专题08 立体几何（核心考点）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题08 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解立体几何的结构 · 理解立体几何的三视图 · 理解立体几何的表面积 · 理解立体几何的体积 考点预测 · 常见的空间几何体 · 空间几何体的三视图 · 空间几何体的表面积 · 空间几何体的体积 课堂笔记 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 3．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 4.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线． (3)三视图的长度特征： “长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽． 5．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半． 6．多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 7．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图　 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 三者关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl 8.柱、锥、台和球的表面积和体积 　　　　名称 几何体　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 9．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 10．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3)平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 11．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 a⊂α 有无数个公共点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点 直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 直线a与平面α垂直 a⊥α (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有公共点 两平面相交 斜交 α∩β＝l 有一条公共直线 垂直 α⊥β且 α∩β＝a 12．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α， ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b 13.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β， a∩b＝P， a⊂α，b⊂α， ∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b 14．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (4)直线和平面垂直的性质： ①垂直于同一个平面的两条直线平行． ②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 15．直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°. 16．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围是0°≤θ≤180°. 17．平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 考点突破 考点1 常见的空间几何体 例1．下列关于棱柱的说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 例2．下列几何体中为圆锥的是（    ） A． B． C． D． 练习1．对于棱锥，下列叙述正确的是（    ） A．三棱锥共有三条棱 B．四棱锥共有四个面 C．五棱锥的顶点有五个 D．六棱锥有一个底面 2．下列说法中正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 3．下列几何体中，面的个数最少的是（    ） A．四面体 B．四棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 考点2 空间几何体的三视图 例1．下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（    ） A． B． C． D． 例2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 练习1．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 (填入所有可能的几何体前的编号)． ①三棱锥；    ②四棱锥；    ③三棱柱；    ④四棱柱；    ⑤圆锥；     ⑥圆柱． 3．用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为 ,最小值为 ． 考点3 空间几何体的表面积 例1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．44 B． C． D． 例2．在三棱锥中，已知平面ABC，且为正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 练习1．轴截面是等边三角形的圆锥的侧面积是8π，则圆锥的底面积为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 2．已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面．所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（    ） A． B． C． D． 考点4 空间几何体的体积 例1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为（    ） A． B．64 C．16 D．96 例2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 练习1．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（    ）． A． B． C． D． 2．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，底面，，且，，则该四面体的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、单选题 1．下列多面体中，属于五面体的是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 2．如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 3．一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（    ） A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形 B．各个面都是正三角形 C．三个侧面是全等的等腰三角形 D．顶点在底面上的射影为重心 4．如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是（      ） A． B． C． D． 5．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 6．一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是 A． B． C． D． 