专题6 二次函数综合问题-2024年浙江省中考数学一模试题汇编

专题6 二次函数综合问题 一．填空题 1．（2024•浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　 　； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　 　． 二．解答题 2．（2024•绍兴模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（，y3），点A与点B不重合． （1）若点A，B，C都在函数y＝2x的图象上，计算﹣y3的值． （2）若点A，B，C都在函数y＝2x2的图象上，求证：﹣y3＞0． （3）若点A，B，C都在函数y＝（x＞0，常数k≠0）的图象上，判断与y3的大小关系，并说明理由． 3．（2024•拱墅区二模）已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0． （1）当t＝0时． ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，求m，n之间的关系式． （2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 4．（2024•浙江一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N． （1）求抛物线表达式； （2）点，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形． ①求点E的坐标； ②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求的最小值． 5．（2024•台州模拟）图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线AB为对称轴的轴对称图形，其中曲线AC，AD，BE，BF均是抛物线的一部分． 素材1：某综合实践小组测量得到点A，B到地面距离分别为5米和4米．曲线AD的最低点到地面的距离是4米，与点A的水平距离是3米；曲线BF的最低点到地面的距离是米，与点B的水平距离是4米． 素材2：按图3的方式布置装饰灯带GH，GI，KL，MN，HJ，布置好后成轴对称分布，其中GI，KL，MN，HJ垂直于地面，GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米． 任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线AD的函数解析式； 任务二：（2）若灯带GH长度为d米，求MN的长度．（用含d的代数式表示）； 任务三：（3）求灯带总长度的最小值． 6．（2024•鄞州区模拟）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2． （1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 7．（2024•拱墅区校级模拟）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③． 【问题解决】 （1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 　 　（可省略单位），水池2面积的最大值是 　 　m2； （2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 　 　，此时的x（m）值是 　 　； （3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 　 　； （4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值． 8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数． （1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式； （2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式； （3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值． 9．（2024•南湖区校级一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米． 素材2 现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处．草坡的长度为米． 问题解决 任务1 请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 任务2 当喷灌架底部位于点O处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处． 任务3 草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度为3米的树AB需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点O处时，请通过计算说明树AB能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动k米，若要使树AB被喷灌到，求k的取值范围． 10．（2024•拱墅区模拟）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为（0，c）（c≥0），抛物线的函数表达式中二次项系数为a． （1）当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若c＝1，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． （2）为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 11．（2024•宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y＝y1+y2． （1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0． （2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式． （3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1﹣x2的值． 12．（2024•台州一模）图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段AC，线段BD，曲线AB，曲线CD围成的封闭图形，且AC∥BD，BD在x轴上，曲线AB与曲线CD关于y轴对称．已知曲线CD是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p为常数，8≤p≤40）． （1）当p＝10时，求曲线AB的函数解析式． （2）如图3，用三段塑料管EF，FG，EH围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E，F分别在曲线CD，曲线AB上，G，H在x轴上． ①记EF＝70米时所需的塑料管总长度为L1，EF＝60米时所需的塑料管总长度为L2．若L1＜L2，求p的取值范围． ②当EF与AC的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 13．（2024•杭州模拟）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 … 【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围． 14．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数y＝﹣x2+2tx+3． （1）若它的图象经过点（1，3），求该函数的对称轴． （2）若0≤x≤4时，y的最小值为1，求出t的值． （3）如果A（m﹣2，n），C（m，n）两点都在这个二次函数的图象上，直线y＝2mx+a与该二次函数交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1+x2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 15．（2024•温州模拟）根据以下素材，探索完成任务 研究植物叶片的生长状况 背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且经过原点． 心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G． 问题解决 任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度EE′． 16．