第36讲 空间中直线、平面垂直（考点精练）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第36讲 空间中直线、平面垂直 1．已知直线平面，直线平面，则下列结论一定成立的是（       ） A．与相交 B．与异面 C． D．与无公共点 2．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．l⊂β D．平行或l⊂β 3.已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是(　　) A.l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α B.l⊥m，m∥α C.α⊥β，l∥β D.l∥m，m⊥α 4．已知两个平面， 两条直线， 满足， 则下列命题正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 5．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，B1C的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值为(　　) A.2 B. C. D. 7.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　） A．20° B．70° C．90° D．110° 8.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 10.设､为两条直线，､为两个平面，则下列命题中假命题是（       ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 12.如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 13．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 14．如图，拿一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的关系是 . 15．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为 ． 16．将正方形沿对角线折成直二面角后， . 17．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对． 18.已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β(填所选条件的序号) 19．如图，在四面体中，平面， （1）求证：平面； （2）若，为垂足，求证：． 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为中点，求证：平面 21．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明： 22.如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证： （1）平面；（2）平面. 23.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠CBA＝，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF＝，BE＝2，AF＝3，平面ABCD⊥平面ABEF．求证：AC⊥平面ABEF． 24.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为(　　) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 2.空间四边形ABCD中，若，，那么有（    ） A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是(　　) A．BP⊥AC B．PD⊥平面ABCD C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD 4．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是___________ ①为的中点  ②与所成的角为 ③BD⊥平面 ④三棱锥与四棱锥的体积之比等于 5如图所示，在正三棱柱中，，则与侧面所成角的正弦值为 . 6．在正方体中，二面角的大小是 . 7．在长方体中，，，，则二面角的余弦值为 . 8. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)． 9.在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足，证明：AM⊥平面 10. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 是的中点，点在棱上． (1)求四棱锥的全面积； (2)求证：． 11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C. ①若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC1. ②已知B1C1＝2，B1C＝2，求△BCC1的周长． 13.如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形. （1）求证：平面平面； （2）当时，求四棱锥的体积. 14.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点. (1)证明：△PBC是直角三角形； (2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 15.如图，平面ABCD⊥平面ABE，且四边形ABCD为正方形，AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F为AC的中点. (1)求证：AC⊥平面BEF； (2)求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值. 16.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点． (1)求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点． （1）证明：平面； （2）设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值． 18.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD. (1)求证：PD⊥平面ABCD； (2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第36讲 空间中直线、平面垂直 1．已知直线平面，直线平面，则下列结论一定成立的是（       ） A．与相交 B．与异面 C． D．与无公共点 【答案】C 【解析】因为直线平面，直线平面，根据线面垂直的定义，所以，其它选项不一定成立． 2．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．l⊂β D．平行或l⊂β 【答案】D 【解析】如图:，l//β或l⊂β. 3.已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是(　　) A.l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α B.l⊥m，m∥α C.α⊥β，l∥β D.l∥m，m⊥α 【答案】D 【解析】对于A，l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误； 对于B，l⊥m，m∥α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误； 对于C，α⊥β，l∥β，则l与α相交、平行或l⊂α，故C错误； 对于D，l∥m，m⊥α，则l⊥α，故D正确. 4．已知两个平面， 两条直线， 满足， 则下列命题正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】D 【解析】A选项，若，则或与异面，A错误； B选项，若， 则或与斜交，或，B错误； C选项，如图，满足， 但，C错误； D选项，根据面面垂直的判定，可知若， 则 5．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【解析】因为平面ABCD，平面ABCD，所以，由四边形ABCD为矩形得， 因为，所以平面PAD．又平面PCD，所以平面平面PAD． 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，B1C的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值为(　　) A.2 B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，取BC的中点O，连接OE，OF， ∵F是B1C的中点，∴OF∥B1B，∴FO⊥平面ABCD， ∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角.设正方体的棱长为2，则FO＝1，EO＝， ∴EF与平面ABCD所成的角的正切值为. 7.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　） A．20° B．70° C．90° D．110° 【答案】B 【解析】∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°. 