了多项式乘法等基础知识，对简单的代数运算有一定的掌握，但对较为复杂的二项式展开规律还缺乏系统的认识。中职学生的学习能力参差不齐，部分学生可能对抽象的数学概念理解较慢，需要通过具体的实例和反复的练习来加深理解。同时，学生在小组合作学习中可能存在沟通和协作能力不足的情况，需要教师在教学过程中加以引导。 五、教学过程设计 教学环节 解学内容 师生互动 设计意图 第一环节：导入环节 思考：（a+b）n展开式 1664年冬，英国科学家艾萨克·牛顿由于瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡下，年仅22岁的牛顿在研读沃利斯的《无穷算术》时，发现了（a+b）n展开式 的规律（即二项式定理，又称牛顿二项式定理）.那么，牛顿是如何思考的呢？ 我们知道，(a+b)²=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a²+2ab+b². (a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)= a×a×a+a×a×b+a×b×a+a×b×b+b×a×a+ b×a×b+b×b×a+b×b×b=a³+3a²b+3b²a+b³. (a+b)4=(a+b)3(a+b)=... 推导(a+b)n此法有困难 教师活动 通过提问学生之前学过的多项式乘法，引导学生回顾相关知识。 提出问题：“如果要计算(a+b)n，你会如何展开？”并让学生尝试回答。 引出本节课的主题——二项式定理，说明其重要性和应用价值。 学生活动 回顾多项式乘法的知识，积极参与回答教师的问题。 尝试展开(a+b)⁴，感受直接计算的困难，从而产生对新知识的渴望。 通过复习旧知识，为新知识的学习做好铺垫。 通过提出问题，激发学生的学习兴趣和求知欲，引入新课主题。 第二环节：新课讲解环节 首先以(a+b)⁴为例，分析按多项式乘法展开的规律. (a+b)⁴=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b). 可以看到, (a+b)⁴ 是4个(a+b)相乘. 根据多项式乘法法则，其结果中的每一项都是由4 个(a+b)中各取一项相乘得到的，均为4次式.按所含字母a的次数降幂排列为a⁴, a³b, a²b², ab³, b⁴. 4个(a+b)中都不选b的选法种，得到a4的系数为种； 4 个(a+b)中有1个选b，3个选a的选法有种,得到a3b的系数为； 4个(a+b)中有2个选b，2个选a的选法有种，得到a2b2的系数为； 4个(a+b)中有3个选b， 1个选a的选法有种，得到ab3的系数为 ； 4个(a+b)中都选b的选法有种，得到b4的系数为 ． 推导得：(a+b)⁴ =a⁴+ a³b+ a²b²+ab³+ b⁴ 类似得，(a+b)3 =a3+ a2b+ ab²+b³ 进一步地，你能写出 (a+b)n 的展开式吗？ (a+b)3 =a3+ a2b+ ab²+b³ (a+b)⁴ =a⁴+ a³b+ a²b²+ab³+ b⁴ 从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数n，我们有如下猜想： 注意：公式叫作二项式定理．右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式，共有(n+1)项，其中每一项的系数（其中k=0，1，2，…，n，n∈N^∗）叫作二项式系数，式中的叫作二项展开式的通项，它是展开式的第(k+1)项，记作Tk+1，即 对二项式定理的理解 （1）它有n+1项; （2）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0;字母b按升幂排列，次数由0递增到n. （4）系数依次为 教师活动 以(a+b)⁴为例，详细讲解二项式定理的推导过程，引导学生观察展开式中各项的规律。 引入组合数的概念，解释如何通过组合数确定展开式中各项的系数。 总结二项式定理的公式形式，并强调公式的结构特点。 学生活动 认真听讲，跟随教师的思路理解二项式定理的推导过程。 观察展开式中各项的规律，尝试理解组合数与系数之间的关系。 记录二项式定理的公式，初步掌握其形式。 通过具体的例子讲解二项式定理的推导过程，帮助学生理解抽象的数学概念。 引入组合数的概念，为学生后续学习组合数学打下基础。 总结公式形式，帮助学生系统掌握二项式定理的核心内容。 第三环节：例题讲解环节 例1(1)写出(a+b)⁷的展开式; (2) 写出(1+x)n的展开式. 解：(1)因为 (a+b)⁷ = a⁷+ a⁶b +a³b² + a⁴b³+a³b⁴+a²b⁵+ab⁶+b⁷ =a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷ (2)在二项式定理中, 令a=1, b=x, 可得 (1+x)n 例2(1)求(2x-1)⁷的展开式的第4 项的系数; (2) 求(x+)5的展开式中含 x³ 的二项式系数； 解 (1) (2x-1)7的展开式的第4项是 T4= T3+1= ×(2x) 7−3×(-1)3 =×24×(-1)3·x4 =35×(-16) ·x4=-560x4． 