（2024•浙江一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P． （1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式； （2）设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），x1＜x2＜﹣2，比较y1与y2的大小； （3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，求出m的取值范围． 17．（2024•义乌市模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当t＝2时， ①直接写出b与a满足的等量关系； ②比较m，n的大小，并说明理由； （2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围． 18．（2024•湖州一模）定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]． 如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6． 请根据以上信息，完成以下问题： 已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）． （1）若a＝2． ①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值； ②已知，求p的值． （2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值． 19．（2024•新昌县一模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）． （1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式． （2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4． 20．（2024•北仑区一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识!通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间t与地铁到停止线的距离S之间的表格信息： t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： （1）依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； （2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 　 　函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； （3）地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间． （停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 21．（2024•湖州一模）某校风雨操场使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为x（米）（x≥0），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如表所示． x（米） 0 0.4 1 1.6 ⋯ y（米） 2 2.16 2.25 2.16 ⋯ （1）球经发球机发出后，最高点离地面 　 　米；求y与x的函数解析式； （2）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与x≥0）之间满足函数关系． ①为确保球在米高度时能接到球，求球拍的接球位置与发球机的水平距离是多少米； ②通过计算判断第一、二次发球后飞行过程中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 22．（2024•衢州一模）综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边CD＝x，矩形种值园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边AB为墙MN的一部分） 思考二：将墙MN的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙MN为边AB的一部分） 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的S的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 23．（2024•宁波一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD． 素材2 已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元． 问题解决 任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 当CC′＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造． 任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出CC′的最大值． 答案与解析 一．填空题 1．（2024•浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　6　； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　　． 【点拨】（1）设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），再用待定系数法即可求解； （2）确定直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c，求出x1+x2＝，x1x2＝﹣9，进而求解． 【解析】解：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c， 则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c）， 将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：， 即抛物线的表达式为：y＝x2+c①， PQ＝2xQ＝6， 故答案为：6； （2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK＝45°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°， 设直线CH的解析式为y＝x+b， 将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②， 联立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0， 则x1+x2＝，x1x2＝﹣9， 则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝， 则|x1﹣x2|＝， 由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°， 则CH＝|x1﹣x2|＝， 故答案为：． 也可采取以下方法： 设过点C（6，8）的直线和x轴的夹角为45°， 故设该直线的表达式为：y＝x+b， 将点C的坐标代入上式得：8＝6+b， 解得：b＝2， 则直线的表达式为：y＝x+2， 由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2， 联立上述两式得：x2＝x+2， 解得：x＝6或﹣1.5， 则|x1﹣x2|＝|6+1.5|＝7.5， 则CH＝7.5×＝． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 二．解答题 2．（2024•绍兴模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（，y3），点A与点B不重合． （1）若点A，B，C都在函数y＝2x的图象上，计算﹣y3的值． （2）若点A，B，C都在函数y＝2x2的图象上，求证：﹣y3＞0． （3）若点A，B，C都在函数y＝（x＞0，常数k≠0）的图象上，判断与y3的大小关系，并说明理由． 【点拨】（1）将点的坐标代入解析式，再作差即可； （2）将点的坐标代入解析式，再作差即可； （3）将点的坐标代入解析式，再作差比较即可． 【解析】（1）解：∵点A，B，C都在函数y＝2x的图象上， ∴y1＝2x1，y2＝2x2，y3＝x1+x2， ∴﹣y3＝x1+x2﹣（x1+x2）＝0， ∴﹣y3＝0； （2）证明：∵点A，B，C都在函数y＝2x2的图象上， ∴y1＝2，y2＝2，y3＝2×（）2， ∴﹣y3＝+﹣＝＝＞0， ∴﹣y3＞0； （3）解：∵点A，B，C都在函数y＝（x＞0，常数k≠0）的图象上， ∴y1＝，y2＝，y3＝， ∴﹣y3＝﹣＝， ∵x＞0， ∴＞0， ∴＞y3． 【点睛】本题考查函数的综合应用，熟练掌握作差法比较大小，完全平方公式的应用是解题的关键． 3．