2025年广东省春季高考数学模拟练习

（卷1）2025广东春季高考数学模拟练习 （时间90分钟，满分150分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式的解法得，由对数函数的性质可得，再由交集的定义求解即可. 【详解】解：由，可得， 所以； 由，可得，解得， 所以； 所以. 故选：B. 2．已知命题，，，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．p和都是真命题 C．和q都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】先判断命题的真假，再判断命题否定的真假，即可得到正确答案. 【详解】当时，命题成立，所以命题p是真命题，命题是假命题； 当时，命题不成立，所以命题q是真命题，命题是真命题. 故选：B. 3．已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为8. 故选：D. 4．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】在复平面内对应的点为， ∴在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 5．已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和. 【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键. 6．已知，，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】直接利用不等式的性质判断充分条件和必要条件. 【详解】解：对于命题，可得到，但是与9没有关系， 当命题，整理， 即得到，故是的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质以及利用等价法判断必要不充分条件，考查学生的运算和推理能力，属于基础题. 7．已知定义在上的函数满足，函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用函数的周期性及函数的对称性进行计算求解. 【详解】由，得  ① 又函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，即  ② 联立①②两式，可得，所以， 所以函数的一个周期为8，又， 所以，故A，B，D错误. 故选：C. 8．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a 【答案】B 【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定正确选项. 【详解】在上递增，在上递增. . 故选：B 9．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合所在象限可得. 【详解】因为是第二象限角，， 所以. 故选：B 10．已知a=0.23，b=0.32，c=0.33，则a，b，c的大小关系是（   ） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断可得； 【详解】解：因为在定义域上单调递减，所以，又在定义域上单调递增，所以，所以，即 故选：A 11．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】把点，代入函数解析式，即可求出的值. 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：B. 12．一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（   ） A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶 【答案】A 【分析】根据对立事件的定义即可得解. 【详解】由题意，事件“至少有两次中靶”的对立事件为“至多有一次中靶”. 故选：A. 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。 13．核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为2%（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为4%，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的40%，60%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是 ． 【答案】3.2% 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件， 所取核桃为空壳为事件，则，， 所以该核桃是空壳的概率是， 故答案为：. 14．随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是 . 【答案】88 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再求出时的即可. 【详解】随机变量，又，则， 因此，则， 所以随机变量的第80百分位数是88. 故答案为：88 15．若，且，则 ． 【答案】 【分析】结合三角函数的平方关系及二倍角公式化简原式为齐次式即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 16．已知向量和的夹角为，，，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得. 故答案为：. 17．设，，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将等式变形为，由此得出，展开后利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】在等式两边同时除以得， ，，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，解题时将注意将定值条件化简变形，考查计算能力，属于中等题. 18．函数是上的偶函数，当时，，则 ． 【答案】9 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】是偶函数，所以. 故答案为： 三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤。 19．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：． (1)求角A的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后，再利用余弦定理可求得结果； （2）利用正弦定理求出角，从而可判断三角形为直角三角形，进而可求出三角形的面积. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得， 整理得， 所以． 又，故． （2）由正弦定理可知， 又，，， 所以． 故， 所以， 故为直角三角形， 于是． 20．如图，已知的外接圆的半径为4，.    (1)求中边的长： (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得. （2）求得，然后利用向量数量积的运算求得正确答案. 【详解】（1）∵，∴，∴， 即且， 又的外接圆的半径，∴，∴； （2）如图，取的中点，取的中点，连接，，. 因为，且， 所以四边形是平行四边形.所以. 所以.所以. 所以.    21．魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、反应力.基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间（单位：秒），得到相关数据如下： 时间 人数年级 低年级 2 8 12 14 4 高年级 10 22 16 10 2 (1)估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数； (2)在这次测试中，从所用时间在和内的学生中各随机抽取1人，记抽到低年级学生的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)150 (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用学生所占比例确定第78百分位数一定位于内，再根据百分位数的计算方法即可求得答案； （2）事件“从所用时间在内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”和“从所用时间在内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”是相互独立事件，分别求出其频率，确定的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得期望. 【详解】（1）在这次训练测试中所用时间在140秒以下的学生所占比例为， 所用时间在170秒以下的学生所占比例为， 所以第78百分位数一定位于内， 设第78百分位数的值为，则. （2）记事件为“从所用时间在内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”， 事件为“从所用时间在内的学生中随机抽取1人，抽到的是低年级的学生”， 由题意知，事件，相互独立，且，. 的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 故的数学期望. 22．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设中点为，连接、，由三角形中位线性质可得，且，从而得到四边形为平行四边形，再由，即可证得平面； （2）利用已知条件求出的长，以及证得平面，再建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）如图（1），设中点为，连接、， 底面为正方形，，分别为，的中点． ，且，又，， 且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. （2）连结，，过作交于点， ∵，∴点也是中点，连接， ，为的中点，∴，又底面为正方形， ，，， 平面平面，，平面平面，平面， 平面，又平面，， ∴在中，， 如图（2）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， ∴，， 平面，是平面的一个法向量，， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， ， 设二面角为，显然二面角为锐角， ， 故二面角的余弦值为． 【点睛】 试卷第2页，共12页 试卷第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$ （卷1）2025广东春季高考数学模拟练习 （时间90分钟，满分150分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，，，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．p和都是真命题 C．和q都是真命题 D．和都是真命题 3．已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 4．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．已知，，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 7．已知定义在上的函数满足，函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a 9．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知a=0.23，b=0.32，c=0.33，则a，b，c的大小关系是（   ） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 11．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．8 B．16 C． D． 12．一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（   ） A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。 13．核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为2%（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为4%，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的40%，60%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是 ． 14．随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是 . 15．若，且，则 ． 16．已知向量和的夹角为，，，则 . 17．设，，且，则的最小值为 . 18．函数是上的偶函数，当时，，则 ． 三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤。 19．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：． (1)求角A的大小； (2)若，求的面积． 20．如图，已知的外接圆的半径为4，.    (1)求中边的长： (2)求. 21．魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、反应力.基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间（单位：秒），得到相关数据如下： 时间 人数年级 低年级 2 8 12 14 4 高年级 10 22 16 10 2 (1)估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数； (2)在这次测试中，从所用时间在和内的学生中各随机抽取1人，记抽到低年级学生的人数为，求的分布列和数学期望。 22．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，分别为，的中点。   (1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$