8.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立. 9．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 【答案】　BD 【解析】对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 10.设､为两条直线，､为两个平面，则下列命题中假命题是（       ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】A.若，，，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A正确；B.若，，则，又，则平面内存在直线，所以，所以，B正确；C.若，，，则可能相交，可能平行，C错误；D.若，，，则的法向量平行，所以，D正确. 11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 【答案】C 【解析】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则与平行或相交，故错误；对于,若m∥α，m∥n，则n∥α 或，故错误；对于,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确；对于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则或与相交或∥，故错误. 12.如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】平面，与平面所成的角为，又，，可得，而平面平面，与平面所成角的正弦值为. 13．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得. 14．如图，拿一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的关系是 . 【答案】垂直 【解析】令桌面所在的平面为，折痕所在直线为，纸片与桌面公共部分所在直线为，如图， 依题意有，因，，所以，所以折痕与桌面垂直. 15．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】 【解析】连接，平面，即为直线与平面所成角，在中，，，. 16．将正方形沿对角线折成直二面角后， . 【答案】 【解析】设正方形对角线的焦点为O，边长为2，根据直二面角的性质知，折起后DB=2，又因为DA=DB=2，所以为等边三角形，故. 17．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对． 【答案】　7 【解析】如图，由于PD垂直于正方形ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对. 18.已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β(填所选条件的序号) 【答案】(3)(5)　(2)(5) 【解析】　根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β，则m∥β； 根据线面垂直以及面面平行的特征可得， 若m⊥α，α∥β，则m⊥β. 19．如图，在四面体中，平面， （1）求证：平面； （2）若，为垂足，求证：． 【解析】证明：(1)由AD⊥平面PAB，面，则，又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD； (2)由（1）及面，则面面APD，又面面APD，AG⊥PD，面APD， 所以面，而面，所以AG⊥BD． 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为中点，求证：平面 【解析】因为底面为矩形，所以， 又因为平面平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 由，所以，所以， 又因为平面，所以平面． 21．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明： 【解析】证明：取的中点，连，， ∵为等边三角形，且是边的中点，∴， ∵平面底面，且它们的交线为，∴平面，则， ∵，且∴平面， ∴； 22.如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证： （1）平面；（2）平面. 【解析】（1） 取AB的中点M,连FM,MC，∵ F、M分别是BE、BA的中点，∴ FM∥EA, FM＝EA， ∵ EA、CD都垂直于平面ABC，∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC＝a， ∴ FM＝DC ∴ 四边形FMCD是平行四边形，∴ FD∥MC，∴ FD∥平面ABC． （2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，又CM⊥AE，AB∩AE＝A， ∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF，∵F是BE的中点, EA＝AB，∴AF⊥EB， ∴AF⊥平面EDB． 23.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠CBA＝，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF＝，BE＝2，AF＝3，平面ABCD⊥平面ABEF． 求证：AC⊥平面ABEF． 【解析】在中，所以，所以，所以， 又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,AC平面ABCD， 所以平面ABEF. 24.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 【解析】证明　(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC. 又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.又AB⊥AD， 由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D， 所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD. 1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为(　　) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 【答案】B 【解析】由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确． 2.空间四边形ABCD中，若，，那么有（    ） A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC 【答案】D 【解析】∵，，，平面，∴平面BDC．又∵AD平面ADC，∴平面平面DBC． 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是(　　) A．BP⊥AC B．PD⊥平面ABCD C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD 【答案】　B 【解析】如图，取线段BP的中点O，连接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC，又OA∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A正确；又AC⊥BD，BP∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PD，故选项C正确；又AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD． 4．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是___________ ①为的中点  ②与所成的角为 ③BD⊥平面 ④三棱锥与四棱锥的体积之比等于 【答案】①③④ 【解析】连接，设，连接，因为截面与直线平行，因为平面平面，平面，所以，因为是的中点，所以为的中点，故①正确； 因为是正方形，所以，因此是与所成的角，因为底面，平面，所以，因为，所以，因此②不正确；因为底面，平面，所以，因为是正方形，所以，因为平面， 所以BD⊥平面，因此③正确；，所以④正确。 5如图所示，在正三棱柱中，，则与侧面所成角的正弦值为 . 【答案】 【解析】如图，取的中点，连接，，则根据题意易得侧面，即为所求，又根据题意易知，，， 6．在正方体中，二面角的大小是 . 【答案】 【解析】在正方体中，平面.所以，所以是二面角的平面角，在直角中，，所以. 7．在长方体中，，，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【解析】如图所示，在长方体中，平面，平面，所以，又，所以为二面角的平面角，因为，，所以， 所以，即二面角的余弦值为． 8. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)． 【答案】　②(或③) 【解析】连接AC(图略)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.∵底面各边都相等，∴AC⊥BD. ∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. 当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 9.