（2024•拱墅区二模）已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0． （1）当t＝0时． ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，求m，n之间的关系式． （2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 【点拨】（1）①把O（0，0），A（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，可求出y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x；而y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，故当x为4时，y有最大值，最大值为4； ②根据当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，可得﹣（m﹣4）2+4＝﹣（n﹣4）2+4，即可求出m+n＝8； （2）把二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），，可求出y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，故抛物线y＝﹣x2+x的对称轴为直线x＝；①当≥8，即t≥8时，﹣×82+×8＝18，解得t的值即可知当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18；②当＜8，即0＜t＜8时，有＝18，可解得：t＝﹣12﹣8（小于0，舍去）或t＝12﹣8（大于8，舍去）． 【解析】解：（1）当t＝0时，A（8，0）， ①把O（0，0），A（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x； ∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4， ∴当x为4时，y有最大值，最大值为4； ②∵当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等， ∴﹣（m﹣4）2+4＝﹣（n﹣4）2+4， ∴（m﹣n）（m+n﹣8）＝0， ∵m﹣n≠0， ∴m+n＝8； （2）在0≤x≤8范围内，y存在最大值18，理由如下： ∵二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+， ∴抛物线y＝﹣x2+x的对称轴为直线x＝； ①当≥8，即t≥8时， x＝8，y＝﹣x2+x取得最大值， ∴﹣×82+×8＝18， 解得：t＝9， ∴当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18； ②当＜8，即0＜t＜8时， y＝﹣x2+x在顶点处取最大值， ∴＝18， 解得：t＝﹣12﹣8（小于0，舍去）或t＝12﹣8（大于8，舍去）， 综上所述，当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 4．（2024•浙江一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N． （1）求抛物线表达式； （2）点，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形． ①求点E的坐标； ②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求的最小值． 【点拨】（1）将点B、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由Q坐标求出BQ解析式，然后根据四边形ANEM是平行四边形和△BME≌△AOM得出BM＝OA＝4，再分类讨论求得M和E的坐标； ②求出AM解析式，交点为P，再求出H坐标，然后由两点间距离公式求出BP和BH长度，因为旋转不改变长度，所以BP1长度不变，当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，所以此时OH1等于BO﹣BH，然后代入计算即可． 【解析】解：（1）①抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴OA＝4， 设直线BQ的解析式为y＝kx+b1， ∵B（﹣6，0），， ∴， 解得， ∴直线BQ的解析式为， ∵N为BQ与y轴交点， ∴N（0，2）， ∴AN＝2， ∵四边形ANEM是平行四边形， ∴AN∥EM且EM＝AN＝2，且点E在点M下方， ∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM， ∴BM＝OA＝4， ∵B（﹣6，0）， ∴M（﹣2，0）或（﹣10，0）， 若M为（﹣2，0）， ∵∠BME＝∠AOM＝90°， 故E（﹣2，﹣2）， 若M为（﹣10，0）， ∵OM＝ME＝2，此时OM＝10，（矛盾，舍去）， 综上，点E的坐标为（﹣2，﹣2）； ②如图，设AM的解析式为y＝kx+b， ∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A， ∴点A的坐标为（0，4）， 将点A（0，4）、M（﹣2，0）的坐标代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴AM的解析式为y＝2x+4， AM与BQ相交于点P， ∴， 解得， 所以点P的坐标为， 设直线BE的解析式为y＝mx+n， 将点B、E的坐标代入直线BE的解析式得： ， 解得， 所以直线BE的解析式为， BE与AM相交于点H， ∴， 解得， ∴点H的坐标为， ∴BP＝， BH＝， ∴， 当H旋转到x轴上时，此时OH1最短， ∴OH1＝BO﹣BH＝， ∴＝＝； 方法二：提示：可证△BHP是等腰直角三角形 则等腰Rt△BH1P1， 取F（0，6），则等腰Rt△BOF，△BH1O与△BP1F相似， ∴， ∴＝BP1+FP1≥BF， 即1≥6， 故的最小值． 【点睛】本题考查了抛物线的综合运用，利用待定系数法求函数的解析式，找出相关点坐标，逐步分析求解是解题的关键． 5．（2024•台州模拟）图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线AB为对称轴的轴对称图形，其中曲线AC，AD，BE，BF均是抛物线的一部分． 素材1：某综合实践小组测量得到点A，B到地面距离分别为5米和4米．曲线AD的最低点到地面的距离是4米，与点A的水平距离是3米；曲线BF的最低点到地面的距离是米，与点B的水平距离是4米． 素材2：按图3的方式布置装饰灯带GH，GI，KL，MN，HJ，布置好后成轴对称分布，其中GI，KL，MN，HJ垂直于地面，GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米． 任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线AD的函数解析式； 任务二：（2）若灯带GH长度为d米，求MN的长度．（用含d的代数式表示）； 任务三：（3）求灯带总长度的最小值． 【点拨】（1）以地面所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，根据题意用待定系数法求解析式即可； （2）根据图象关于y轴对称，可求出点H的横坐标，再根据GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米，可求出点M的横坐标，再根据点M在曲线AD上，求出M的纵坐标，从而得出MN的长度； （3）先用待定系数法求出曲线BF的解析式，再设灯带总长度为w，GH＝d，根据w＝2MN+2HJ+GH得出w关于d的二次函数解析式，根据函数的性质求w的最小值即可． 【解析】解：（1）如图，以地面所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系， 设曲线AD的函数解析式为y＝a（x﹣3）2+4， 代入A（0，5）得：5＝a（0﹣3）2+4， 解得：a＝， ∴曲线AD的函数解析式为y＝（x﹣3）2+4； （2）∵GH长度为d米， ∴xH＝， ∵GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米， ∴xM＝﹣1， 则yM＝（﹣1﹣3）2+4＝d2﹣d+， ∴MN＝d2﹣d+； （3）设曲线BF的函数解析式为：， 代入B（0，4）得：， 解得：， ∴曲线BF的函数解析式为， 设灯带总长度为w，GH＝d， 则w＝2MN+2HJ+GH＝＝＝（d﹣2）2+， ∵＞0， ∴当x＝2时，w有最小值，最小值为． ∴灯带总长度的最小值为米． 【点睛】本题考查二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 6．（2024•鄞州区模拟）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2． （1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【点拨】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标； （2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标； ②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值． 