6.4.2 正弦定理-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

２５　 ６．４．２ 　 正弦定理 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解正弦定理的推导过程; ◎ 初步掌握用正弦定理解三角形的方法． 重点:掌握用正弦定理解三角形的方法． 难点:理解相应条件下三角形的解的个数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．正弦定理 由三角形的面积公式 S△ABC ＝ １ ２absinC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２acsinB , 可得 １ ２bcsinA＝ １ ２acsinB , 即 bsinA＝asinB． 于是 a sinA ＝ b sinB． 同理可得 b sinB＝ c sinC． 因此,我们得到一个重要定理 a sinA ＝ sinB ＝ c ． 正弦定理:在一个三角形中,各边与其所对角的正弦值之比相等． ２．正弦定理可以解决下列两类问题: (１)已知两边及其中一边的对角,求其他两角和另一条边．此时解的个数不确定,可能是两个、一个或 无解． 这类问题可以通过计算来判断．讨论时应注意两点:一是其正弦值与“１”的大小关系,从而判断符合 正弦值的角是否存在;二是由此确定的角(０°,１８０°)有几个,它与已知角的和是否小于１８０°． (２)已知三角形的两个角和任意一边,求其他两边和另一个角．此时只有一个解． 　　 １ 已知两角及一边,解三角形 【例１】 在 △ABC 中,若 ∠A＝１２０°,∠B＝１５°,c＝４,求a． 【解题思路】 先用三角形的内角和公式求得 ∠C,再用正弦定理求a． 在 △ABC 中,由 ∠A＋∠B＋∠C＝１８０°,得 ∠C＝１８０°－∠A－∠B＝１８０°－１２０°－１５°＝４５°． 由正弦定理可知, ２６　 a sinA ＝ c sinC． 于是, a＝ csinA sinC ＝ ４×sin１２０° sin４５° ＝ ４× ３ ２ ２ ２ ＝２６, 因此,a＝２６． 变式训练１ 在 △ABC 中,若 ∠A＝４５°,∠C＝６０°,b＝６,求a． 　　 ２ 已知两边及其中一边的对角,解三角形 【例２】 在 △ABC 中, (１)若a＝２,b＝３,∠A＝３０°,求sinB; (２)若a＝２,c＝２３,∠C＝６０°,求 ∠B． 【解题思路】 应用正弦定理求解,注意判断解的个数． (１)由正弦定理可知,asinA ＝ b sinB , 于是,sinB＝ bsinA a ＝ ３×sin３０° ２ ＝ ３× １ ２ ２ ＝ ３ ４． (２)由正弦定理可知,asinA ＝ c sinC , 于是,sinA＝ asinC c ＝ ２×sin６０° ２３ ＝ ２× ３ ２ ２３ ＝ １ ２ ,又因为０°＜ ∠A ＜１８０°,故 ∠A＝３０°或 ∠A＝１５０°, 当 ∠A＝１５０°时,∠A＋ ∠C＝１５０°＋６０°＝２１０°＞１８０°,不符合题意,因此 ∠B ＝１８０°－ ∠C－ ∠A ＝ １８０°－６０°－３０°＝９０°． 变式训练２ 在 △ABC 中,若 ∠A＝１２０°,a＝３,b＝ ６,求 ∠C． ２７　 自 我 测 评 一、选择题 １．在 △ABC 中,b＝ ３,∠A＝ π ４ ,∠B＝ π ３ ,则a＝ (　　) A．１ B．２２ C．２ D．２ ２．在 △ABC 中,∠A＝４５°,∠C＝７５°,a＝８,则b＝ (　　) A．４２ B．８２ C．８６３ D．４６ ３．在 △ABC 中,∠A＋∠B＝ ５π ６ ,a＝３,c＝２,则sinA＝ (　　) A．４５ B． ３ ５ C． ３ ４ D． ２ ３ ４．在 △ABC 中,∠A＝ π ４ ,a＝２２,b＝２,则 ∠B＝ (　　) A．π６ B． π ３ C．５π６ D． π ６ 或５π ６ ５．在 △ABC 中,∠C＝ π ６ ,a＝３,c＝４,则sinA＝ (　　) A．３４ B． ５ ８ C． ３ ８ D． １ ２ ６．在 △ABC 中,∠A＝４５°,∠B＝３０°,BC＝３,则边AC 的长为 (　　) A．６２ B． ３２ ２ C．３６２ D．３２ ７．在 △ABC 中,∠B＝６０°,若b＝４a,则sinA＝ (　　) A．１８ B． ３ ８ C． １ ４ D． ３ ４ ８．