专题4.2 平面直角坐标系中平移与几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题4.2 平面直角坐标系中平移与几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、点在坐标系中的平移 平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0：向右平移a个单位 （1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y） P（x，y） P'（x，y －b）向下平移b个单位 P（x，y） P（x－ a，y＋b） 向左平移a个单位 （2）二次平移： 再向上平移b个单位 二、图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） · 典例分析 【典例1】在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图1所示．    （1）平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，求点的坐标； （2）在第（1）的条件下，求三角形的面积； （3）平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示三角形的面积），求点、的坐标． 【思路点拨】 （1）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后根据点的平移规律即可得出答案； （2）分别过点C，D作轴于点E，轴与点F，根据，即可求解； （3）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后设出点C，D的坐标，利用面积求解即可． 【解题过程】 （1）解：点的坐标为，平移后的对应点的坐标为， ∴可设， ∴， 即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C， ∵点的坐标为， ∴A点平移后的对应点； （2）解：如图，分别过点C，D作轴于点E，轴与点F，则，    ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，    设点的坐标为， ∵点C在y轴上，点D在第二象限， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移y个单位得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出点的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得三角形与三角形面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【思路点拨】 （1）根据平移的要求分别确定点的位置，即可得到三角形； （2）根据（1）的图形即可得到点的坐标； （3）先求出三角形的面积为，设点P的坐标为，列出方程，求出或，即可求出点P的坐标． 【解题过程】 （1）解：如图，三角形即为所求作的三角形； （2）解：点的坐标为，点的坐标为； （3）解：由题意得三角形的面积为， 设点P的坐标为， ∵三角形与三角形面积相等， ∴， ∴即， ∴或， ∴或， ∴点P的坐标是或． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的? （2）连接，直接写出与之间的数量关系； （3）若点是三角形ABC内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求a和b的值． 【思路点拨】 本题主要考查了坐标与图形，根据平移前后点的坐标判断平移方式，平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握点坐标平移的规律． （1）根据点在坐标轴的位置得到点B的坐标为，点的坐标为， 由此即可得到平移方式； （2）由平移的性质可得，则，再根据轴，得到，则； （3）根据平移方式可以得到，，由此求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题图知，点B的坐标为，点的坐标为，， ∴三角形是由三角形先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的． （2）与之间的数量关系为， 解：由平移的性质可得， ∴， ∵点B的坐标为，点的坐标为， ∴轴， ∴， ∴， ∴与之间的数量关系为； （3）解：由平移方式可得是点先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的， ∴，，， ∴，， ∴的值是3，的值是4． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． （1）如图①，则三角形的面积为 　　； （2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①求三角形的面积； ②点是一动点，若的面积等于的面积．请直接写出点P坐标． 【思路点拨】 本题考查了坐标与图形、点的平移、绝对值方程等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键． （1）根据题意得出，，，然后根据三角形面积公式直接计算即可； （2）①连接，过点作轴于点，过点作轴于点，由平移的性质可得点坐标，根据进行计算即可得到答案；②根据的面积等于的面积，求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：6； （2）解： ①连接，过点作轴于点，过点作轴于点， 将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点坐标为    ∴，， ∴ ； ②如下图，    根据题意，点，且， 即有， 解得， ∴点坐标为或． 4．（22-23七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，其中，满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． （1）直接与出点，，，的坐标：______，______，______，______； （2）若点在轴上，且使得三角形的面积是三角形面和的倍，求点坐标； （3）如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求，之间满足的关系式． 【思路点拨】 （1）先根据非负数的性质求出、的值，得到、的坐标，再根据“右加左减，上加下减”的平移规律求出、的坐标； （2）先求得和，再根据，求得的长度，根据，即可求得点坐标； （3）用含，式子表示和，再根据题意列出等式即可． 【解题过程】 （1）解： ， ，， ，， ，， 将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段， ，， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）知，，，，， ，， ， ， ， ， ， ，； （3）解： ， ， 三角形与三角形面积之比为， ， 整理得：或者或者． 5．（22-23七年级下·福建厦门·期末）若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； （2）在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点，，的对应点分别是点，，．