【解析】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3， ∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3， ∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）； （2）①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N， ∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3）， ∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|， ∵MN＝6a， ∴|3am2﹣3am|＝6a， 解得m＝﹣1或m＝2， ∴P（﹣1，0）或（2，0）． ②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣3， 当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3， 当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2， 且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3， ∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）； 当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3， ∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）； Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2， 函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3； ∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a， 解得a＝（舍）； Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去； 综上，a的值为2﹣或． 【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 7．（2024•拱墅区校级模拟）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③． 【问题解决】 （1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 　3≤x＜6　（可省略单位），水池2面积的最大值是 　9　m2； （2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 　C，E　，此时的x（m）值是 　1或4　； （3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 　0＜x＜1或4＜x＜6　； （4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值． 【点拨】（1）依据函数图象和函数解析式，利用二次函数的性质解答即可； （2）利用图象交点的数学意义解答即可； （3）依据图象，利用数形结合法解答即可； （4）在1＜x＜4范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可； （5）令y3＝y2，得到关于x的一元二次方程，解Δ＝0的方程即可求得b值． 【解析】解：（1）∵y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9， 又∵﹣1＜0， ∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小， ∵0＜x＜6， ∴当3≤x＜6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2． 故答案为：3≤x＜6；9； （2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即： x+4＝﹣x2+6x， 解得：x＝1或4， ∴表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4． 故答案为：C，E；1或4； （3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， 即当0＜x＜1或4＜x＜6时，水池1的面积大于水池2的面积， 故答案为：0＜x＜1或4＜x＜6； （4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G， 则线段FG表示两个水池面积差， 设F（m，﹣m2+6m），则G（m，m+4）， ∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣+， ∵﹣1＜0， ∴当m＝时，FG有最大值为． ∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为； （5）∵水池3与水池2的面积相等， ∴y3＝y2， 即：x+b＝﹣x2+6x， ∴x2﹣5x+b＝0． ∵若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0， 解得：b＝． ∴若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为米． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，图象上点的坐标的实际意义，配方法求二次函数的极值，二次函数与二次方程的联系，充分理解函数图象上点的坐标的数学意义是解题的关键． 8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数． （1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式； （2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式； （3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值． 【点拨】（1）由新定义即可求解； （2）求出c＝﹣7a，得到抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），即可求解； （3）由MH2＝AH•DH，即可求解． 【解析】解：（1）y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6， 则该函数的顶点坐标为：（﹣3，﹣6）， 则该顶点关于（1，0）的对称点为（5，6）， 则“中心对称”函数的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，则顶点坐标为：（﹣1，c﹣a）， 则“中心对称”函数的顶点坐标为：（3，a﹣c）， 则“中心对称”函数的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c， 将（﹣1，c﹣a）代入上式得：c﹣a＝﹣a（﹣1﹣3）2+a﹣c， 解得：c＝﹣7a， 则抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7）， 当时，即﹣5≤x≤2， 则抛物线在x＝﹣5时，取得最大值为2， 即a（25﹣10﹣7）＝2， 解得：a＝， 则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣； （3）如下图： 设点A、D的横坐标分别为：x1，x2，Δ＝b2﹣4ac， 则点M的坐标为：（﹣，），x1＝， 根据点的对称性，点D的横坐标x2＝2﹣x1， 由点A、H的坐标得，AB＝﹣， 则BP＝1﹣， 若AB＝2BP，即＝2﹣×2， 整理得：2a+b＝﹣2， 当四边形AMDN为矩形时，则∠AMD＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H， 在Rt△ADM中，tan∠MDH＝＝tan∠AMH＝， 则MH2＝AH•DH， 而MH＝﹣，AH＝﹣﹣（）＝﹣，DH＝（2﹣xA﹣xH）， 则（﹣）2＝×（2﹣xA﹣xH）， 整理得：＝﹣（2b+4a﹣）， 将2a+b＝2代入上式得：＝﹣×（﹣5）， 解得：Δ＝20， 即b2﹣4ac＝20． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中． 9．（2024•南湖区校级一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米． 素材2 现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处．