在 △ABC 中,“∠A＝∠B”是“sinA＝sinB”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 ９．在 △ABC 中,a＝２,∠A＝３０°,则 b sinB＝ ． １０．在 △ABC 中,a＝１,c＝ ３,∠C＝６０°,则 ∠A＝ ． １１．在 △ABC 中,a＝４,sinC＝２sinA,则c＝ ． １２．在 △ABC 中,若sinAa ＝ cosB b ,则 ∠B＝ ． ２８　 三、解答题 １３．如第１３题图所示,AC＝３２,求BC 的长． 第１３题图 １４．在 △ABC 中,sinB２＝ ５ ５ ,∠C＝ π ４ ,a＝４,求 △ABC 的面积． １５．在 △ABC 中,已知２bcosAc ＝ sinB sinC． (１)求 ∠A; (２)若a＝４３,b＝４,求 △ABC 的面积． １．在 △ABC 中,∠C＝６０°,b＝４,c＝２,则此三角形解的情况是 (　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 试题精讲 ２．在 △ABC 中,已知 ∠A＝４５°,cosB＝ ４ ５． (１)求cosC; (２)若BC＝１０,求AB 的长． １５６　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ６．４．２　 正弦定理 【变式训练１】 解:在 △ABC 中,由 ∠A＋ ∠B＋ ∠C ＝１８０°,得 ∠B ＝１８０°－∠A－∠C ＝１８０°－４５°－６０°＝７５°． 于是, sinB ＝sin７５°＝sin(４５°＋３０°)＝ ６＋ ２ ４ ． 由正弦定理可知,a sinA ＝ b sinB． 于 是,a ＝ bsinA sinB ＝ ６×sin４５° sin７５° ＝ ６× ２ ２ ６＋ ２ ４ ＝ ６(３－１)．因此a＝６(３－１)． 【变式训练２】 解:由正弦定理可知,a sinA ＝ b sinB． 于是,sinB＝ bsinA a ＝ ６×sin１２０° ３ ＝ ６× ３ ２ ３ ＝ ２ ２． 又因为０°＜ ∠B ＜１８０°,故 ∠B＝４５°或 ∠B＝ １３５°．当 ∠B ＝１３５°时,∠A＋∠B ＝１２０°＋１３５°＝ ２５５°＞１８０°,不符合题意．因此 ∠C ＝１８０°－∠A－ ∠B ＝１８０°－１２０°－４５°＝１５°． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．D 【解析】由正弦定理可知,asinA ＝ b sinB． 于是, a＝ bsinA sinB ＝ ３×sin π ４ sinπ３ ＝ ３× ２ ２ ３ ２ ＝ ２． ２．D 【解析】∠B＝１８０°－∠A－∠C＝１８０°－４５°－ ７５°＝６０°．由正弦定理可知, a sinA ＝ b sinB． 于是,b＝ asinB sinA ＝ ８×sin６０° sin４５° ＝ ８× ３ ２ ２ ２ ＝４６． ３．C 【解析】∠C ＝π－(∠A＋∠B)＝π－ ５π ６ ＝ π ６． 由正弦定理可知,a sinA ＝ c sinC． 于是, sinA ＝ asinC c ＝ ３×sin π ６ ２ ＝ ３× １ ２ ２ ＝ ３ ４． ４．A 【解析】由正弦定理可知,asinA ＝ b sinB． 于是, sinB ＝ bsinA a ＝ ２×sin π ４ ２ ２ ＝ ２× ２ ２ ２ ２ ＝ １ ２． 又因为０＜ ∠B ＜π,故 ∠B ＝ π ６ 或 ∠B ＝ ５π ６． 当 ∠B ＝ ５π ６ 时,∠A＋∠B ＝ π ４ ＋ ５π ６ ＝ １３π １２ ＞ π,不符合题意,因此 ∠B ＝ π ６． ５．C 【解析】由正弦定理可知,asinA ＝ c sinC． 于是, sinA ＝ asinC c ＝ ３×sin π ６ ４ ＝ ３× １ ２ ４ ＝ ３ ８． ６．B 【解析】BC＝a＝３,AC＝b,由正弦定理可知, a sinA ＝ b sinB． 于是,b＝ asinB sinA ＝ ３×sin３０° sin４５° ＝ ３× １ ２ ２ ２ ＝ ３ ２ ２ ,即AC ＝ ３ ２ ２ ． ７．B 【解析】由正弦定理可知, asinA ＝ b sinB ,故由 b＝４a,得sinB＝４sinA,于是sinA＝ １ ４sinB＝ １ ４sin６０°＝ １ ４ × ３ ２ ＝ ３ ８． ８．