已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且． ①若点是“横和点”，且三角形的面积为2，求的值； ②若点的坐标是，点恰好落在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 【思路点拨】 （1）根据“横和点”的定义进行求解即可； （2）①先根据“横和点”的定义推出，，再根据点坐标的平移规律得到三角形向右平移m个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形，进而推出，再由三角形的面积为2，列出方程求解即可； ②先求出，再根据点坐标平移规律推出，进而求出点F的坐标为，由此根据“横和点”的定义判断即可． 【解题过程】 （1）解：（1）点是“横和点”，理由如下： ∵， ∴点是“横和点”； （2）解：①∵点是“横和点”， ∴，即 又∵点是“横和点”， ∴，即， ∵将三角形平移得到三角形，点D与点B的纵坐标相同，点E与点A的横坐标相同， ∴三角形向右平移m个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形， ∴，即， ∵三角形的面积为2， ∴， ∴ ∴， 解得（负值舍去）； ②点F是否为“横和点”，理由如下： ∵点E落在x轴上， ∴， ∵将三角形平移得到三角形， ∴，即， ∴， ∵点的坐标是， ∴点F的坐标为，即， ∵， ∴点F是“横和点”． 6．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，，，，． （1）求的面积； （2）如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值； （3）如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 【思路点拨】 （1）由非负数的性质求出，求出，由三点的坐标可求出答案； （2）根据三角形的面积关系可得出答案； （3）连接，设，由三角形面积关系得出，由平移的性质得出，根据三角形的面积关系可求出答案． 【解题过程】 （1），，， ，， ，， ， ，，， ，， ； （2）由题意知：，， ， ， ． （3）连接，， 设， ， ， ， 点向右平移个单位长度得到点， ， ， ， ， ， 7．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，已知点，满足．将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，连接，． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形的面积等于？ （3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从B点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．在运动过程中的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【思路点拨】 （1）本题考查绝对值的非负性，完全平方的非负性，利用非负性可求a，b的值，即可得到答案； （2）本题考查平移的性质，由平移的性质可得点，点，，，，，由面积关系可求解； （3）分点B在线段上，点B在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解； 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴，， ∴点，点； （2）解：∵将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，，点， ∴点，点，，， ∴，， ∴四边形的面积， ∵四边形的面积等于， ∴点M在点C下方， ∴四边形的面积四边形的面积， ∴； （3）解：的值不会变化， 理由：如图1，当点N在线段上时， ∵， ∴； 如图2，当点N在x轴的负半轴时， ∵， ∴， 综上所述：是定值8． 8．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，，． （1）求A、B、C的坐标和的面积； （2）如图2，点A以每秒s个单位的速度向上运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动至，4秒后，在同一直线上，求s的值； （3）如图3，点D在线段上，将点D向上平移2个单位长度至E点，若的面积等于，求点D的坐标． 【思路点拨】 （1）非负性求出，进而求出的值，得到A、B、C的坐标，利用三角形的面积公式，进行求解即可； （2）根据，构建方程求解即可； （3）连接，设，由三角形面积关系得出，由平移的性质得出，根据三角形的面积关系，求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）由题意，得：， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵将点D向上平移2个单位长度至E点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点满足．    （1）直接写出点A的坐标； （2）如图，将线段沿x轴向右平移5个单位长度后得到线段（点O与点B对应），在线段上取点，当时，求D点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在点F使得，若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据非负数的性质求出a值，从而可得b值； （2）设D的坐标为，根据平移得到，，则有，分别表示出相应部分的面积，根据，可得方程，解之求出x值即可得解； （3）分点F在D点左侧，点F在D点右侧，两种情况，设，表示出，根据已知面积，列出方程，解之即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）设D的坐标为，由平移可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 又∵， 即，解得， ∴； （3）存在，理由是： 由（2）知， 当点F在D点左侧时，设，则， ∵， 解得， ∴F点坐标为， 当点F在D点右侧时，设，则， ∵， 解得， ∴F点坐标为， 综上所述，F点坐标为或． 10．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段，使点的对应点恰好落在轴的正半轴上，设点的坐标为，点的对应点在第一象限．    （1）求点的坐标（用含的式子表示）； （2）连接，．如图2，若三角形的面积为8，求的值； （3）连接，如图3，分别作和的平分线，交于点，试探究，和之间的等量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）由A，C的坐标变化得出平移方式，从而可得答案； （2）如图，过作轴于，过作轴于H，可得，，结合，，，可得，，由，再建立方程求解即可； （3）如图，过作，由平移的性质可得：，可得，可得，，，，证明，再结合角平分线可得结论． 【解题过程】 （1）解：∵点，，设点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴； （2）如图，过作轴于，过作轴于H， ∴，，而，，，    ∴，， ∴， ∴， 解得：； （3）；理由如下： 如图，过作，    由平移的性质可得：， ∴， ∴，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 11．