草坡的长度为米． 问题解决 任务1 请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 任务2 当喷灌架底部位于点O处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处． 任务3 草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度为3米的树AB需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点O处时，请通过计算说明树AB能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动k米，若要使树AB被喷灌到，求k的取值范围． 【点拨】任务1：依据题意，以点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立坐标系，由抛物线的顶点坐标为（20，11），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+11， 把点（0，1）代入解析式求出a即可得解； 任务2：依据题意，设草坡最远处为点C，过点C作CD⊥x轴于点D，再由喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处．草坡的长度为 米，可得，CD：OD＝1：10，设CD＝x，OD＝10x，从而，进而可得x的值，故求出C的坐标，再由当x＝40时，求出y的值，进而可以判断得解． 任务3：依据题意，延长BA交x轴于点M，AB＝3，OM＝30，坡度为1：10，从而AM：OM＝1：10，求得A（30，3），再由当x＝30时，求出y的值，即可判断树AB是否被灌溉到．又由题意可知，将喷灌架向正后方向移动k米，可得移动后的解析式为 ，再将x＝30代入解析式，结合若要使树AB被喷灌到，可得 ，进而可以判断得解． 【解析】解：任务1：以点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立坐标系，如图： 由题意得：抛物线的顶点坐标为（20，11）． ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+11， 把点（0，1）代入解析式得：400a+11＝1， 解得：a＝﹣， ∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣20）2+11． 任务2：不能． 理由：如图，设草坡最远处为点C，过点C作CD⊥x轴于点D． 由题意可知，喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处．草坡的长度为 米， ∴，CD：OD＝1：10． 设CD＝x，OD＝10x， 由题意得：， ∴x＝4． ∴CD＝4，OD＝40． ∴C（40，4）． 在抛物线 中，当x＝40时，． ∵1＜4， ∴水流无法喷灌到草坡最远处． 任务3：树AB能被灌溉到，理由如下：由题意可知，延长BA交x轴于点M， 由题意可知，AB＝3，OM＝30，坡度为1：10， ∴AM：OM＝1：10， ∴AM＝3， ∴A（30，3）． BM＝6， 在抛物线 中，当x＝30时，， ∵8.5＞6， ∴树AB可以被灌溉到． 又由题意可知，将喷灌架向正后方向移动k米， ∴移动后的解析式为 ． 当x＝30时，， 若要使树AB被喷灌到， ∴． ∴ （舍）． ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 10．（2024•拱墅区模拟）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为（0，c）（c≥0），抛物线的函数表达式中二次项系数为a． （1）当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若c＝1，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． （2）为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 【点拨】（1）①依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+6，当t＝1时，把（0，1）代入函数表达式即可得解；②依据题意，把（0，c）代入y＝a（x﹣4）2+6即可得解； （2）依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+h，利用4a﹣c+＝0，得出a与c的关系，将（0，c）代入y＝a（x﹣6）2+h，即可得解． 【解析】解：（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+6． 当t＝1时，把（0，1）代入函数表达式，得 1＝16a+6． ∴a＝﹣． ∴第一象限内水柱的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+6． ②把（0，c）代入y＝a（x﹣4）2+6， 得c＝a（0﹣4）2+6， 得a＝． （2）由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+h． ∵4a﹣c+＝0， ∴a＝． 把（0，c）代入y＝a（x﹣6）2+h，得c＝36a+h， ∴c＝c﹣8+h． ∴h＝8． ∴水柱达到的最大高度8米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能利用数形结合思想是关键． 11．（2024•宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y＝y1+y2． （1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0． （2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式． （3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1﹣x2的值． 【点拨】（1）把y1与y2相加得y＝ax2+（a+b）x+am+c，把点Q代入y，再计算即可． （2）设A（t，0），代入y1得y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0）得y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk， 故y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，再计算即可． （3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），计算得x1＝k+1． 由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，计算得x2＝k．故x1﹣x2＝k+1﹣k＝1． 【解析】解：（1）∵y1＝a（x+m），， ∴y＝y1+y2＝a（x+m）+ax2+bx+c＝ax2+（a+b）x+am+c， ∵点Q（0，q）在函数y的图象上， ∴q＝am+c， 即q﹣c＝am， ∵q＞c， ∴am＞0． （2）设A（t，0），代入y1＝a（x+m）得： 0＝a（t+m）， ∵a≠0， ∴t+m＝0， ∴m＝﹣t， y1＝a（x﹣t）． 设B（k，0），又A（t，0）， ∴y2＝a（x﹣t）（x﹣k）＝ax2﹣（at+ak）x+atk， ∴y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at， 设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q， ∴p+q＝＝t+k，pq＝＝tk， ∴＝（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝（t+k）2﹣4tk＝t2+k2﹣2tk， 即＝t2+k2﹣2tk＝（t﹣k）2， ∴d1＝， 设y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at两根为r、s， ∴r+s＝＝k+t﹣1，rs＝＝kt﹣t， ∴＝（r﹣s）2＝（r+s）2﹣4rs＝（k+t﹣1）2﹣4（kt﹣t）＝k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1， ∴﹣＝|（t2+k2﹣2tk）﹣（k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1）|＝|2（k﹣t）﹣1|＝±2d1﹣1， 答：d1，d2的数量关系式是：﹣＝±2d1﹣1． （3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k）， 得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k）， ∴a（x﹣t）（x﹣k）﹣a（x﹣t）＝0， ∴a（x﹣t）（x﹣k﹣1）＝0， ∴x＝t，x＝k+1， 即A（t，0），x1＝k+1． 