7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为                  主视图                    左视图                        俯视图 A． B． C． D． 二、填空题 8．若球的表面积为，则该球的半径是 ． 9．空间中构成几何体的基本元素是 . 10．已知P，A，B，C为球面上四点，且PA，PB，PC两两垂直，，，，则该球的表面积为 ． $$专题08 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解立体几何的结构 · 理解立体几何的三视图 · 理解立体几何的表面积 · 理解立体几何的体积 考点预测 · 常见的空间几何体 · 空间几何体的三视图 · 空间几何体的表面积 · 空间几何体的体积 课堂笔记 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 3．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 4.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线． (3)三视图的长度特征： “长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽． 5．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半． 6．多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 7．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图　 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 三者关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl 8.柱、锥、台和球的表面积和体积 　　　　名称 几何体　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 9．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 10．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3)平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 11．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 a⊂α 有无数个公共点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点 直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 直线a与平面α垂直 a⊥α (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有公共点 两平面相交 斜交 α∩β＝l 有一条公共直线 垂直 α⊥β且 α∩β＝a 12．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α， ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b 13.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β， a∩b＝P， a⊂α，b⊂α， ∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b 14．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (4)直线和平面垂直的性质： ①垂直于同一个平面的两条直线平行． ②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 15．直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°. 16．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围是0°≤θ≤180°. 17．平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 考点突破 考点1 常见的空间几何体 例1．下列关于棱柱的说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 【答案】D 【分析】根据棱柱的结构特征判断. 【详解】A.棱柱的侧面是平行四边形，它的底面可以是平行四边形，故错误； B.在直棱柱中，侧棱的长叫做棱柱的高，不是直棱柱，侧棱的长不叫做棱柱的高，故错误； C.棱柱中，也有可能存在两个侧面互相平行，故错误； D.棱柱中，上下底面一定平行，所以至少有两个面互相平行，故正确. 故选：D 例2．下列几何体中为圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的特征直接判定. 【详解】由图形知，A是圆锥，B是圆台，C是圆柱，D是球. 故选：A 练习1．对于棱锥，下列叙述正确的是（    ） A．三棱锥共有三条棱 B．四棱锥共有四个面 C．五棱锥的顶点有五个 D．六棱锥有一个底面 【答案】D 【分析】 根据棱锥的定义与分类，即可判断选项. 【详解】对于A，因为三棱锥共有六条棱，故A错误；对于B，因为四棱锥共有五个面，故B错误； 对于，因为五棱锥的顶点有六个，故错误；对于，根据棱锥的定义，D正确. 故选：D． 2．下列说法中正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 【答案】B 【分析】由几何体的结构特征逐项判断即可. 【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误； 因为圆锥的顶点与底面圆心连线垂直底面，所以圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，故B正确； 用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故错误； 当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误. 故选：B. 3．下列几何体中，面的个数最少的是（    ） A．四面体 B．四棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 【答案】A 【分析】结合各空间几何体的特征，直接判断即可. 【详解】四面体有4个面，四棱锥有5个面，四棱柱和四棱台有6个面. 故选：A 考点2 空间几何体的三视图 例1．下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别确定各图形的主视图和左视图，再进行判断. 【详解】以从前向后方向为主视方向，以从左向右方向为左视方向可得 选项A的主视图与左视图为形状相同的矩形，选项A错误， 选项B的主视图与左视图为形状相同的三角形，选项B错误， 选项C的主视图与左视图为形状相同的正方形，选项C错误 选项D的主视图为矩形，左视图为三角形，形状不一样，选项D正确， 故选：D. 例2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案． 【详解】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD： 由正方体的性质得 为直角三角形， 为正三角形 故选C 练习1．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从正前方看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】从正前方看，底层是一个长方形，长方形上面是一个圆． 故选：B． 2．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 (填入所有可能的几何体前的编号)． ①三棱锥；    ②四棱锥；    ③三棱柱；    ④四棱柱；    ⑤圆锥；     ⑥圆柱． 【答案】①②③⑤ 【详解】 故答案为①②③⑤. 3．用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为 ,最小值为 ． 