所以，展开式第4项的系数是-560． (2)(x+)5的展开式的通项是 依题意，得 5-2k=3．解得k=1． 即二项展开式中含x³的项为第2项，此项的二项式系数为=5． 例3.求写出的二项展开式的常数项． 解：的展开式的通项是 依题意，得 4-k=0． 解得 k=4 ． 所以二项展开式中第5项是常数项，为·(−2)4 =1 120 ． 教师活动 依次讲解例1、例2、例3，详细展示如何应用二项式定理解决具体问题。 在讲解过程中，强调解题步骤和注意事项，引导学生规范解题。 鼓励学生提问，及时解答学生在理解过程中遇到的问题。 学生活动 认真观察教师的解题过程，理解每一步的依据和思路。 在教师讲解后，尝试自己解答类似的题目，巩固所学知识。 积极提问，解决自己在学习过程中遇到的疑惑。 通过具体的例题讲解，帮助学生将理论知识应用到实际问题中，提高学生的解题能力。 强调解题步骤和规范，培养学生严谨的数学思维习惯。 鼓励学生提问，及时解决学生的学习困难，提高学习效果。 第四环节：小组合作环节 (1)求(1−x)n的展开式. (2)写出(a+b)5的展开式. 解：（1）在二项式定理中，取a=1，b=−x，则得到 (1-x)n (2)(a+b)5 = a5+ a4b +a³b² + a2b³+ab⁴+b⁵ =a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. 教师活动 提出小组合作任务，如“讨论二项式定理在实际生活中的应用”或“探究二项式定理的其他性质”。 巡视各小组，观察学生的讨论情况，及时给予指导和帮助。 在小组讨论结束后，邀请各小组代表分享讨论结果，并进行总结和评价。 学生活动 根据教师布置的任务，积极参与小组讨论，发表自己的见解和想法。 在小组讨论中，学会倾听他人的意见，与小组成员合作解决问题。 通过小组合作学习，培养学生的合作能力和团队精神。 让学生在讨论中加深对二项式定理的理解，拓展思维。 提高学生的数学表达能力和逻辑思维能力。 第五环节：课堂练习环节 1.求下列各式的展开式. (1) (3a+b)5;(2) (x-)7. 解：（1）(a+b)5 = a5+ 34a4b +33a³b² + 32a2b³+3ab⁴+b⁵ =243a5+405a4b+270a3b2+90a2b3+15ab4+b5. （2） (x-)7= 2.求(x- y)6的展开式的第 4 项，并指出这项的二项式系数及系数. 解：(x- y)6的展开式的第 4 项k=3 二项式系数=20,系数 3. 求(2x+)6 的展开式中含 x³ 的项及常数项. 解：(2x+)6的展开式的通项 依题意，得 =3． 解得 k=2 ． 所以二项展开式中含x3的项为 依题意，得 =0． 解得 k=4 ． 所以二项展开式中常数项为 教师活动 出示课堂练习题，要求学生独立完成。 巡视课堂，观察学生的答题情况，及时发现学生存在的问题。 针对学生在练习中出现的共性问题，进行集中讲解和纠正。 学生活动 独立完成课堂练习题，巩固所学知识。 在完成练习后，积极参与教师的讲解和讨论，及时纠正自己的错误。 通过课堂练习，检验学生对二项式定理的掌握情况，巩固所学知识。 及时发现学生在学习过程中存在的问题，有针对性地进行辅导和纠正。 第六环节：课堂小结环节 公式叫作二项式定理．右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式，共有(n+1)项，其中每一项的系数（其中k=0，1，2，…，n，n∈N^∗）叫作二项式系数，式中的叫作二项展开式的通项，它是展开式的第(k+1)项，记作Tk+1，即 教师活动 引导学生回顾本节课所学内容，包括二项式定理的推导过程、公式形式以及应用方法。 强调本节课的重点和难点，帮助学生梳理知识结构。 鼓励学生分享自己在本节课中的收获和体会。 学生活动 在教师的引导下，回顾本节课所学内容，加深对知识的理解和记忆。 积极分享自己在本节课中的收获和体会，与同学和教师进行交流。 通过课堂小结，帮助学生梳理知识结构，加深对本节课内容的理解和记忆。 鼓励学生分享自己的收获和体会，增强学生的学习自信心和积极性。 第七环节：作业布置环节 1.基础作业：记忆公式与完成《学习指导与练习》； 2.中等作业：复习二项式定理的推导过程; 3.拓展作业：预习8.3.2内容，探究二项式系数的性质. 教师活动 布置作业，包括基础作业、中等作业和拓展作业，满足不同层次学生的需求。 强调作业要求，提醒学生按时完成作业。 学生活动 记录作业内容，明确作业要求。 按时完成作业，巩固所学知识，拓展学习内容。 通过布置不同层次的作业，满足不同学生的学习需求，提高学生的学习积极性。 让学生通过作业巩固所学知识，加深对二项式定理的理解和应用。 六、教学反思 在教学过程中，学生是否积极参与课堂讨论和练习，是否能够主动提出问题并解决问题。如果学生参与度不高，需要反思教学方法是否需要改进，如何更好地激发学生的学习兴趣。 学生是否真正理解了二项式定理的推导过程和应用方法，是否能够正确写出(a+b)ⁿ的展开式并解决相关问题。如果学生在重点难点上存在困难，需要反思教学过程中是否讲解得不够清晰，是否需要增加更多的实例和练习来帮助学生理解。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$