C 【解析】因为 ∠A ＝ ∠B⇒sinA ＝sinB,在 △ABC 中,sinA ＝sinB⇒∠A ＝ ∠B 或 ∠A＋ ∠B ＝１８０°(舍去),所以,在 △ABC 中,“∠A ＝ ∠B”是“sinA ＝sinB”的充要条件． 二、填空题 ９．４ １０．３０° 【解析】由正弦定理可知, asinA ＝ c sinC． 于 是,sinA ＝ asinC c ＝ １×sin６０° ３ ＝ １× ３ ２ ３ ＝ １ ２． 所以 ∠A ＝３０°或１２０°,当 ∠A ＝１２０°时, 训练测评参考答案 １５７　 ∠A＋∠C＝１８０°,不满足题意,所以 ∠A＝３０°． １１．８ 【解析】由正弦定理可知,asinA ＝ c sinC ,故由 sinC ＝２sinA,得c＝２a＝８． １２．４５° 【解析】由正弦定理可知,asinA ＝ b sinB ,因 已知sinA a ＝ cosB b ,所 以 得sinB b ＝ cosB b ⇒ sinB ＝cosB．又因为在 △ABC 中,故 ∠B ＝ ４５°． 三、解答题 １３．解:依题意知,AC＝b＝３２,∠A＝４５°,∠B＝ ６０°,BC ＝a．由正弦定理可知 a sinA ＝ b sinB ,于 是,a＝ bsinA sinB ＝ ３ ２×sin４５° sin６０° ＝ ３ ２× ２ ２ ３ ２ ＝ ２ ３．即BC 的长为２ ３． １４．解:在 △ABC中,０＜ ∠B＜π,故０＜ B ２ ＜ π ２ , 于是,cosB２ ＝ １－sin ２ B ２ ＝ ２ ５ ５ ,则sinB＝ ２sinB２cos B ２ ＝２× ５ ５ × ２ ５ ５ ＝ ４ ５ ,cosB ＝ cos２ B２ －sin ２ B ２ ＝ ( ２ ５ ５ ) ２ － ( ５５ ) ２ ＝ ３ ５． 所以sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC ＝ ４ ５ × ２ ２ ＋ ３ ５ × ２ ２ ＝ ７ ２ １０ ,于 是,sinA ＝ sin π－(B＋C)[ ] ＝sin(B＋C)＝ ７ ２ １０ ． 由正弦 定理可知, a sinA ＝ c sinC ,于是,c＝ asinC sinA ＝ ４×sin π ４ ７ ２ １０ ＝ ４× ２ ２ ７ ２ １０ ＝ ２０ ７ ,所 以 S△ABC ＝ １ ２acsinB ＝ １ ２ ×４× ２０ ７ × ４ ５ ＝ ３２ ７． １５．解:(１)由正弦定理可知,bsinB ＝ c sinC ,故可得 sinB sinC ＝ b c ,因 为２bcosA c ＝ sinB sinC ,所 以 ２bcosA c ＝ b c ,从而得２cosA＝１⇒cosA＝ １ ２． 又因为０°＜ ∠A ＜１８０°,故 ∠A ＝６０°． (２)由 正 弦 定 理 可 知, asinA ＝ b sinB． 于 是, sinB ＝ bsinA a ＝ ４×sin６０° ４ ３ ＝ ４× ３ ２ ４ ３ ＝ １ ２． 又 因为０°＜ ∠B ＜１８０°,故 ∠B ＝３０°或 ∠B ＝ １５０°．当∠B ＝１５０°时,∠A＋∠B＝６０°＋１５０°＝ ２１０°＞１８０°,不符合题意．故 ∠B ＝３０°．那么 ∠C ＝１８０°－∠A－∠B ＝１８０°－６０°－３０°＝９０°, 所以S△ABC ＝ １ ２absinC ＝ １ ２ ×４ ３×４×sin ９０°＝８ ３． 【能力提升】 １．C 【解析】由正弦定理可知 bsinB ＝ c sinC ,于是, sinB ＝ bsinC c ＝ ４×sin６０° ２ ＝ ４× ３ ２ ２ ＝ ３ ＞ １,故 ∠B 不存在,所以无解． ２．解:(１)在 △ABC中,sinB＝ １－cos２B ＝ ３ ５ , cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB ＝ ２ ２ × ４ ５ － ２ ２ × ３ ５ ＝ ２ １０． 于是 cosC ＝cos[１８０°－ (A＋B)]＝ －cos(A＋B)＝ － ２ １０． (２)由(１)知sinC＝ １－cos２C ＝ １－ (－ ２１０) ２ ＝ ７ ２ １０ ． 因为BC＝a＝１０,AB＝c,由正弦定理可知 a sinA ＝ c sinC ,于是,c＝ asinC sinA ＝ １０×sinC ２ ２ ＝ １０× ７ ２ １０ ２ ２ ＝１４． ６．４．３　 余弦定理 【变式训练１】 解:由余弦定理知,a２ ＝b２＋c２－２bccosA ＝３２＋