由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk， 得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk， ∴ax2﹣（at+ak）x+atk＝0， ∴x2﹣（t+k）x+tk＝0， ∴（x﹣t）（x﹣k）＝0， ∴x＝t，x＝k， 即A（t，0），x2＝k． ∴x1﹣x2＝k+1﹣k＝1． 【点睛】本题考查了抛物线的知识，掌握抛物线的性质是解题关键． 12．（2024•台州一模）图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段AC，线段BD，曲线AB，曲线CD围成的封闭图形，且AC∥BD，BD在x轴上，曲线AB与曲线CD关于y轴对称．已知曲线CD是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p为常数，8≤p≤40）． （1）当p＝10时，求曲线AB的函数解析式． （2）如图3，用三段塑料管EF，FG，EH围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E，F分别在曲线CD，曲线AB上，G，H在x轴上． ①记EF＝70米时所需的塑料管总长度为L1，EF＝60米时所需的塑料管总长度为L2．若L1＜L2，求p的取值范围． ②当EF与AC的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 【点拨】（1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线AB的解析式； （2）①设E1（35，y1），E2（30，y2），根据L1＜L2，得出关于p的不等式解得即可；②设EF﹣AC＝2d，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案． 【解析】解：（1）当p＝10时，C坐标为（10，40）， 由对称得点A坐标为（﹣10，40）， ∴抛物线AB的解析式为：； （2）①根据题意，设E1（35，y1），E2（30，y2）， ∵L1＜L2， ∴35+y1＜30+y2， 即：， 化简得：65﹣2p＞20， ∴， ∴； ②解：设EF﹣AC＝2d，三段塑料管总长度为L， 根据题意可得：， ∴， 化简得：， 当d＝10时，L有最大值110， ∴当EF与AC的差为20m时，三段塑料管总长度最大，最大值为110m． 【点睛】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．（2024•杭州模拟）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 … 【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围． 【点拨】任务1：易得抛物线的顶点坐标为（6，18），用顶点式设出抛物线解析式，把（0，0）代入后可求得a的值，即可求得抛物线解析式； 任务2：用含x的式子表示出t，代入任务1得到的函数解析式可得y关于x的函数解析式，水火箭落地，那么高度为0，函数值取0可求得相应的x的值，找到符合题意的解即可； 任务3：设PQ的长度为c．那么水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c．把点A、B的坐标代入函数解析式可得c的值，进而可得c也就是PQ的取值范围． 【解析】解：任务1：∵二次函数经过点（4，16），（8，16）， ∴抛物线的顶点坐标为（6，18）． 设抛物线解析式为：y＝a（t﹣6）2+18． ∵抛物线经过点（0，0）， ∴36a+18＝0． 解得：a＝﹣． ∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣（t﹣6）2+18； 任务2：∵x＝3t， ∴t＝． ∴y＝﹣（﹣6）2+18 ＝﹣x2+2x． 当水火箭落地（高度为0m）时，﹣x2+2x＝0． 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝36． 答：水火箭飞行的水平距离为36米； 任务3：设PQ的长度为c． ∴水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c． ①当抛物线经过点A时． ∵AP＝42m， ∴点A的坐标为（42，0）． ∴﹣×422+2×42+c＝0． 解得：c＝14． ②当抛物线经过点B时． ∵AP＝42m，． ∴BP＝（18+18）m． ∴点B的坐标为（18+18，0）． ∴﹣×（18+18）2+2×（18+18）+c＝0． 解得：c＝18． ∵水火箭落到AB内（包括端点A，B）， ∴14m≤c≤18m． ∴14m≤PQ≤18m． 答：发射台高度PQ的取值范围为：14m≤PQ≤18m． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数经过点（x1，y），（x2，y），抛物线的对称轴为直线x＝；二次函数上下平移，只改变常数项，上加下减． 14．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数y＝﹣x2+2tx+3． （1）若它的图象经过点（1，3），求该函数的对称轴． （2）若0≤x≤4时，y的最小值为1，求出t的值． （3）如果A（m﹣2，n），C（m，n）两点都在这个二次函数的图象上，直线y＝2mx+a与该二次函数交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1+x2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【点拨】（1）把（1，3）代入解析式求出t＝，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及x＝0时y＝3，由函数的性质可知，当x＝4时，y的最小值为1，然后求t即可； （3）A（m﹣2，n），C（m，n）两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出m﹣t＝1，再令﹣x2+2tx+3＝2mx+a，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出x1+x2＝﹣2． 【解析】解：（1）将（1，3）代入二次函数y＝﹣x2+2tx+3，得3＝﹣1+2t+3， 解得t＝， ∴对称轴直线为x＝﹣＝t＝； （2）当x＝0时，y＝3， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝t， ∴当x＝t时，y有最大值， ∵0≤x≤4时，y的最小值为1， ∴当x＝4时，y＝﹣16+8t+3＝1， 解得t＝； （3）x1+x2是定值，理由： ∵A（m﹣2，n），C（m，n）两点都在这个二次函数的图象上， ∴x＝t＝＝m﹣1， ∴m﹣t＝1， 令﹣x2+2tx+3＝2mx+a， 整理得：x2+2（m﹣t）x+a﹣3＝0， ∵直线y＝2mx+a与该二次函数交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点， ∴x1，x2是方程x2+2（m﹣t）x+a﹣3＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣＝﹣2（m﹣t）＝﹣2是定值． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 15．（2024•温州模拟）根据以下素材，探索完成任务 研究植物叶片的生长状况 背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且经过原点． 心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G． 问题解决 任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度EE′． 【点拨】（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5求出m值即可得到抛物线解析式，配方成顶点式可得顶点坐标； （2）分别根据解析式求出A（﹣2，0），B（0，2），F（6，8），E（6，3），根据对称性可得到△EFG是等腰直角三角形，求出EG再乘2 即可． 【解析】解：（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5得：﹣20m+5＝0， ∴m＝， ∴抛物线解析式为：y＝， ∴顶点D的坐标为（2，﹣1）． （2）∵直线AB的解析式为y＝x+2， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2， ∴∠ABO＝45°， 在y＝x+2中，当x＝6时，y＝8， 在y＝中，当x＝6时，y＝3， ∴F（6，8），E（6，3）， ∴EF＝8﹣3＝5， ∵EF∥OB， ∴∠GFE＝∠ABO＝45°， ∵点E、E′是叶片上的一对对称点， ∴EE′＝2EG，EG⊥FG， ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴EG＝＝， ∴EE′＝2EG＝5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质和图形对称是解答本题的关键． 16．