【答案】14，9 【详解】试题分析：该几何体最多由个单位正方体块、最少个由单位正方体块搭成，故它的体积的最大值为，最小值为. 考点3 空间几何体的表面积 例1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．44 B． C． D． 【答案】D 【分析】复原出对应的几何体后根据三视图中的数据可得其表面积. 【详解】三视图对应的几何体为四棱锥，其底面为矩形，顶点在底面上的投影为矩形对角线的交点（如图所示），且，，高， 故底边上的高为， 底边上的高为， 四棱锥的表面积为，故选D. 例2．在三棱锥中，已知平面ABC，且为正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】等边三角形外接圆半径为,,故外接球半径为,表面积为,故选. 练习1．轴截面是等边三角形的圆锥的侧面积是8π，则圆锥的底面积为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】B 【分析】依题意设圆锥的底面半径为，母线为，则，根据圆锥的侧面积公式求出，即可求出底面积； 【详解】解：依题意设圆锥的底面半径为，母线为，高为，则， 所以，解得， 所以； 故选：B 2．已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面．所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，补形成长方体模型来解题. 【详解】如图所示，四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面所成角的正弦值为. 根据题意，可以补充成长方体。    且底面是边长为4的正方形，直线与平面所成角为, 则长宽高分别为4,4,4，即图形为正方体.外接球的球心为体对角线中点. 体对角线长刚好为球的直径，且.外接球的表面积为:. 故选：C． 3．若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为x，求出正方体的棱长即得解. 【详解】解：设正方体的棱长为x，则，即， 所以正方体的全面积为． 故选：A 考点4 空间几何体的体积 例1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为（    ） A． B．64 C．16 D．96 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为，再根据表面积求解得出棱长,进而求得体积即可. 【详解】设正方体的棱长为，则， ，故体积为. 故选：B 例2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出该几何体的结构特征，再去求该几何体的体积 【详解】由三视图可知，该几何体下半部为半径为1高为2的圆柱的一半， 上半部为半径为1 的球体的四分之一. 则该几何体的体积是 故选：B 练习1．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，求得圆锥的高和底面圆的半径，代入公式，即可求得答案. 【详解】如图所示： 为边长为4的正三角形，所以AB=AC=BC=4， 取BC中点为O，则， 所以圆锥的体积. 故选：C 2．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，底面，，且，，则该四面体的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据锥体的体积公式运算求解. 【详解】由题意可知：三棱锥的高为， 所以该四面体的体积为. 故选：B. 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图确定几何体为圆锥，再根据圆锥体积公式求结果. 【详解】根据三视图得几何体为圆锥，底面半径为3，母线长为5，所以高为 因此该几何体的体积为 故选：A 模拟演练 一、单选题 1．下列多面体中，属于五面体的是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 【答案】B 【分析】根据多面体的概念判断． 【详解】三棱锥只有4个面，三棱柱有五个面，四棱柱有六个面，五棱锥有六个面． 故选：B． 2．如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用长方体的表面展开图，判断即可. 【详解】长方体由展开图知道，有4个面是阴影，两个空白部分是相对的，剩余是4个阴影部分.则围成的是下面图形 . 故选：D． 3．一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（    ） A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形 B．各个面都是正三角形 C．三个侧面是全等的等腰三角形 D．顶点在底面上的射影为重心 【答案】A 【解析】利用正三棱锥和充要条件的定义逐一分析判断每一个选项得解. 【详解】A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意； B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误. C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA=VC=BC=AB，AC=VB时，不一定是正三棱锥，故该选项错误； D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形,其重心为,过点作平面ABC的垂线，连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥，所以该选项错误. 故选：A 4．如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个杯子形状相同可得底面积之比为高之比的平方，因此容积之比为高之比的立方，即可求解. 【详解】因为，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的， 所以底面半径比也是， 所以两个杯子的底面积之比为， 所以杯容积与杯容积之比， 故选：A 5．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【解析】对四个几何体逐一分析三视图，由此确定正确选项. 【详解】对于①，正方体的三个视图都相同，不符合题意； 对于②，圆锥的主视图和侧视图相同，与俯视图不相同，符合题意. 对于③，三棱台的三个视图都不相同，不符合题意； 对于④，正四棱锥的主视图和侧视图相同，与俯视图不相同，符合题意. 故符合题意的几何体为②④. 故选：D 6．一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】略 7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为                  主视图                    左视图                        俯视图 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三视图还原为实物图，再利用面积公式求解． 【详解】由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直棱柱， 其表面积等于． 二、填空题 8．若球的表面积为，则该球的半径是 ． 【答案】 【分析】根据球的表面积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，依题意，解得（负值已舍去）. 故答案为： 9．空间中构成几何体的基本元素是 . 【答案】点、线、面 【分析】根据空间几何体的结构特质，即可求解. 【详解】根据空间几何体的结构特征知，构成几何体的基本元素为点、线、面. 故答案为：点、线、面. 10．已知P，A，B，C为球面上四点，且PA，PB，PC两两垂直，，，，则该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意将三棱锥补充为完整的长方体，长方体的外接球表面积为所求． 【详解】因为PA，PB，PC两两垂直，故可将三棱锥补充为完整的长方体，如图所示 则三棱锥外接球等价于长方体的外接球 故外接球半径为 表面积为 故填 $$