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且、满足，现同时将点，分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．    （1）求点C，D的坐标及四边形的面积． （2）点是四边形上的一个动点，连接，．当点在上移动时（不与，重合）求的值． （3）当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？（直接写出答案） 【思路点拨】 （1）根据条件确定A，B坐标，根据平移得到C，D两点的坐标；由A，B，C，D坐标确定四边形底和高，即可求面积； （2）过点作的平行线，根据平行线的性质可得，从而可得答案； （3）由，，如图，直线将四边形的面积分成两部分，此时，重合，，当时，设，如图，再利用梯形的面积公式可得答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ， ， 将点，分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位， ， ； （2）解：由（1）中、，可得； 如图所示，过点作，则，    ， ， ，不发生变化； （3）解：∵，， 如图，直线将四边形的面积分成两部分，    ∴， 此时，重合，， 当时，设，如图，    ∴， 解得：， 此时， 综上：当的坐标为或时，直线将四边形的面积分成两部分． 12．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为，连接，． （1）请直接写出，两点的坐标； （2）如图，点是线段上的一个动点，点是线段的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由； （3）在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【思路点拨】 （）根据非负数的性质求出，，即可求出答案； （）过点作直线，则，再判断出，即可得出结论； （）先求出的面积，再分点在轴和轴上两种情况，根据三角形面积公式建立方程求解，即可得出答案． 【解题过程】 （1）∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）， 理由：如图，过点作直线， ， 线段由线段平移得到， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）如图，依题意可得，，，， ，，， ， 当点在轴上时，设点， 则， ， ， 或； ②当点在轴上时，设点， 则， ， ， 或， 综上所述，存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等，点的坐标为或或或． 13．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    （1）直接写出坐标：点（_____，______），点（_____，______）； （2），分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长，点从点出发向点运，速为每秒个单位长度，两点同时出发，求几秒后轴？ （3）若点是轴正半轴上一动点（不与点重合），问、与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【思路点拨】 （1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解即可； （3）分两种情形：①当点在点左侧时；②当点在点右侧时，利用平行线的性质分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意，可得 ，． 故答案为：，3，，； （2）设秒后轴，如下图，则，，    ∵， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ， 解得， ∴秒时，轴； （3）①如下图中，当点在点左侧时，    作，连接，， ∴， 由平移的性质可知， ∴， ∴， ∴， 即； ②如图2中，当点在点右侧时，    作，连接，， ∴， 由平移的性质可知， ∴， ∴， 即． 综上所述，、与存在的数量关系为或． 14．（2023八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，，满足． （1）求点A，的坐标； （2）如图1，平移线段至，使点A的对应点落在轴正半轴上，连接，．若，求点的坐标； （3）如图2，平移线段至，点的对应点的坐标为，与轴的正半轴交于点，求点的坐标． 【思路点拨】 本题考查的是坐标与图形面积，坐标系内点的平移规律，算术平方根的非负性的性质： （1）根据非负数的性质先求解，的值，从而可得答案； （2）如图，过作轴的平行线，与过A，作轴的平行线交于点，，设，结合，再建立方程求解即可； （3）确定平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得，如图，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，与轴交于点，求解，设，可得，再解方程可得答案； 熟练运用等面积法建立方程是解本题的关键． 【解题过程】 （1）解： ，， ，， ，， ，； （2）解：如图，过作轴的平行线，与过A，作轴的平行线交于点，， ，横坐标为0， 则A到向右平移了1个单位，， 设， ， ， ， ， 由平移的性质可得：，即； （3）解：，， 平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ， ， 如图，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，与轴交于点， ，， ， 设， ， 解得：， ， ． 15．（22-23七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、在坐标轴上，其中，，且满足． （1）求、两点的坐标； （2）将线段平移到．点A的对应点是．点的对应点是．且、两点也在坐标轴上，过点作直线，垂足为，交于点．请在图1中画出图形，直接写出点的坐标，并证明； （3）如图2，将平移到、点A对应点，连接、，交轴于点，若的面积等于12，求点的坐标及的值． 【思路点拨】 （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b的值，即可得出答案； （2）根据平移得出，，证明，根据证明，得出；根据平行线的性质得出，即可得出； （3）过点作轴于点，根据的面积等于12，求出即可；过作于，过A作于，根据的面积等于12，求出，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：， ，且， ，， 点A的坐标为，点的坐标为； （2）解：如图1，由平移的性质可知：，， ， ∴， ∴， ； ∵将线段平移到，点A的对应点是．即将线段向左平移4个单位，向下平移3个单位； 故点 的对应点． ． （3）解：如图2，过点作轴于点， 由（1）可知，A、两点的坐标为，， ，， 点的坐标为， ，， 的面积等于12， ， ， 即， 解得：， 点的坐标为； 过作于，过A作于， 则，，，， ， 的面积等于12， ， 即， 解得：， ， ， 即点的坐标为，的值为． 16．