在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足，证明：AM⊥平面 【解析】联结AC，由知，，即， 由在直四棱柱中，平面ABCD，则 又，则平面ACM，又平面ACM， 则，又，则，由条件知， 且，故平面； 10. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 是的中点，点在棱上． (1)求四棱锥的全面积； (2)求证：． 【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴, 同理可得, ∴. (2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD， ∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD． ∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC． ∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF． 11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【解析】证明　(1)在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.，由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C. ①若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC1. ②已知B1C1＝2，B1C＝2，求△BCC1的周长． 【解析】①证明　∵点B1在底面ABC内的射影是点C，∴B1C⊥平面ABC， ∵AB⊂平面ABC，∴B1C⊥AB. 在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB， ∵BC∩B1C＝C，BC，B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1， ∵CC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥CC1. ②解　如图，延长BC至点E，使BC＝CE， 连接C1E，则B1C1綉CE，四边形B1CEC1为平行四边形，则C1E∥B1C. 由①知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC， ∵CE，BE⊂平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE， ∵C1E＝B1C＝2，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4， ∴CC1＝＝4，BC1＝＝2， ∴△BCC1的周长为2＋4＋2＝6＋2. 13.如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形. （1）求证：平面平面； （2）当时，求四棱锥的体积. 【解析】（1）为平行四边形.且， 点为的中点 ，，，又底面， 得，平面平面 又平面，平面平面 （2）由（1）可知，即， 又由题可知，又由底面，平面， 可得，平面，又 点到平面的距离为， 14.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点. (1)证明：△PBC是直角三角形； (2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 【解析】(1)证明　∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点.∴BC⊥AC. ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC， ∴△BPC是直角三角形. (2)解　如图，过A作AH⊥PC于H，连接BH， ∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH. 又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC， ∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角. ∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角， ∴tan∠PCA＝＝，又PA＝2，∴AC＝，∴在Rt△PAC中，AH＝＝， ∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝， 故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 15.如图，平面ABCD⊥平面ABE，且四边形ABCD为正方形，AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F为AC的中点. (1)求证：AC⊥平面BEF； (2)求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值. 【解析】(1)证明　因为AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°， 由余弦定理得BE＝＝， 所以AB2＋BE2＝AE2，所以BE⊥AB. 由于平面ABCD⊥平面ABE，且两个平面相交于AB， 所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC. 又因为AC⊥BF，BE∩BF＝B，BE，BF⊂平面BEF，所以AC⊥平面BEF. (2)解　根据VD－ACE＝VE－ACD，S△ACD＝，AC＝，EA＝EC＝2，则S△ACE＝. 因为VD－ACE＝VE－ACD，设D到平面ACE的距离为h， 则·S△ACE·h＝·S△ACD·BE，解得h＝. 设直线AD与平面ACE所成的角为θ，则sin θ＝＝. 所以直线AD与平面ACE所成的角的正弦值为. 16.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点． (1)求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 【解析】(1)证明　在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点， 所以BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD. (2)证明　如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为线段AD的中点， 所以PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB. 因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB. (3)解　能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：如图，取线段PC的中点F，连接DE，EF，DF. 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB. 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，PG⊥AD，所以PG⊥平面ABCD. 又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD. 17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点． （1）证明：平面； （2）设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：如图，连结，设与的交点为O，连接． 因为四边形为矩形，所以点O为的中点．又点E为的中点，所以．因为平面平面，所以平面． （2）解：作于点H． ∵平面，平面， ∴ 又∵为矩形，， ∴，由，可得． 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，故平面， 即的长就是点A到平面的距离． 因为，所以， 因此为与平面所成角，则． 18.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD. (1)求证：PD⊥平面ABCD； (2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长. 【解析】(1)证明　如图所示，E为BD的中点，连接AE，△ABD是正三角形，则AE⊥BD. ∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AE⊂平面ABCD， 故AE⊥平面PBD. ∵PD⊂平面PBD，故AE⊥PD. ∵PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB⊂平面ABCD，故PD⊥平面ABCD. (2)解　如图所示，过点E作EF⊥PB于点F，连接CF. ∵BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，故EC⊥BD， 故EC⊥平面PBD，∴CE⊥PB.又EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF，∴CF⊥PB， 故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角. ∵cos∠EFC＝，故tan∠EFC＝，又EC＝1，故EF＝， sin∠PBD＝＝，tan∠PBD＝，即＝，则PD＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$