（2024•浙江一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P． （1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式； （2）设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），x1＜x2＜﹣2，比较y1与y2的大小； （3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，求出m的取值范围． 【点拨】（1）将（﹣1，﹣2）代入解析式求解． （2）将x＝﹣2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得yp取最小值时m的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解． （3）分别将点A，B坐标代入解析式求解． 【解析】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2＝1+2m+m2﹣2， 解得m＝﹣1， ∴y＝x2+2x﹣1． （2）将x＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得yP＝m2+4m+2＝（m+2）2﹣2， ∴m＝﹣2时，yp取最小值， ∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2， ∴x＜﹣2时，y随x增大而减小， ∵x1＜x2＜﹣2， ∴y1＞y2． （3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2， ∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2）， ∴抛物线随m值的变化而左右平移， 将（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2＝2， 解得m＝2或m＝﹣2， 将（2，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得2＝4﹣4m+m2﹣2， 解得m＝0或m＝4， ∴﹣2≤m≤0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点， 2≤m≤4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点． ∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 17．（2024•义乌市模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当t＝2时， ①直接写出b与a满足的等量关系； ②比较m，n的大小，并说明理由； （2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围． 【点拨】（1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，解得≤t≤3． 【解析】解：（1）①∵t＝﹣＝2， ∴b＝﹣4a； ②∵抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，对称轴为直线x＝2， ∴点A（﹣1，m）到对称轴的距离大于点B（3，n）到对称轴的距离， ∴m＞n； （2）由题意可知，点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧， ∵3＜x0＜4，都有m＞p＞n， ∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴，解得≤t≤3， ∴t的取值范围是≤t≤3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． 18．（2024•湖州一模）定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]． 如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6． 请根据以上信息，完成以下问题： 已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）． （1）若a＝2． ①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值； ②已知，求p的值． （2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值． 【点拨】（1）①将a值代入运算即可，利用新定义的规定计算即可； ②令y＝3，求得x值，再利用新定义的规定解答即可； （2）利用待定系数法求得a值，再利用分类讨论的方法，依据新定义的规定列出关于k的方程解答即可． 【解析】解：（1）①∵a＝2， ∴y＝x2﹣4x+3． ∵[1，4]， ∴1≤x≤4． ∴当x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝3，取得最大值， ∴M[1，4]＝3； ②∵， ∴当p≤x≤时，函数y取得最大值3， 令y＝3，则x2﹣4x+3＝3， ∴x＝0或x＝4． ∴p＝0． （2）∵该函数的图象经过点（0，0）， ∴a2﹣1＝0， ∴a＝±1． 当a＝1时，y＝﹣4x， ∵M[﹣3，k]＝k， ∴k＝﹣4×（﹣3）＝12， ∴k＝12． 当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x． ∵y＝﹣2（x+1）2+2， ∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2， ∵M[﹣3，k]＝k， ∴﹣2k2﹣4k＝k， ∴k＝0（不合题意，舍去）或k＝﹣． ∵当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x． ∵y＝﹣2（x+1）2+2， ∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2， ∴k＝2． 当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为2， ∴k＝2． 综上，k的值为12或k＝﹣或k＝2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式，一次函数的性质，待定系数法，二次函数图象的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 19．（2024•新昌县一模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）． （1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式． （2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4． 【点拨】（1）根据待定系数法即可求得； （2）求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线x＝m﹣，根据二次函数的性质即可得出m﹣≥﹣2，解得即可； （3）把（0，a），（3，b）两点代入y＝（x﹣m）（x﹣n），表示出a和b，然后将ab配方可得． 【解析】解：（1）当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n）， 把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n）， ∴n＝﹣4， ∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4； （2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n）， ∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， ∴n＝m﹣1， ∴对称轴为直线x＝m﹣， ∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小， ∴m﹣≥﹣2， ∴m≥﹣； （3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）， ∴a＝mn，b＝（3﹣m）•（3﹣n）， ∴ab＝mn•（3﹣m）•（3﹣n） ＝m（3﹣m）•n（3﹣n） ＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]， ∵2≤m＜n≤3， ∴0＜﹣（m﹣）2+≤2， 0≤﹣（n﹣）2+＜2， ∴0≤ab＜4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 20．（2024•北仑区一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识!