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）如图所示，在x轴上、点B在y轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为．    （1）直接写出点E的坐标___________； （2）在四边形中，点P从点B出发，沿“”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题： ①当t＝___________秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数； ②求在运动过程中是否存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，若存在，求出点P的坐标：若不存在，试说明理由； ③当时，设，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由． 【思路点拨】 （1）根据平移的性质即可得到结论； （2）①由点的坐标为．得到，，由于点的横坐标与纵坐标互为相反数；于是确定点在线段上，有，即可得到结果； ②当点在线段上时，由题意得，此时点的坐标，根据△PEB的面积是△CAB面积的一半，得到，解得，即可得到点坐标为；当点在线段上时，由题意得，此时点的坐标，根据△PEB的面积是△CAB面积的一半，得到，解得，此时点坐标为，问题得解； ③在运动过程中存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，此时点坐标为或；③过作交于，证明，得到，，即可得到，从而得到． 【解题过程】 （1）解：∵点B在y轴上，点C的坐标为，沿x轴负方向平移，得到， ∴沿轴负方向平移3个单位得到， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是； 故答案为： （2）解：①∵点的坐标为． ，， ∵点的横坐标与纵坐标互为相反数； 点在线段上， ， 即 当秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数； 故答案为：2 ②如图1，当点在线段上时，由题意得，此时点的坐标， ∵△PEB的面积是△CAB面积的一半， ∴ 解得， 此时点坐标为； 如图2，当点在线段上时，由题意得，此时点的坐标， ∵△PEB的面积是△CAB面积的一半， ∴， 解得， 此时点坐标为． 答：在运动过程中存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，此时点坐标为或； ③能确定． 如图3，过作交于， ∵， ∴， ，， ， ． 17．（22-23七年级下·重庆开州·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，满足．直接写出a、b的值：__________；__________； （2）如图2，在（1）问条件下将线段向右平移，平移后A、B的对应点分别为D、E，线段交y轴于点C，当和面积相等时，求点D、点E的坐标； （3）在（2）问的条件下，延长交x轴于点F，点F的坐标为，过点E作直线轴，动点P从点E沿直线l以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点F沿x轴以每秒个单位的速度向右运动，当最小时，直接写出三角形的面积．    【思路点拨】 （1）利用算术平方根的非负性求解即可； （2）由（1）知：，设平移的距离为m，则点D、E的坐标分别为，过点D作轴于点M，过点E作轴于点N，则由，得，即，解得，即可求得点D，E的坐标； （3）过点D作轴于点H，过点E作轴于点G，由，，求得，由垂线段最短可知，当最小时，则，得运动时间为秒，易得，由即可求得三角形的面积． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴ ∴； 故答案为：4，； （2）由（1）知：， 设平移的距离为m，则点D、E的坐标分别为：， 过点D作轴于点M，过点E作轴于点N，    则， 若，则， ， ， 解得：， ∴点D的坐标为，点E的坐标为； （3）由（2）可知点D的坐标为，点E的坐标为，过点D作轴于点H，过点E作轴于点G，则，，，，，    则， ∴，    ∵轴，点P从点E沿直线l以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴点的纵坐标始终为8，，， 由垂线段最短可知，当最小时，，即轴， 则，此时点的横坐标始为，则， ∴，则运动时间为：秒， ∵动点Q从点F沿x轴以每秒个单位的速度向右运动， ∴， ∵点F的坐标为， ∴ ∴． 18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴．    （1）直接写出点、点的坐标； （2）点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； （3）在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当三角形的面积比三角形的面积大2时，，求点的坐标． 【思路点拨】 （1）根据轴，得到点纵坐标为，利用平行的性质，得到点坐标，进而得到点坐标； （2）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【解题过程】 （1）∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴； （2）如图：    ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的画积为； （3）①当在上时，如图：    设，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②当在的延长线上时，如图：    设，则， ∴，， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上：或． 19．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上且点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． （1）直接写出点C的坐标______； （2）如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求三角形的面积； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 【思路点拨】 本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积； （1）由点的平移即可求解； （2）由即可求解； （3）①当在的上方时，将补成直角梯形，设，由即可求解；②当在轴上方，的下方时，由可判断此情况不存在；③当在的下方时，将补成直角梯形，同理①即可求解； 掌握“割补法”求面积，能根据动点的位置进行分类讨论，并将面积转化为是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：由平移得 ； 故答案：； （2）解：如图， 轴， ， ， ∵，轴， ； 故三角形的面积为； （3）解：①当在的上方时， 如图，将补成直角梯形， 设， ，，，，， ， 的面积为， ， 解得：， ； ②当在轴上方，的下方时， ， 此种情况不存在； ③当在的下方时， 如图，将补成直角梯形， 设， ，，，，， ， 的面积为， ， 解得：， ； 综上所述：点P的坐标为或． 20．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）已知，d为4的算术平方根，点，，，且．    （1）直接写出 ， ， ； （2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值 ； （3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图2，当时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标． 【思路点拨】 （1）由算术平方根、绝对值的非负性知，解得，，； （2）过A作轴，连接，则，   ，求得.（3）根据题意，，沿y轴负方向平移2个单位，得，，①，，  ，，于是， 可证.  ② 时，，，，点D不存在.当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.当时，如图2，点D在第四象限，设，由①得，得，连接OD，则，解得；当时，如图3，点D在第二象限，得，连接OD，则，解得． 【解题过程】 （1）由知， ，，解得， ； （2）过A作轴，连接.      由（1）得，，， ， ，，          ，     解得. （3）依题意，平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上， ∴，沿y轴负方向平移2个单位， ∴，     ①. 理由如下：由题意得，，    ，，     ，    ， ，         ， 即.         ②或.         当 时，， PQ可以看作由MN向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时，点D不存在. 当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.    当时，如图2，点D在第四象限，    设，由①得 连接OD， ， 当时，如图3，点D在第二象限，    连接OD， ， 综上，点D的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 平面直角坐标系中平移与几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、点在坐标系中的平移 平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0：向右平移a个单位 （1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y） P（x，y） P'（x，y －b）向下平移b个单位 P（x，y） P（x－ a，y＋b） 向左平移a个单位 （2）二次平移： 再向上平移b个单位 二、图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） · 典例分析 【典例1】在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图1所示．    （1）平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，求点的坐标； （2）在第（1）的条件下，求三角形的面积； （3）平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示三角形的面积），求点、的坐标． 【思路点拨】 （1）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后根据点的平移规律即可得出答案； （2）分别过点C，D作轴于点E，轴与点F，根据，即可求解； （3）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后设出点C，D的坐标，利用面积求解即可． 【解题过程】 （1）解：点的坐标为，平移后的对应点的坐标为， ∴可设， ∴， 即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C， ∵点的坐标为， ∴A点平移后的对应点； （2）解：如图，分别过点C，D作轴于点E，轴与点F，则，    ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，    设点的坐标为， ∵点C在y轴上，点D在第二象限， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移y个单位得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出点的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得三角形与三角形面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的? （2）连接，直接写出与之间的数量关系； （3）若点是三角形ABC内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求a和b的值． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． （1）如图①，则三角形的面积为 　　； （2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①求三角形的面积； ②点是一动点，若的面积等于的面积．请直接写出点P坐标． 4．（22-23七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，其中，满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． （1）直接与出点，，，的坐标：______，______，______，______； （2）若点在轴上，且使得三角形的面积是三角形面和的倍，求点坐标； （3）如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求，之间满足的关系式． 5．（22-23七年级下·福建厦门·期末）若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； （2）在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点，，的对应点分别是点，，．已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且． ①若点是“横和点”，且三角形的面积为2，求的值； ②若点的坐标是，点恰好落在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 6．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，，，，． （1）求的面积； （2）如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值； （3）如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 7．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，已知点，满足．将线段先向上平移4个单位，再向右平移1个单位后得到线段，连接，． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形的面积等于？ （3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从B点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．在运动过程中的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 8．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，，． （1）求A、B、C的坐标和的面积； （2）如图2，点A以每秒s个单位的速度向上运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动至，4秒后，在同一直线上，求s的值； （3）如图3，点D在线段上，将点D向上平移2个单位长度至E点，若的面积等于，求点D的坐标． 9．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点满足．    （1）直接写出点A的坐标； （2）如图，将线段沿x轴向右平移5个单位长度后得到线段（点O与点B对应），在线段上取点，当时，求D点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在点F使得，若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． 10．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段，使点的对应点恰好落在轴的正半轴上，设点的坐标为，点的对应点在第一象限．    （1）求点的坐标（用含的式子表示）； （2）连接，．如图2，若三角形的面积为8，求的值； （3）连接，如图3，分别作和的平分线，交于点，试探究，和之间的等量关系，并说明理由． 11．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且、满足，现同时将点，分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．    （1）求点C，D的坐标及四边形的面积． （2）点是四边形上的一个动点，连接，．当点在上移动时（不与，重合）求的值． （3）当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？（直接写出答案） 12．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为，连接，． （1）请直接写出，两点的坐标； （2）如图，点是线段上的一个动点，点是线段的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由； （3）在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 13．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    （1）直接写出坐标：点（_____，______），点（_____，______）； （2），分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长，点从点出发向点运，速为每秒个单位长度，两点同时出发，求几秒后轴？ （3）若点是轴正半轴上一动点（不与点重合），问、与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 14．（2023八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，，满足． （1）求点A，的坐标； （2）如图1，平移线段至，使点A的对应点落在轴正半轴上，连接，．若，求点的坐标； （3）如图2，平移线段至，点的对应点的坐标为，与轴的正半轴交于点，求点的坐标． 15．（22-23七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、在坐标轴上，其中，，且满足． （1）求、两点的坐标； （2）将线段平移到．点A的对应点是．点的对应点是．且、两点也在坐标轴上，过点作直线，垂足为，交于点．请在图1中画出图形，直接写出点的坐标，并证明； （3）如图2，将平移到、点A对应点，连接、，交轴于点，若的面积等于12，求点的坐标及的值． 16．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）如图所示，在x轴上、点B在y轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为．    （1）直接写出点E的坐标___________； （2）在四边形中，点P从点B出发，沿“”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题： ①当t＝___________秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数； ②求在运动过程中是否存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，若存在，求出点P的坐标：若不存在，试说明理由； ③当时，设，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由． 17．（22-23七年级下·重庆开州·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，满足．直接写出a、b的值：__________；__________； （2）如图2，在（1）问条件下将线段向右平移，平移后A、B的对应点分别为D、E，线段交y轴于点C，当和面积相等时，求点D、点E的坐标； （3）在（2）问的条件下，延长交x轴于点F，点F的坐标为，过点E作直线轴，动点P从点E沿直线l以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点F沿x轴以每秒个单位的速度向右运动，当最小时，直接写出三角形的面积．    18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴．    （1）直接写出点、点的坐标； （2）点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； （3）在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当三角形的面积比三角形的面积大2时，，求点的坐标． 19．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上且点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． （1）直接写出点C的坐标______； （2）如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求三角形的面积； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 20．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）已知，d为4的算术平方根，点，，，且．    （1）直接写出 ， ， ； （2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值 ； （3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图2，当时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$