通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间t与地铁到停止线的距离S之间的表格信息： t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： （1）依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； （2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 　二次　函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； （3）地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间． （停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 【点拨】（1）根据描点，连线，画出函数图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解；待定系数法求二次函数解析式即可求解； （3）将S＝0代入，解方程即可求出t的值，再用60﹣t即可得出结论． 【解析】解：（1）描点，连线，如图： （2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数， 设S＝at2+bt+c，将点（0，256）代入得：c＝256， 将（4，196），（8，144）代入S＝ax2+bx+256中， 得：， 解得：， ∴该函数的表达式为S＝x2﹣16x+256； 故答案为：二次； （3）依题意，当S＝0时，x2﹣16x+256＝0， 解得：t1＝t2＝32， ∴60﹣32＝28， ∴地铁的停靠时间为28秒． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌掌握二次函数性质是解题的关键． 21．（2024•湖州一模）某校风雨操场使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为x（米）（x≥0），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如表所示． x（米） 0 0.4 1 1.6 ⋯ y（米） 2 2.16 2.25 2.16 ⋯ （1）球经发球机发出后，最高点离地面 　2.25　米；求y与x的函数解析式； （2）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与x≥0）之间满足函数关系． ①为确保球在米高度时能接到球，求球拍的接球位置与发球机的水平距离是多少米； ②通过计算判断第一、二次发球后飞行过程中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 【点拨】（1）依据题意，抛物线的对称轴是直线x＝＝1，从而可得球经发球机发出后，最高点离地面的距离；又设y与x的函数解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25，结合过（0，2），求出a后即可得解； （2）①把y＝代入y＝﹣x2+x+，解方程求出x即可； ②依据题意，列出球的高度差的表达式为﹣（x﹣1）2+﹣（﹣x2+x+）＝﹣（x﹣）2+，从而由二次函数的性质进行判断可以得解． 【解析】解：（1）由题意，抛物线的对称轴是直线x＝＝1． ∴当x＝1时，y＝2.25，即顶点为（1，2.25）． ∴球经发球机发出后，最高点离地面2.25米， 故答案为：2.25； 设y与x的函数解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25， 将（0，2）代入y＝a（x﹣1）2+2.25， 解得a＝﹣， ∴y与x的函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25； （2）①当y＝时，﹣x2+x+＝， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去）， ∴球拍的接球位置与发球机的水平距离是2米； ②球的高度差为﹣（x﹣1）2+﹣（﹣x2+x+）＝﹣x2+x+2+x2﹣x﹣＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴当x＝时，球的高度差最大值为米， ∵＜1， ∴两球的高度差不能超过1米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并能将二次函数的问题转化为一元二次方程问题求解是关键． 22．（2024•衢州一模）综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边CD＝x，矩形种值园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边AB为墙MN的一部分） 思考二：将墙MN的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙MN为边AB的一部分） 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的S的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【点拨】（1）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可； （2）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可． 【解析】解：（1）思路1：设CD＝x，则BC＝， ∴S＝x•＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200， ∵﹣＜0，0＜x≤12， ∴当x＝12时，Smax＝168； 思路2：设AB＝CD＝x，则AD＝BC＝＝26﹣x， ∴S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169， ∵12≤x≤26， ∴当x＝13时，Smax＝169， ∵169＞168， ∴矩形种植园面积最大为169m2； （2）图示如下： 同（1）可分别求得： 思路1：∵CD＝x，则BC＝AD＝， ∴S＝x•＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣10）2+50， ∵0＜x≤12， ∴当x＝10时，S有最大值，最大值为50； 思路2：∵CD＝x，则BC＝AD＝＝16﹣x， ∴S＝x•（16﹣x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64， ∵﹣1＜0，12≤x≤16， ∴当x＝12时，S有最大值，最大值为48， ∵50＞48， 矩形种植园面积最大为50m2，此时CD＝10m，AD＝BC＝5m． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是函数性质的应用． 23．（2024•宁波一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD． 素材2 已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元． 问题解决 任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 当CC′＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造． 任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出CC′的最大值． 【点拨】（1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式； （2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C'、E'的坐标即可得到结论； （3）根据已知条件表示出G'、E'的坐标得到a的不等式，进而得到CC'的最大值． 【解析】解：（1）如图建立如图所示的坐标系， ∴A（0，1），C（6，3.4）， ∴y＝ax2+bx+1， ∵OF＝DF＝BD＝2，DE＝BC， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∴y＝ax2﹣10ax+1，将C（6，3.4）代入解析式得，， ∴， （2）如图，建立与（1）相同的坐标系， ∵CC＝1.2， ∴C为（6，4.6）， ∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1 将C（6，4.6）代入解析式得 ， ∴ ∴G为 ，G为 ， ∴， ∴共需改造经费 ， ∴能完成改造． （3）如图，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1， 则G为 （2，﹣16a+1），E为 （4，﹣24a+1）， ∴EE′+GG′＝﹣16a+1﹣24a+1﹣（+3.4）＝﹣40a﹣4， （﹣40a﹣4）×200×60≤32000， 解得 ， ∵CC′＝EE′＝﹣24a+1﹣3.4， ∴ 时，CC′的值最大，为1.6米． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，方案选择问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$